第58讲不等式的证明（讲）解析版.docx

第58讲 不等式的证明【课标解读】了解不等式证明的基本方法：比较法、综合法、分析法，并能应用它们证明一些简单的不等式【备考策略】从近三年高考情况来看，本讲是高考命题的一个热点预测2022年将会考查：与基本不等式结合证明不等式；与恒成立、探索性问题结合，题型为解答题，属中档题型.【核心知识】1基本不等式定理1：如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立定理2：如果a，b0，那么，当且仅当ab时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均定理3：如果a，b，cR，那么，当且仅当abc 时，等号成立2比较法(1)作差法的依据是：ab0ab.(2)作商法：若B0，欲证AB，只需证1.3综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立4反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立5放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的6柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号成立(2)若ai，bi(iN*)为实数，则，当且仅当(当ai0时，约定bi0，i1,2，n)时等号成立(3)柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向量，则|·|，当且仅当，共线时等号成立【高频考点】高频考点一分析法、综合法证明不等式例1.(2020·全国卷)设a，b，cR，abc0，abc1.(1)证明：abbcca<0；(2)用maxa，b，c表示a，b，c的最大值，证明：maxa，b，c.证明(1)由题设可知，a，b，c均不为零，所以abbcca(abc)2(a2b2c2)(a2b2c2)<0.(2)不妨设maxa，b，ca，因为abc1，a(bc)，所以a>0，b<0，c<0.由bc，可得abc，故a ，所以maxa，b，c .【方法技巧】综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键；(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件【变式探究】已知a>0，b>0，a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明(1)因为a>0，b>0，a3b32，所以要证(ab)(a5b5)4，只需证(ab)(a5b5)(a3b3)2，即证a6ab5a5bb6a62a3b3b6，即证a4b42a2b2.因为(a2b2)20，所以a4b42a2b2成立，故原不等式成立(2)要证ab2，只需证(ab)38，即证a33a2b3ab2b38，即证ab(ab)2，即证ab(ab)a3b3，即证ab(ab)(ab)(a2abb2)，即证aba2abb2，即证a2b22ab，此式显然成立故原不等式成立【变式探究】(2019·全国卷)已知a，b，c为正数，且满足abc1.证明：(1)a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.证明：(1)因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又abc1，所以a2b2c2abbcca，当且仅当abc1时，等号成立所以a2b2c2.(2)因为a，b，c为正数且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ca)3×(2)×(2)×(2)24.当且仅当abc1时，等号成立所以(ab)3(bc)3(ca)324.高频考点二放缩法证明不等式例2.若a，bR，求证：.证明当|ab|0时，不等式显然成立当|ab|0时，由0<|ab|a|b|，所以.【方法技巧】用放缩法证明不等式将所证不等式中的某些项适当放大或缩小(主要方法是拆分、配凑、增减项等)，可使有关项之间的不等关系更加明晰，更加强化，且有利于式子的代数变形、化简，从而达到证明的目的这种方法灵活性较大，技巧性较强【变式探究】求证：<.证明：2n12·2n112·2n12n1·2n1(n3)，·，<1<<.高频考点三柯西不等式的应用例3、(2019·全国卷)设x，y，zR，且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)2成立，证明：a3或a1.【解析】(1)因为(x1)2(y1)2(z1)2·(121212)(x1)(y1)(z1)2，所以由已知得(x1)2(y1)2(z1)2，当且仅当x，y，z时等号成立所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值为.(2)证明：因为(x2)2(y1)2(za)2·(121212)(x2)(y1)(za)2，所以由已知得(x2)2(y1)2(za)2，当且仅当x，y，z时等号成立所以(x2)2(y1)2(za)2的最小值为.由题设知，解得a3或a1.【方法技巧】柯西不等式的应用类型及解题策略类型解题策略求表达式的最值依据已知条件，利用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件求解析式的值利用柯西不等式的条件，注意等号成立的条件，进而求得各个量的值，从而求出解析式的值证明不等式注意所证不等式的结构特征，寻找柯西不等式的条件，然后证明【变式探究】已知x，y，z均为实数(1)求证：12x42x3x2；(2)若x2y3z6，求x2y2z2的最小值【解析】(1)证明：因为(12x4)(2x3x2)2x3(x1)(x1)(x1)(x1)(2x3x1)(x1)(2x32xx1)(x1)2x(x21)(x1)(x1)2(2x22x1)(x1)20， 所以12x42x3x2.(2)因为6x2y3z·(由柯西不等式得)，所以x2y2z2，当且仅当x，即x，y，z时，x2y2z2有最小值.【举一反三】已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.【解析】(1)因为f(x2)m|x|，f(x2)0等价于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1,1，故m1.(2)证明：由(1)知1，又a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c) 9.所以不等式得证 7 / 7学科网（北京）股份有限公司