高考数学一轮复习 二次函数与幂函数讲义.docx

专题3.4 二次函数与幂函数1. 幂函数的图象与性质与不等式、方程等问题综合考查,凸显数学抽象、逻辑推理；2. 二次函数的图象与性质与一元二次方程、一元二次不等式相结合考查,凸显逻辑推理、数学运算的核心素养.1.二次函数（1）二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为(m，n)；零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点.（2）二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a>0)f(x)ax2bxc(a<0)图象定义域(，)(，)值域单调性在上单调递减；在上单调递增在上单调递增；在上单调递减对称性函数的图象关于x对称奇偶性当b=0时，二次函数为偶函数；当b0时，二次函数为非奇非偶函数2.三个“二次”之间的关系（1）关于x的一元二次不等式ax2bxc>0(a0)或ax2bxc<0(a0)的解集；若二次函数为f(x)ax2bxc(a0)，则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合.（2）三个“二次”之间的关系设f(x)ax2bxc(a>0)，方程ax2bxc0的判别式b24ac判别式b24ac>00<0解不等式f(x)>0或f(x)<0的步骤求方程f(x)0的解有两个不等的实数解x1，x2有两个相等的实数解x1x2没有实数解画函数yf(x)的示意图得不等式的解集f(x)>0x|x<x1或x>x2x|xRf(x)<0x|x1<x<x23.幂函数（1）幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数.（2）常见的5种幂函数的图象（3）常见的5种幂函数的性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0，)x|xR，且x0值域R0，)R0，)y|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇定点（1,1）单调性第一象限的单调性：当>0时，单调递增；当<0时，单调递减；当=0时，无单调性；若函数在第二或第三象限有图象，结合函数奇偶性，得出函数的单调性.图象一定过第一象限，不过第四象限求二次函数的解析式【方法储备】一般用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件，选择合适的解析式的形式：【精研题型】1已知fx是二次函数，该函数图像开口向上，与x轴交点为：（0,0），（4,0)，且fx在R上的最小值为-8.（1）求fx的解析式；（2）若fx在区间a,a+1上单调，求实数的取值范围.2已知二次函数fx=ax2+bx+c,a>0.（1）若方程fx+2x=0有两个实数根x1=1,x2=3，且方程fx+6a=0有两个相等的根，求fx的解析式:（2）若fx的图像与x轴交于A3,0,Bm,0两点，且当1x0时，fx0恒成立，求实数的取值范围.【思维升华】3.已知二次函数fx满足f（x+1）-f（x）=2x-1，且f（0）=3（1）求函数fx的解析式；（2）若函数y=f（log3x+m），x13，3的最小值为3，求实数m的值二次函数的图象【方法储备】1.要能够准确快速地画出二次函数的图象，养成借助图象解题的思维习惯；2.能够准确地识别二次函数图象：（1）一看符号：二次项前的系数的符号，决定了开口方向；（2）二看对称轴：对称轴和最值，确定了二次函数图象的位置；（3）三看特殊点：看图象与x,y轴的交点，最值点等.3.结合图象，得出函数的性质，能够利用图象，解决相关问题.【精研题型】 4.已知二次函数fx=ax2+bx+0.1a0的图象如图所示，则4ab4的值为A.a+b B. C.a-b D.b-a5.（多选）下列四个命题：其中错误的命题是A.第一象限角一定是锐角B.第二象限角比第一象限角大C.当时，则有成立D.若二次函数fx=ax2+bx+2图象与轴没有交点，则b28a<0且a>06.已知二次函数fx=ax2+bx+3a0满足f3=f1=0，（1）求fx的解析式；（2）画fx的图象；并写出其值域.【思维升华】7.已知二次函数fx 的图象如图所示，则其导函数f'x 的图象大致形状是A. B.C. D.8.如果将一元二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的函数图象的对称轴为，最大值为，则、的值为A. B. C. D.9.二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为x=1若关于x的二次方程x2+bx-t=0（为实数）在-1x4的范围内有解，则t的取值范围是A.-1t3 B.t-1 C.3t8 D.-1t8二次函数的性质及应用【方法储备】1.二次函数的单调性问题（1）二次函数的单调性取决于开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，需要分类讨论；（2）若已知f(x)ax2bxc(a0)在区间A上单调递减(单调递增)，则区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧).（3）利用二次函数的单调性比较函数值大小，结合二次函数的对称性，将待比较的两个自变量的值转化到同一单调区间上，在进行比较（4）利用二次函数的单调性解fa>fb形式的不等式时，比较的是a,b到对称轴的距离.2.最值问题：二次函数闭区间上求最值问题是二次函数部分的重难点（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，本质上都是考虑对称轴与区间的位置关系；（2）当含有参数时，要讨论区间和对称轴的位置关系，确定函数在该区间上的单调性，求出最值.3.对称性问题：对于二次函数fx=ax2+bx+ca0（1）对称轴方程：x=b2a（2）若fx1=fx2x1x2,则对称轴方程为：x=x1+x22；4.若二次函数只可能为偶函数，即当一次项前的系数为0时，二次函数为偶函数.【精研题型】10已知二次函数f(x)2x2mx3.若f(4)f(0)，则f(1)的值为_11.已知二次函数fx=x2+x+aa>0，若fm<0,则fm+1的值为A.负数        B.正数         C.0 D.不确定，与a有关12.（多选）已知函数fx=3x26x1，则     A.函数与轴有两个不同的交点B.函数在上单调递增C.当时，若fax在上的最大值为8，则D.当时，若fax在上的最大值为8，则a=1313.已知二次函数y=g（x）满足g（1-x）=g（1+x），g（0）=-3，且y=g（x）的图象被x轴截得的线段长为4（1）求函数y=g（x）的解析式；（2）当xt，t+1时，求函数y=g（x）的最大值和最小值【思维升华】14.  已知二次函数fx的最小值为-4，f0=f2=3,且y=fx在区间3a,a+1上单调，则实数a的取值范围为 . 15.已知二次函数f（x）=x2+bx+c，若对任意的x1，x2-1，1，有|f（x1）-f（x2）|4，则b的取值范围是（）A.-5，3 B.-5，5 C.-3，3 D.-2，216.若二次函数f(x)=ax2-2x+c(xR)的值域为0，+)，则+的最大值为_.17.已知a,b 是非零向量，且ab,ab ，则 是A.一次函数且是奇函数         B.   一次函数但不是奇函数  C.  二次函数且是偶函数        D.    二次函数但不是偶函数   18.已知二次函数 对任意 ，都有 成立，设向量 ， ， ， ，当 时，求不等式 解集.二次函数的恒成立问题【方法储备】1.恒成立求参数的取值范围的思路：一是分离参数；二是不分离参数；2.两种思路最终都转化为求函数的最值：若分离参数，求新函数的最值；若不分离参数，讨论含参函数的单调性，求其最值；3.二次函数的其他问题，要数形结合，利用图象图象，从开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析.【精研题型】19.不等式x2+ax+4<0的解集为空集，则a的取值范围是A. B. C.， D.20.若不等式x2-ax+10和ax2+x-10对任意的xR均不成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.21.若对于任意的x0，2，不等式x2-2x+a0恒成立，则a的取值范围为 A.(-，1) B.(1，+) C.(0，+) D.1，+)【思维升华】22. 设奇函数f(x)在-1，1上是增函数，f(-1)-1，若f(x)t2-t+1对任意的x-1，1恒成立，则实数t的取值范围是 .23已知二次函数gx=mx22mx+n+1m>0在区间0,3上有最大值4，最小值0.（1）求函数gx的解析式；（2）设fx=gx2xx.若f2xk2x0在x3,3时恒成立，求k的取值范围.“三个二次”关系的应用【方法储备】1.三个二次之间的关系：一元二次不等式ax2bxc>0(a0)的解集的端点是一元二次方程ax2bxc0的根，也是函数yax2bxc的图象与x轴交点的横坐标.2.一元二次方程ax2+bx+c=0a>0根分布问题：设fx=ax2+bx+c（1）在R上没有实根，有且只有一个实根，有两个不相等的实根的情况，考虑判别式即可；（2）在某个区间内的实根分布有4种情况，从开口方向, 判别式, 对称轴, 端点函数值的角度考虑：两根与0比较即根的正负情况：考虑两根之和两根之积的正负一个根比k大，另一个根比k小：fk<0在两个区间m,n和p,qn<p内各有一根：fm>0fn<0,fp<0fq>0在区间m,n内有两个相异的实根：>0m<b2a<nfm>0,fn>0【精研题型】24.设不等式x2+ax+b<0的解集是x|-2<x<3，则a-b= A.7 B.5 C.-5 D.-725.（多选）已知一元二次方程的两个根为,且,那么满足的的取值有A. B. C. D.26.要使关于x的方程x2+(a2-1)x+a-20的一根比1大且另一根比1小，则实数a的取值范围是  A.a|-1a2 B.a|-2a1C.a|a-2 D.a|a1【思维升华】27.（多选）若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)m有实数根x1，x2，且x1x2，则下列结论正确的是 A.当m0时，x12，x23B.m>14C.当m0时，2x1x23D.二次函数y(x-x1)(x-x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2，0)和(3，0)28.已知关于x的不等式x2-4ax+3a20（a0）的解集为（x1，x2），则x1+x2+ax1x2的最大值是A. B. C. D.29.若二次函数f(x)=x2-2mx-5在区间(3,4)上存在一个零点，则m的取值范围是A. B. C. D.(-,)(,+)30.已知二次函数f（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）在区间（-1，1）内存在零点，求a的取值范围幂函数的概念【方法储备】1.利用待定系数法求幂函数，只需一个条件求出的值即可；2.注意区分幂函数与指数函数.【精研题型】31.幂函数fx=kx的图象过点12,22，则k+=A.12 B.1 C. D.232.函数fx既是幂函数又是二次函数，则fx=           ；函数gx既是幂函数又是反比例函数，则gx=           【思维升华】33.已知a0且a1，函数的图象恒过定点P，若P在幂函数fx的图象上，则f8=           幂函数的图象及性质【方法储备】1.函数yx的形式的图象都过点(1，1)；2.牢记幂函数在第一象限的特征：当>0时，单调递增；当0时，单调递减；3.奇偶性：当为分数时，先化为根式，在判断；4.比较幂值的大小时，结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较；既不同底又不同次数的幂函数值比较大小，常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断.【精研题型】34.如图是y=;y=;y=在第一象限的图象,则a,b,c的大小关系为(    )A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<a D.a<c<b35. 设，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D. 36.已知函数是幂函数，对任意，且，满足，若a，bR，且a+b>0，则f（a）+f（b）的值A.恒大于0               B.恒小于0               C.等于0                   D.无法判断37. (多选)已知幂函数（为常数），则下列命题正确的是A.若幂函数过点，则B.若，则在是增函数C.D.若，则在是增函数，且为奇函数【思维升华】38.设a=0.20.2，b=0.20.3，c=0.30.2，d=0.30.3，则a，b，c，d的大小关系是A.cadb B.cdabC.cabd D.dcba39. 已知幂函数f(x)x的图象经过点P(-2，-8)，af(e0)，则A. abc B. bca C. cab D. bac40.（多选）已知实数a，b，c满足，则下列结论正确的是A. B. C. D.41.已知幂函数y=x3m-9（mN*）的图象关于y轴对称，且在（0，+）上函数值随x增大而减小（1）求m的值；（2）求满足的a的范围