第4讲 函数的图象与性质（解析版）.docx

第4讲 函数的图象与性质 函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等函数的性质与图象【知识要点】函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等本章着重研究后四个方面的性质本节的重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用数形结合是本节常用的思想方法1设函数yf(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)，则这个函数叫做奇函数设函数yg(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有xD，且g(x)g(x)，则这个函数叫做偶函数由奇函数定义可知，对于奇函数yf(x)，点P(x，f(x)与点(x，f(x)都在其图象上又点P与点关于原点对称，我们可以得到：奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形2一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间MA如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量xx2x10，则当yf(x2)f(x1)0时，就称函数yf(x)在区间M上是增函数；当yf(x2)f(x1)0时，就称函数yf(x)在区间M上是减函数如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的3一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域中的每一个值时，f(xT)f(x)都成立，那么就把函数yf(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期4一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数a，使得当x取定义域中的每一个值时，f(ax)f(ax)都成立，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称【复习要求】1理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题；2了解函数奇偶性的含义能判断简单函数的奇偶性3了解函数周期性的含义4了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题函 数【知识要点】要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射记作f：AB，其中x叫原象，y叫象2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数记作yf(x)，xA其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域所有函数值构成的集合yyf(x)，xA叫做这个函数的值域函数的值域由定义域与对应法则完全确定3、函数是一种特殊的映射其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则其中定义域和对应法则是核心【复习要求】1了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象2能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数3掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则4理解定义域在三要素的地位，并会求定义域【教材回归】1函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围(2)常见函数的值域一次函数ykxb(k0)的值域为R；二次函数yax2bxc(a0)：当a>0时，值域为，当a<0时，值域为；反比例函数y(k0)的值域为yR|y0【例题分析】1.函数f（x）+的定义域为（）A0，2）B（2，+）C（，2）（2，+）D0，2）（2，+）【考点】函数的定义域及其求法版权所有【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算【答案】D【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可【解答】解：由题意得：，解得：，故x0，2）（2，+），故选：D【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是基础题2.函数的定义域为（）A2，0B（2，0）C（2，0D（2，+）【考点】函数的定义域及其求法版权所有【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象【答案】C【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可【解答】解：要使函数有意义，则1log2（x+2）0得log2（x+2）1，即0x+22，得2x0，即函数的定义域为（2，0，故选：C【点评】本题主要考查函数定义域的求解，结合根式成立的条件进行转化是解决本题的关键，是基础题3.下列各函数中，值域为（0，+）的是（）AyBCy22x+1D【考点】函数的值域版权所有【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象【答案】C【分析】根据函数的性质分别求出函数的值域进行判断即可【解答】解：x2+2x3（x+1）244，y的值域是R，不满足条件012x1，则函数的值域为0，1），不满足条件y22x+10，即函数的值域为（0，+），满足条件y（0，1）（1，+），不满足条件故选：C【点评】本题主要考查函数值域的求解和判断，结合函数的性质求出函数的值域是解决本题的关键，是基础题2函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(x)f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(x)f(x)成立，则f(x)为偶函数)(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若f(xT)f(x)(T0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期【例题分析】1.下列函数中，是奇函数且在其定义域内单调递增的是（）AyexByx3CysinxDytanx【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断；奇偶性与单调性的综合版权所有【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象【答案】B【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性是否满足条件即可【解答】解：A函数是非奇非偶函数，不满足条件Byx3是奇函数，在R上是增函数，满足条件Cysinx是奇函数，在定义域上不单调，不满足条件Dytanx是奇函数，在定义域上不单调，不满足条件故选：B【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数的奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键，是基础题2.下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+）上单调递减的函数为（）AycosxBylog2xCy2xDyx2【考点】函数奇偶性的性质与判断；奇偶性与单调性的综合版权所有【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【答案】D【分析】可看出选项A的函数在（0，+）上没有单调性，选项B，C的函数都是非奇非偶函数，从而只能选D【解答】解：ycosx在（0，+）上没有单调性；ylog2x和y2x都是非奇非偶函数；yx2是偶函数，且在（0，+）上是减函数故选：D【点评】本题考查了偶函数和减函数的定义及判断，偶函数图象的对称性，考查了计算能力，属于基础题3.下列函数既是偶函数，又在（0，+）上单调递增的是（）Ayx2+1BCy3|x|D【考点】函数奇偶性的性质与判断；奇偶性与单调性的综合版权所有【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【答案】AC【分析】判断每个选项函数的奇偶性，以及在（0，+）上的单调性即可【解答】解：yx2+1和y3|x|都是偶函数，在（0，+）上都单调递增，AC正确；和都不是偶函数，BD错误故选：AC【点评】本题考查了偶函数的定义，二次函数和指数函数的单调性，考查了计算和推理能力，属于基础题4.写出一个最小正周期为2的奇函数f（x）【考点】奇函数、偶函数；函数的周期性版权所有【专题】开放型；函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理【答案】sinx【分析】先考虑熟悉的基本初等函数，再结合周期性和奇偶性即可得到答案【解答】解：基本初等函数中的既为周期函数又为奇函数的是ysinx，又最小正周期为2，故函数可为f（x）sinx故答案为：f（x）sinx【点评】本题属于开放性问题，主要考查的是函数的奇偶性和周期性的应用，解题的关键了解基本初等函数的性质并能够进行灵活的应用5.设函数f（x）是定义在R上的以5为周期的奇函数，若，则a的取值范围是（）A（2，3）B（3，2）C（，3）（2，+）D（2，0）（3，+）【考点】函数奇偶性的性质与判断；奇偶性与单调性的综合；函数的周期性版权所有【专题】计算题；函数的性质及应用【答案】A【分析】根据函数是以5为周期的奇函数，得f（2）f（3），结合函数为奇函数，得f（3）由此结合f（2）1建立关于a的不等式，解之可得a的取值范围【解答】解：函数f（x）以5为周期，f（2）f（3），又函数是奇函数f（3）因此，f（2）f（3）0，即（a+2）（a3）0，解之得2a3故选：A【点评】本题在已知函数为奇函数且是周期函数的情况下，解关于a的不等式，考查了函数的奇偶性和周期性，以及不等式的解法等知识，属于基础题3关于函数周期性、对称性的结论(1)函数的周期性若函数f(x)满足f(xa)f(xa)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期；若函数f(x)满足f(xa)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期；若函数f(x)满足f(xa)f(x)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期(2)函数图象的对称性若函数yf(x)满足f(ax)f(bx)，则函数f(x)的图象关于直线x对称若函数yf(x)满足f(ax)f(bx)，则函数f(x)的图象关于点对称【例题分析】1.函数yf（x）与函数yf（x）的图象关于（）对称Ax轴By轴C坐标原点D不能确定【考点】奇偶函数图象的对称性版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【答案】B【分析】利用图象关于x0的对称特点分别判断【解答】解：因为函数yf（x）关于x0对称的函数为yf（x），所以函数yf（x）与函数yf（x）的图象关于y轴对称故选：B【点评】本题主要考查几种常见函数的对称关系，要求熟练掌握这些对称对应函数的变化2.下列函数中，其图象与函数yln（x+1）的图象关于直线x1对称的是（）Ayln（1x）Byln（3x）Cyln（1+x）Dyln（3+x）【考点】奇偶函数图象的对称性版权所有【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【答案】B【分析】根据题意，设yg（x）的图象与函数yln（x+1）的图象关于直线x1对称，分析可得g（x）f（2x），结合f（x）的解析式分析可得答案【解答】解：根据题意，设yg（x）的图象与函数yln（x+1）的图象关于直线x1对称，则有g（x）f（2x），即g（x）ln（2x）+1ln（3x），故选：B【点评】本题考查函数图象的对称性，注意关于直线x1对称的函数的性质3.函数f（x）的图象关于（）Ay轴对称Bx轴对称C坐标原点对称D直线yx对称【考点】奇偶函数图象的对称性版权所有【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【答案】A【分析】根据条件判断函数的奇偶性即可判断函数的图象关系【解答】解：函数f（x），定义域为：x|x±1关于原点对称，且f（x）f（x），函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故选：A【点评】本题主要考查函数图象的对称，根据函数奇偶性和图象之间的关系是解决本题的关键4函数的单调性函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质单调性的定义的等价形式：设任意x1，x2a，b，且x1x2，那么(x1x2)f(x1)f(x2)>0>0f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)<0<0f(x)在a，b上是减函数若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数yf(g(x)的单调性【例题分析】1.若a3e，be3，c3，其中e为自然对数的底数，则（）AabcBbacCacbDbca【考点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质与判断版权所有【专题】计算题；方程思想；转化思想；函数的性质及应用；数学运算【答案】A【分析】根据题意，由幂函数x3的单调性可得bc，对于，求出其导数，分析可得在1，+）单调递减，由此可得，变形得ab，综合可得答案【解答】解：根据题意，因为函数yx3在R上单调递增，所以bc；对于，其导数y，在区间（1，+）上，y0，则在1，+）单调递减，故，即3ee3，从而得ab，故abc，故选：A【点评】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意常见函数的单调性，属于基础题2.已知函数f（x）是定义在2，+）的单调递增函数，若f（2a25a+4）f（a2+a+4），则实数a的取值范围是（）AB2，6）CD（0，6）【考点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质与判断版权所有【专题】计算题；方程思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算【答案】C【分析】由函数的定义域和单调性可得22a25a+4a2+a+4，再求出a的取值范围【解答】解：函数f（x）是定义在2，+）的单调递增函数，若f（2a25a+4）f（a2+a+4），则22a25a+4a2+a+4，解得0a或2x6，所以实数a的取值范围为（0，2，6），故选：C【点评】本题考查了根据函数的单调性求参数的范围，考查了转化思想，属于基础题3若函数f（x）对x1，x2（1，+），（x1x2），不等式1成立，则称f（x）在（1，+）上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有（）Af（x）2x+1Bf（x）x2+2x+1Cf（x）x2log2xDf（x）x2x+【考点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质与判断版权所有【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【答案】ACD【分析】根据题意，设g（x）f（x）x2，分析可得g（x）在1，+）为减函数与f（x）在（1，+）上为“平方差减函数”等价，据此分析选项，即可得答案【解答】解：根据题意，设g（x）f（x）x2，若f（x）在（1，+）上为“平方差减函数”，则对x1，x2（1，+），（x1x2），不等式1成立，则有1×0，则有0，则函数g（x）f（x）x2在1，+）为减函数，反之，若函数g（x）f（x）x2在1，+）为减函数，则有（x1+x2）0，即f（x）在（1，+）上为“平方差减函数”，分析选项：对于A，f（x）2x1，g（x）f（x）x2x22x1，为开口向下，对称轴为x1的二次函数，g（x）在区间1，+）为减函数，则f（x）在（1，+）上为“平方差减函数”；对于B，f（x）x2+2x+1，g（x）f（x）x22x+1，g（x）在区间1，+）为增函数，则f（x）在（1，+）上不是“平方差减函数”；对于C，f（x）x2log2x，g（x）f（x）x2log2x，g（x）在区间1，+）为减函数，则f（x）在（1，+）上为“平方差减函数”；对于D，f（x）x2x+，g（x）f（x）x2x+，g（x）在区间1，+）为减函数，则f（x）在（1，+）上为“平方差减函数”；故选：ACD【点评】本题考查函数的单调性的判断，注意分析“平方差减函数”的定义，属于基础题5.函数的图象1作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换2利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点【例题分析】1.函数（e为自然对数的底数）的部分图象大致为（）ABCD【考点】函数的图象与图象的变换版权所有【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象【答案】A【分析】根据条件判断函数的奇偶性，结合函数值的符号，即可排除错误选项【解答】解：函数的定义域为x|x±1，f（x）f（x），则f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除BD，当0x1时，f（x）0，排除C，故选：A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，通常利用函数的奇偶性和对称性，以及函数值的符号，利用排除法解决此类题目，是基础题2.托马斯说：“函数是近代数学思想之花”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合M1，2，4到集合N1，2，4，16的函数的是（）Ay2xByx+2Cyx2Dy2x【考点】函数的概念及其构成要素版权所有【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象【答案】C【分析】根据函数的定义，分别进行判断即可【解答】解：A当x1时，y2，没有对应值，不满足条件B当x4时，yx+26，没有对应值，不满足条件C满足条件D当x1时，y，没有对应值，不满足条件故选：C【点评】本题主要考查函数的概念，利用函数的对应性是解决本题的关键，是基础题【易错点】1解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则2解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围3求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替4判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响学科网（北京）股份有限公司