专题立体几何与空间向量（原卷版）.docx

专题1.3 立体几何与空间向量题组一、几何体的体积的计算 1-1、（2021年全国新高考卷数学试题）如图，在三棱锥中，平面平面，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.1-2、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且（1）证明：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积1-3、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，E，F分别为和的中点，.（1）求三棱锥的体积；（2）已知D为棱上的点，证明：.1-4、（2021·全国高三专题练习（理）如图，在四棱锥中，平面，四边形是等腰梯形分别是的中点.（1）证明：平面平面；（2）若二面角的大小为60°，求四棱锥的体积.1-5、（2021·山东泰安市·高三期末）为了更直观地让学生认识棱锥的几何特征，某教师计划制作一个正四棱锥教学模型现有一个无盖的长方体硬纸盒，其底面是边长为的正方形，高为，将其侧棱剪开，得到展开图，如图所示，分别是所在边的中点，剪去阴影部分，再沿虚线折起，使得，四个点重合于点，正好形成一个正四棱锥，如图所示，设（单位：）（1）若，求正四棱锥的表面积；（2）当取何值时，正四棱锥的体积最大题组二、线面角的计算2-1、（2021·河北唐山市高三三模）在四棱锥中，.（1）证明：平面；（2）若二面角的余弦值为，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.2-2、（2021·江苏盐城市高三三模）如图，在三棱柱中，且平面平面.（1）求证：平面平面；（2）设点为直线的中点，求直线与平面所成角的正弦值.2-3、（2021·河北石家庄市高三二模）如图，四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面底面，为的中点（1）求证：；（2）在线段（不包括端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由题组三、面面角的计算3-1、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且（1）求；（2）求二面角的正弦值3-2、（2021·湖北高三二模）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，点，分别在棱，上（不包含端点），且（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值3-2、（2021·山东泰安市·高三期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，为上一点，过作与平行的平面，分别交，于点，（1）证明：平面；（2）若为的中点，直线与平面所成角为60°求平面与平面所成锐二面角的余弦值3-3、（2021·河北邯郸市高三三模）在三棱柱中，底面，为正三角形，是的中点.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.3-4、（2021·河北保定市高三二模）如图，在多面体中，平面，平面，且，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.3-5、（2021·江苏扬州市高三模拟）如图，四棱锥中，平面，平面.（1）证明：平面；（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值.题组四、线线角、线面角范围的研究4-1、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，E，F分别为和的中点，D为棱上的点 （1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?4-2、（2021·湖北武汉市高三模拟）如图，四棱锥PABCD中，AD2，ABBCCD1，ADBC，且PAPC，PBPD（1）证明：平面PAD平面ABCD；（2）求直线PA与平面PBD所成角的正弦值的最大值4-3、（2021·湖南长沙市·长郡中学高三一模）如图1，在等边中，点DE分别为边上的动点且满足，记.将沿翻折到的位置并使得平面平面，连接，得到图2，点N为的中点.（1）当平面时，求的值；（2）试探究：随着入值的变化，二面角的大小是否改变？如果是，请说明理由；如果不是，请求出二面角的正弦值大小.4-4、（2021·山东济南市高三一模）已知正方体和平面，直线平面，直线平面.（1）证明：平面平面；（2）点为线段上的动点，求直线与平面所成角的最大值.4-5、（2021·山东德州市·高三期末）在四棱锥中，为直角三角形，且，四边形为直角梯形，且为直角，E为的中点，F为的四等分点且，M为中点且（1）证明：平面；（2）设二面角的大小为，求的取值范围学科网（北京）股份有限公司