数列的概念与简单表示法（二） 学案（人教A版必修5）.doc

2.1数列的概念与简单表示法(二)自主学习 知识梳理1数列可以看作是一个定义域为_(或它的有限子集1,2,3，n)的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列_2一般地，一个数列an，如果从_起，每一项都大于它的前一项，即_，那么这个数列叫做递增数列如果从_起，每一项都小于它的前一项，即_，那么这个数列叫做递减数列如果数列an的各项_，那么这个数列叫做常数列3数列的最大、最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决，若求最大项an，n的值可通过解不等式组_来确定；若求最小项an，n的值可通过解不等式组_来确定 自主探究已知数列an中，a11，a22，an2an1an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列an具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 011项是多少？对点讲练知识点一利用函数的性质判断数列的单调性例1已知数列an的通项公式为an.求证：数列an为递增数列总结数列是一种特殊的函数，因此可用研究函数单调性的方法来研究数列的单调性变式训练1在数列an中，ann3an，若数列an为递增数列，试确定实数a的取值范围知识点二求数列的最大最小项例2已知an (nN*)，试问数列an中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由总结先考虑an的单调性，再利用单调性求其最值变式训练2已知数列an的通项公式为ann25n4 (nN*)，则(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值知识点三由递推公式求通项公式例3已知数列an满足a11，anan1 (n2)，写出该数列的前五项及它的一个通项公式总结已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌握由a1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想an的方法，以及累加：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1；累乘：an····a1等方法变式训练3已知数列an满足a1，anan1an1an，求数列an的通项公式函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N*或它的子集1,2，n，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即an>an1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即an递增an1>an对任意的n (nN*)都成立类似地，有an递减an1<an对任意的n(nN*)都成立. 课时作业一、选择题1已知an1an30，则数列an是()A递增数列 B递减数列 C常数项 D不能确定2已知数列an的首项为a11，且满足an1an，则此数列第4项是()A1 B. C. D.3若a11，an1，给出的数列an的第34项是()A. B100 C. D.4已知an (nN*)，记数列an的前n项和为Sn，则使Sn>0的n的最小值为()A10 B11 C12 D135已知数列an满足an1若a1，则a2 010的值为()A. B.C. D.题号12345答案二、填空题6已知数列an满足：a1a21，an2an1an，(nN*)，则使an>100的n的最小值是_7设ann210n11，则数列an从首项到第m项的和最大，则m的值是_8已知数列an满足a10，an1ann，则a2 009_.三、解答题9已知函数f(x)2x2x，数列an满足f(log2 an)2n.(1)求数列an的通项公式；(2)证明：数列an是递减数列10在数列an中，a1，an1 (n2，nN*)(1)求证：an3an；(2)求a2 010.§2.1数列的概念与简单表示法(二)知识梳理1正整数集N*函数值2第二项an1>an第二项an1<an都相同3.自主探究解a11，a22，a31，a41，a52，a61，a71，a82，.发现：an6an，数列an具有周期性，周期T6，证明如下：an2an1an，an3an2an1(an1an)an1an.an6an3(an)an.数列an是周期数列，且T6.a2 011a335×61a11.对点讲练例1证明an1an1an.由nN*，得an1an>0，即an1>an.数列an为递增数列变式训练1解若an为递增数列，则an1an0.即(n1)3a(n1)n3an0恒成立即a(n1)3n33n23n1恒成立，即a(3n23n1)min，nN*，3n23n1的最小值为7. a的取值范围为a7.例2解因为an1ann1·(n2)n·(n1)n1·n1·，则当n7时，n1·>0，当n8时，n1·0，当n9时，n1·<0，所以a1<a2<a3<<a7<a8a9>a10>a11>a12>，故数列an存在最大项，最大项为a8a9.变式训练2解(1)ann25n42，当n2,3时，an<0.数列中有两项是负数(2)ann25n42，可知对称轴方程为n2.5.又因nN*，故n2或3时，an有最小值，其最小值为2.例3解由递推公式得a11，a21，a3，a4，a5.故数列的前五项分别为1，.通项公式为an2 (nN*)变式训练3解anan1an1an，1.211 n1.n1，an (nN*)课时作业1A2Ba11，a21，a3，a4×.3Ca2，a3，a4，猜想an，a34.4Ba1a10，a2a9，a3a8，a4a7，a5a6，S11>0，则当n11时，Sn>0，故n最小为11.5C计算得a2，a3，a4，故数列an是以3为周期的周期数列，又知2 010除以3能整除，所以a2 010a3.612710或11解析令ann210n110，则n11.a1>0，a2>0，a10>0，a110.S10S11且为Sn的最大值82 017 036解析由a10，an1ann得anan1n1，an1an2n2，a2a11，a10，累加可得an012n1，a2 0092 017 036.9(1)解因为f(x)2x2x，f(log2 an)2n，所以2log2 an2log2an2n，an2n，所以a2nan10，解得ann±.因为an>0，所以ann.(2)证明<1.又因为an>0，所以an1<an，所以数列an是递减数列10(1)证明an311111111(1an)an.an3an.(2)解由(1)知数列an的周期T3，a1，a21，a32.a2 010a3×670a32.