计算机控制系统电子教案单元设计 (9).doc

第9章 线性离散系统的离散状态空间分析、设计法9.1 线性离散系统的离散状态空间分析法在连续控制系统中，状态空间分析法是分析、研究系统的有力工具，它解决了频率特性解决不了的问题，如多变量问题、时变问题等。计算机的广泛普及和应用为状态空间分析法提供了有力的手段。对于离散系统同样可以用离散状态空间分析法来研究和分析。离散状态空间分析法有以下的优点： 离散状态空间表达式适宜于计算机求解。 离散状态空间分析法对单变量和多变量系统允许用统一的表示法。 离散状态空间分析法能够应用于非线性系统和时变系统。9.1.1 线性离散系统的离散状态空间表达式在线性连续系统中，是用控制变量，状态变量和输出变量来表征系统的动态特性的，如图9.1所示。状态变量是表征系统本身特性的变量。系统的状态变量是可以有多种选择方案，但是当系统确定时，状态变量的个数就确定 图9.1 线性连续系统的变量关系了，而且是最少的，它就是系统的阶数。 状态变量可以表示成列向量 （9.1）控制变量可以表示成列向量 （9.2）输出变量可以表示成列向量 （9.3）线性连续系统的状态空间表达式为 （9.4） （9.5）A，B，C，D是定常的系数矩阵。式（9.4）称为状态方程，式（9.5）称为输出方程。与线性连续系统类似，线性离散系统的离散状态空间表达式可以表示为 （9.6） （9.7）式（9.6）称为状态方程，式（9.7）称为输出方程。 F是维矩阵，称为状态矩阵或系统矩阵。 G是维矩阵，称为输入矩阵或驱动矩阵。 C是维矩阵，称为输出矩阵。 D是维矩阵，称为直传矩阵或传输矩阵。图 9.2 线性离散系统的状态变量图 线性离散系统的状态变量图如图9.2所示。9.1.2 由差分方程导出离散状态空间表达式 对于单输入、单输出的线性离散系统，可以用阶差分方程来描述 （9.8）或表示成 （9.9） 为了得到状态空间表达式，应适当选择状态变量，将高阶的差分方程化为一阶差分方程组，然后表示成向量的形式，便可以得到离散状态空间表达式了。1. ，即控制变量不包含高于一阶的差分（9.10）选择状态变量 （9.11）由（9.11）式，可得（9.12）写成矩阵形式 （9.13） （9.14）将式（9.13），式（9.14）表示成向量形式 （9.15）式中状态矩阵为 （9.16）输入矩阵为 （9.17）输出矩阵为 （9.18）直传矩阵为 （9.19）例 9.1 线性离散系统的差分方程为试导出离散状态空间表达式。 解 由差分方程知：（输出向量维数）。可知 2. ，即控制变量包含高于一阶的差分令，则差分方程为 （9.20）选择状态变量（9.21）作为一组状态变量，其中是待定常数。下面，我们来确定它们的值，使状态方程中不出现的高阶差分。 对式（9.21）中最后一个方程的两边前移一拍，得 （9.22）分别用乘式（9.21）中的第1，第2，第个方程，得（9.23）将方程（9.22）和方程（9.23）中的个方程一齐加起来，得 （9.24）将方程（9.20） 代入方程（9.24），并加以整理，则得 （9.25）由上式可以看出，若令上式右边除最后一项外，其余各项系数为零，则状态方程中不会出现的高阶差分。据此可以解出 （9.26）这样一来，式（9.21）中的个状态变量的个待定常数就唯一地确定出来了。再将方程（9.25）中的系数简记为，连同（9.21）中后面个方程一起，便得到系统的离散状态空间表达式 （9.27）由式（9.21）的第一个方程，得系统输出方程为 （9.28）将式（9.27）和（9.28）写成矩阵形式 （9.29）其中 在这个表达式中，不论输入函数是否含有高阶方程，系数矩阵都是一样的，而的高阶差分只会改变控制矩阵的各元。系统的初始条件可由下式决定（9.30） 例 9.2 设线性离散系统的差分方程为 试写出离散状态空间表达式。 解 设状态变量则系统的离散状态空间表达式为 初始条件可由下式决定此题也可以直接利用公式求出F,G,C，从而得到离散状态空间表达式。 线性离散系统的阶数为， 9.1.3 线性离散系统状态方程的求解 线性离散系统的离散状态方程是由高阶差分方程化为一阶方程组得到的，所以求解差分方程的方法可以适用于求解离散状态方程。通常离散状态方程的求解方法有迭代法和Z变换法。1. 迭代法设线性离散系统的离散状态空间表达式为 （9.31）初始值。以代入式（9.31）可得 （9.32）有了离散状态方程的解（9.32）式，便可得到输出方程 （9.33）令式（9.32）中的，称为线性离散系统的状态转移矩阵。状态转移矩阵具有如下的性质 （9.34）式中是单位矩阵。 可以看作是式（9.34）矩阵差分方程的唯一解。它描述了线性离散系统由的初始状态向任意时刻的状态转移的特性。因此称为线性离散系统的状态转移矩阵。 线性离散系统的解式（9.32）还可以用状态转移矩阵来表示，即 （9.35） 例 9.3 用迭代法求解线性离散系统的状态方程 解 令及初始条件代入离散状态空间表达式，可以得到 将以上计算数据列表9.1。表9.1迭代计算数据表012311-0.3-0.69-10.30.691.327-10.30.691.327 用迭代法求解离散状态方程只能得到有限项时间序列，得不到状态变量和输出变量的数学解析式。2. Z变换法设线性离散系统的状态空间表达式为 （9.36）对（9.36）式作Z变换，可得 （9.37）对式（9.37）作Z反变换，可得 （9.38）对比式（9.32），下式成立 （9.39）例 9.4 用Z变换法求解线性离散系统的状态方程 解 取Z的反变换即可得到方程的解 用Z变换法求解离散状态方程，可以得到状态变量和输出变量的数学解析式。9.1.4 线性离散系统的Z传递矩阵设线性离散系统的状态空间表达式为 （9.40）式中 是维状态向量；是维状态向量；是维状态向量。对式（9.40）作Z变换，可得初始条件为零，即时，则有 因而 （9.41）称为线性离散系统的Z传递矩阵（维矩阵）。它反映了在初始静止的条件下，输出量的Z变换与输入量的Z变换之间的关系。 对于单输入、单输出系统，是维矩阵，即为脉冲传递函数（Z传递函数）。 例 9.5 设线性离散系统的状态空间表达式为初始条件为零。试求线性离散系统Z传递矩阵，并求出单位阶跃输入时的输出响应。 解 单位阶跃输入时对上式作Z反变换可得 9.1.5 线性离散系统的Z特征方程在线性连续系统中，用特征方程来表征系统的动态特性，同样在线性离散系统中引进Z特征方程的概念来描述一个线性离散系统的动态特性。 设线性离散系统的状态方程为 （9.42）对式（9.42）作Z变换，可得仿照线性连续系统，令矩阵的行列式 （9.43）称式（9.43）称为线性离散系统的Z特征方程。 例 9.6设线性离散系统的状态矩阵试求线性离散系统的Z特征方程。 解 （9.44）式（9.44）即为线性离散系统的Z特征方程或称为矩阵的Z特征方程。Z特征方程的根也称为矩阵的特征值，就是线性离散系统的极点。 对于一个阶的系统，仅有个特征值。因为特征方程表征系统的动态特性，因此尽管一个系统的状态变量的选择不是唯一的，但是系统的Z特征方程是不变的。 例 9.7 设线性离散系统的Z传递函数为试导出离散状态方程，并求出Z特征方程。解 用直接程序法求系统的离散状态方程（参阅第8章内容，直接程序法） （9.45）上式中，令 （9.46）由（9.46）式得出 （9.47） （9.48）（9.49） 图 9.3 例9.7状态变量框图根据式（9.47）和式（9.49）画出状态变量框图如图9.3所示。 由图9.3 可知 （9.50） （9.51）由上式可知则，Z特征方程为特征值 用并联程序法求系统离散状态方程令 ， （9.52） （9.53）由（9.52）式和（9.53）式，画出系统状态变量框图如图9.4所示。 图 9.4 并联程序框图 由图9.4可以写出系统离散状态方程 （9.54） （9.55）由式（9.54）可知则，Z特征方程为特征值 由本例可以清楚看到一个线性离散系统，用不同的方法可以得到不同的离散状态方程，如式（9.50）、（9.51）以及（9.54）、（9.55）中的状态矩阵是不同的。但是，它们的特征方程是相同的，因而它们的特征值也相同。而且特征值的个数就等于离散系统的阶数。9.1.6 计算机控制系统的离散状态空间表达式 一个计算机控制系统，通常由数字计算机和连续环节组成。计算机控制系统的离散状态空间表达式，可以通过连续环节的状态空间表达式离散化得到，也可以用Z变换得到。下面介绍用Z变换求得计算机控制系统的离散状态空间表达式。 图 9.5 计算机控制系统 例 9.8 已知计算机控制系统如图9.5所示，初始静止。试求系统的离散状态空间表达式。 解 广义被控对象的传递函数广义对象的Z传递函数图 9.6 图9.5的等效方框图 （9.56）由式（9.56）可以建立系统的方框图，如图9.6所示。 选择状态变量 （9.57）由式（9.57）可得（9.58）由式（9.58）可得离散状态方程，由图9.6可得离散状态空间表达式。（9.59）当时，系统特征方程为 图9.7 计算机控制系统方框图当用连续部分的状态空间表达式离散化时，也即要求导出连续部分的离散状态方程。假设计算机控制系统的方框图如图9.7所示。由图9.7可见，计算机控制系统由连续部分和离散部分组成。是数字控制器，为离散部分；是保持器传递函数，它与被控对象合在一起为，称为广义被控对象。绝大多数系统中，为零阶保持器，它的输出为阶 图 9.8 零阶保持器的输出梯信号，如图9.8所示。连续对象的动态特性可以用状态空间表达式表示 （9.60）式（9.60）的解为 （9.61） 当为阶梯信号时 （9.62） 初始条件为 积分上限为 积分下限为 ，且 由式（9.61）可得 （9.63）在积分区间内，输入是常数，而且积分对所有的都成立，作变量置换，则有 （9.64）式（9.64）是与有关的常数矩阵。将其代入（9.63）式，可得 （9.65）式（9.65）即为所求的离散状态方程，写成标准形式为 （9.66）式中 图9.9 计算机控制系统结构图 例 9.9已知计算机控制系统如图9.9所示，试求计算机控制系统的离散状态空间表达式。解 由图9.9 可得对象的状态空间表达式可以写成下列形式由于系统采用零阶保持器，是阶梯信号，由此可求得对象的离散状态空间表达式。 由对象的状态空间表达式，可知则对象的离散状态空间表达式的状态矩阵对象的输入矩阵所以，离散状态方程为以代入上式 经整理得 系统特征方程 对照例9.8，对于同一个计算机控制系统，用不同的方法都能得出相同的Z特征方程。9.1.7 用离散状态空间法分析系统的稳定性 设线性离散系统的状态方程为 （9.67）用迭代法求（9.67）的解，得 （9.68）分析系统的稳定性只考虑状态方程的齐次解，即的情况，则 （9.69） 设是矩阵，具有两两相异的特征值。根据西尔维斯特展开定理，可以展开成级数 （9.70）式中称为的相容矩阵或要素矩阵，且 （9.71）矩阵跟及其个特征值有关，但是是确定的，与无关。于是状态方程的解为 （9.72） 显然只有，当时，才收敛，系统才是稳定的。 由此可以得到线性离散系统的稳定判据：线性离散系统稳定的充分必要条件是系统的Z特征方程的所有特征根。特征值在Z平面上的分布与稳定性关系如图9.10所示。图 9.10 线性离散系统的稳定区 例 9.10 设线性离散系统如图9.5所示，。试判断采样周期时系统的稳定性。 解 由例9.8可知，系统中，当时，线性离散系统的状态空间表达式为系统的状态矩阵为 当T=1sec时Z特征方程为，可知所以系统稳定。 当T=3sec时Z特征方程为，可知所以系统稳定。 当T=5sec时Z特征方程为，可知所以系统不稳定。从例9.9可以看到，可用Z特征根在Z平面上的分布，来判断线性系统的稳定性。同时也可以看到，在线性离散系统中，采样周期T是系统的一个重要参数：当T比较小时，系统稳定；当T增大时，特征根的模加大，在Z平面内向单位圆靠近；当T大到一定值时，特征根的模大于1，即在单位圆外，系统变得不稳定了。9.2 线性系统离散状态空间设计法离散状态空间设计法是利用离散状态空间表达式，根据性能指标要求，设计出满足要求的计算机控制系统。离散状态空间设计法的主要优点是能够处理多输入-多输出系统、时变系统和非线性系统等。这种设计方法容易理解，便于计算机辅助设计和实现，但是难于沿用古典的控制理论中现成的设计方法。采用离散状态空间法设计控制系统还没有像古典控制理论那样建立起一套完整的规则，离散状态空间设计法也没有像古典控制理论那样直观的性能指标，各种目标函数和二次型指标都不能十分确切地反映出实际被控制对象的希望特性。然而，由于计算机越来越多地应用于控制系统，离散状态空间设计法正逐渐受到人们的重视和普及应用。本节所介绍的离散状态空间设计法，重点放在有限拍系统设计方法上。在讨论设计方法之前，首先讨论离散系统的能控性和能观测性。9.2.1离散系统的能控性和能观测性控制系统的能控性和能观测性的概念是Kalman提出来的，这两个概念具有重要意义。能控性指的是控制作用对被控系统影响的可能性。如果在一个有限的时间间隔里，可以用一个无约束的控制向量，使得系统由初始状态转移到终点状态，那么系统就称作在时间是能控的。能观测性反映了由系统的量测，确定系统状态的可能性。如果系统在状态可通过在一个有限的时间间隔内，由输出量的观测值确定，那么系统就称作在时间是能观测的。能控性和能观测性从状态的控制能力和状态的测辨能力两个方面揭示了控制系统构成的两个基本问题。如果所研究的系统是不能控的，那么，最优控制问题的解是不存在的。尽管大多数物理系统是能控和能观测的，然而，也有部分物理系统可能不具有能控性和能观测性。因此，我们应当弄清楚系统在什么条件下是能控的或能观测的。1. 离散系统的能控性设离散系统的离散状态方程为 （9.73）式中 为状态向量维； 为控制向量维； 为状态矩阵，维，是非奇异矩阵； 为输入矩阵，维； 为采样周期。为了讨论方便，假设是一维标量，在的时间内是一个常值。如果在有限采样间隔内，存在阶梯信号，使得状态由任意初状态开始，经过进入状态，那么由式（9.73）所确定的离散系统是能控的。如果每一个状态都是能控的，系统称作状态完全能控的。方程（9.73）的解为 （9.74）时刻的解为 （9.75）或者 （9.76）引入维向量 （9.77）则（9.76）式可表示为 （9.78） 初始状态及终止状态为任意给定值时，为了满足（9.78）式，在向量组中必须有个独立的向量，这是因为控制变量都为标量。在，任意给定时，达到所需的步数不可能低于系统的阶数，也就是。设，用线性方程表示式（9.78），可有 （9.79）为了使控制序列，不论式（9.79）右边取任何值的时候都能够存在，系统矩阵的各个向量必须线性独立，也就是满足（系统的阶数） （9.80） 如果式（9.80）成立，那么就能够在有限拍时间内使系统的状态从在转移到，就称系统是完全能控的。应当注意，以上结论只有当不受约束时才是正确的。如果受到约束，那么必须大于个采样周期。设，式（9.76）的两边左乘（必须正则），则 （9.81）令 （9.82）则式（9.81）可表示为 （9.83）因此，状态完全能控的条件是：式（9.82）表示的是线性独立的。 图9.11 二阶系统能控性 如果控制向量是维向量，则系统的能控性仍由上述相同的条件决定。 例9.11 设二阶系统如图9.11所示，采样周期T=1sec，试判断系统的能控性。 解 二阶系统的离散状态方程空间表达式为 （9.84）所以 （9.85）由式（9.85）可得 （9.86） （9.87）在控制变量不受约束的情况下，系统是完全能控的。 如果离散系统是由Z传递函数描述时，该离散系统能控的条件是Z传递函数的分子和分母不存在对消因子，否则离散系统是不能控的。 例9.12 设离散系统的Z传递函数为 （9.88）试判断系统的能控性。 解 由系统的Z传递函数可得 （9.89）系统的差分方程为 （9.90）设 则 （9.91）离散系统的离散状态方程为 （9.92）离散系统的能控性矩阵（9.93）由（9.93）式可知，能控性矩阵是奇异的，所以离散系统是不能控的。 能控性是反映了系统的状态向量从初始状态转移到所希望的状态的可能性。同样，能否使输出向量转移到所希望的数值也是一个很重要的问题，由于输出向量和状态向量之间存在着如下的关系 （9.94）所以由式（9.80）可以证明，输出能控条件是 （9.95）式中是输出向量的维数。 2. 离散系统的能观测性 系统的能观测性，也就是在有限的步数内（与初始状态无关），分析测量和重构所有状态的可能性，能观测性取决于系统的特性矩阵和。设离散系统的离散状态空间表达式为 （9.96）式中 为输出向量维；为状态向量维； 为控制向量维； 为状态矩阵，维； 为输入矩阵，维； 为输出矩阵，维； 为采样周期。如果给出有限个采样周期内的输出，就可以确定系统的初始状态向量，那么系统是可观测的。 设从瞬间开始测量次（每隔周期T测量一次），因为 （9.97）式（9.97）中不包含由引起的分量，因为和都已知时，该分量可以从中扣除。由次测量可得 （9.98）式（9.98）的矩阵形式为 （9.99）写成初始值的表达式 （9.100）离散系统完全能观测是根据，由式（9.100）可以确定，的一组唯一解，矩阵 （9.101）中应找出个线性无关的方程，也就是式（9.101）矩阵的秩应为。也即 （9.102） 例9.13 设系统如图9.11所示。试分析系统的能观测性。 解 由（9.84）式可知， 。所以 （9.103）该离散系统是完全能观测的。 9.2.2 离散状态空间有限拍系统设计法 设多输入、多输出系统如图9.12所示。图中，为保持器传递函数，是被控对象传递函 图9.12 多输入、多输出系统的方框图数。离散状态空间设计法的目标是利用离散状态空间表达式，设计出数字控制器，使计算机控制系统满足或达到所要求的性能指标。本节所讲述的内容主要是离散状态空间有限拍系统的设计。计算机控制系统中控制对象经常是连续对象，设计时首先把对象离散化，用离散状态空间方程表达式表征控制对象。 离散状态空间有限拍系统设计法的步骤如下： 连续对象离散化，设采样周期为T，对象的离散状态空间表达式为 （9.104）式中 为维状态向量；为维输出向量； 为维控制向量； 为维状态矩阵； 为维输入矩阵； 为维输出矩阵； 为采样周期。 计算能使经过个采样周期单调地达到稳态时数字控制器的输出序列。 计算误差序列 （9.105） 分别对，取Z变换，取两者之比，即可求得数字控制器的Z传递矩阵 （9.106） 为了了解和加深对离散状态空间设计法的理解，下面举几个例子，来说明该设计方法。首先通过例子说明单输入、单输出系统的设计。 1. 单输入、单输出系统 图9.13 单输入、单输出系统方框图例 9.14 设单输入、单输出系统如图9.13所示。被控对象广义传递函数，采样周期T=1sec。试用离散状态空间设计法设计数字控制器，使过程在有限拍时间内结束。解 首先写出广义被控对象的离散状态空间表达式。（9.107）令 （9.108） （9.109） （9.110）图9.14 被控对象离散框图根据式（9.109）及式（9.110）画出其离散框图如图9.14所示。 由图9.14可以直接写出被控对象的状态空间表达式 （9.111）计算能使经过个采样周期单调地达到稳态时数字控制器的输出序列。 设系统输入为阶跃函数，控制变量不受约束。在式（9.111）中，令，且 则 （9.112） 为了实现个有限拍调节，要确定控制器输出，使系统输出由任意初始状态，转移到稳态，在采样时刻稳态误差为零。计算，及误差下面我们分三种情况（）来讨论该例的控制器设计问题： 设（有纹波情况）即经过1拍时间，系统输出与系统输入相等。由（9.111）式可知则 （9.113） 系统经过二拍时间，其输出仍保持与输入相等，下面计算的值将的值代入（9.112）式，则有 （9.114）将式（9.114）代入（9.111），则有则所以 （9.115）仿照上述步骤则 （9.116）依据上述步骤，可以计算出分别对，取Z变换，取两者之比，即可求得数字控制器的Z传递矩阵。由以上计算得到 （9.117） （9.118）取式（9.117）及式（9.118）的Z变换，可得 （9.119） 图9.15 时系统的阶跃响应 式（9.119）为系统控制器的脉冲传递函数，系统输出响应如图9.15所示。系统在单位阶跃输入时，经过一拍就能使，但是，在采样点之间输出值与输入值不等，即输出响应有纹波，因此实际应用较少。 设（无纹波的情况） 当用两个采样周期达到所要求的目标时，可以保证系统的输出是无纹波的。 设初始状态，由系统状态空间表达式（9.111）可以求出 （9.120）将上式代入系统状态空间表达式（9.111），令得（9.121）进而计算，因为系统在两拍时间内完成过渡，系统输出等于输入，即。输入为单位阶跃函数，参看式（9.107）表达式可知，具有一个积分因子，其输入为零，则输出保持不变，因而。 将上式代入系统状态空间表达式（9.111），令 （9.122）由式（9.121）和式（9.122）解出 （9.123）控制序列只有两项 （9.124） 为了确定数字控制器的脉冲传递函数，还应求出，已知， 以及所以 （9.125）进而计算将和的值代入上式，得 因此 （9.126）因为，所以，。所以 （9.127）由（9.124）式和（9.127）式，得 （a）系统输出响应 （b）控制作用图9.16 有限拍系统的输出及控制作用 （9.128）时系统的输出及控制作用如图9.16（a）、（b）所示。 （控制作用受约束系统） 在实际的控制系统中由于装置的容量和额定值等的限制，控制作用是受约束的，在这种系统中，可以由延长时间来实现有限拍控制。这里设计的要求是系统在单位阶跃输入作用下，以尽可能短的时间内达到稳定。对象的控制作用是受约束的，即 由上面的分析可知，经过两拍时间系统达到稳定时，由式（9.123）控制量的值超过约束条件。现在重新设，时由状态方程和初始条件可得 （9.129）由于，所以 则假设经过三拍（）系统达到稳态，则有 则有 （9.130）当时因为设，所以计算系统第四拍的输出，保持1不变 即 （9.131）解式（9.130）和式（9.131），得 （9.132）式（9.132） 其绝对值都小于1，满足约束条件，因此控制序列取的Z变换，得 （9.133）由以上的分析，可以求出系统误差序列 ， 因此，因此因为 所以 系统误差序列为取的Z变换，得 （9.134）式（9.133）与式（9.134）之比，可得数字控制器的Z传递函数 （9.135）控制作用受到约束时，可以保证系统在单位阶跃作用下是无纹波输出，调节时间为。（a）系统单位阶跃响应 （b）控制作用图9.17 控制作用受约束系统的有限拍无纹波控制系统的输出响应和控制作用如图9.17所示。 2. 多变量系统设计 图9.18 多输入、多输出系统的方块图现在我们来说明多变量系统的设计。为了说明方便，将图9.12重新绘，如图9.18所示。试设计单位阶跃输入作用下的有限拍控制系统。 设对象的连续状态空间表达式为设对象的离散状态空间表达式为 （9.136） 式中设初始状态，则 （9.137）所以系统输出为 （9.138） 假设系统经过拍（）使其输出与输入一致，则 （9.139）写成矩阵形式 （9.140）为了保证时系统达到稳态且无纹波，的状态变量对时间的导数必须等于零，即 （9.141）将式（9.137）代入（9.141）可得 （9.142）把式（9.140）和式（9.142）合并，并用矩阵表示，则 （9.143） 由式（9.143）可以求得控制器的输出控制序列。对于线性系统与成正比，所以 （9.144） 对于误差序列 （9.145）对于单位阶跃输入，可简记为，并将式（9.143）代入式（9.144）可得 （9.146） （9.147）对式（9.144）作Z变换，可得 （9.148）当，对象的输入保持恒定的，又有 所以 （9.149）由式（9.147）、式（9.149）可得多变量有限拍系统的数字控制器 （9.150） 例9.16 设有二阶单输入、单输出对象，即，其状态方程为 （9.151）设计有限拍控制器。 解 设采样周期sec，对象的离散状态方程为 （9.152）设式（9.143）中，可得 （9.153）将的值代入上式 （9.154）解上式 （9.155）由误差序列 （9.156）所以 （9.157）数字控制器的Z传递函数 （9.158）- 70 -