《数理统计》随堂练习.doc

0348数理统计【 随堂练习】（3）2010-12-19 08:30:00 - 09:50:001设总体 服从参数为（N，p）的二项分布，其中（N，p）为未知参数， 为来自总体 的一个样本，求（N，p）的矩法估计。答：1因为 ，只需以 分别代 解方程组得 。2设总体 服从a，b上的均匀分布其中a，b为两个未知参数，样本 来自总体 ，求未知参数a，b的矩法估计。答：2由 服从a，b上的均匀分布，易知 为求a，b的矩法估计量只需解方程组 得 。3设连续型总体 的概率密度为 ， 来自总体 的一个样本，求未知参数 的极大似然估计量 ，并讨论 的无偏性。答：3似然函数为 其中 因此 的极大似然估计量 是 的无偏估计量。4设总体 的概率密度为 其中 为未知参数，样本 来自总体 ，求未知参数 的矩法估计与极大似然估计。答：4首先求数学期望 从而解方程 得 的矩法估计为 。似然函数为 令 解得 的极大似然估计为 。5设 是取自正态总体 的一个容量为的样本，试证下列三个估计量都是的无偏估计量： ，并指出其中哪一个方差较小。答：5由于 且 独立，故有故它们均为的无偏估计，又由于1/2<5/9<5/8，所以第三个估计量的方差最小。 6设 是取自正态总体 的一个样本，试证 是 的相合估计。答：6由于 服从自由度为n-1的 -分布，故 从而根据车贝晓夫不等式有 所以是 是 的相合估计。7设 是取自具有下列指数分布的一个样本， ，证明 是的无偏、相合、有效估计。答：7首先由于 ，故 ，即样本均值是的无偏估计。又 故C-R下界为 ，因此样本均值是的有效估计另外由车贝晓夫不等式 所以样本均值还是的相合估计。8设 是独立同分布随机变量都服从几何分布 则 是的充分统计量。答：8由于 的联合密度函数为则由因子分解定理知 是的充分统计量。9设 是独立同分布随机变量，其分布是均匀分布 ，其密度函数 试证（1） 是的无偏估计；（2） 是的UMVUE。答：9（1）由 知 是的无偏估计；（2） 则由因子分解定理知 是的充分统计量，其密度函数为 又若 ，则 即 ，两边对求导得 故 ，所以 是完备充分统计量，由此得出 是的UMVUE。10随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（以厘米计）为 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11设钉长服从正态分布，试求总体均值 的0.9的置信区间。（1）若已知=0.01（厘米），（2）若未知。答：10（1） 置信度0。9，即=0。1，查正态分布数值表，知 即 所以总体均值 的0。9的置信区间为 （2）未知 置信度0。9，即=0。1，自由度n-1=15， 查t-分布的临界值表 所以置信度为 0。9的的置信区间是11某农场为了试验磷肥与氮肥是否提高水稻收获量，任选试验田18块，每块面积1/20亩进行试验，试验结果：不施肥的10块试验田的收获量分别为8.6，7.9，9.3，10.7，11.2，11.4，9.8，9.5，10.1，8.5（单位：市斤），其余8块试验田在插种前施加磷肥，播种后又追施三次氮肥，其收获量分别为12.6，10.2，11.7，12.3，11.1，10.5，10.6，12.2。假定施肥与不施肥的收获量都服从正态分布，且方差相等，试在置信概率0.95下，求每1/20亩的水稻平均收获量施肥比不施肥增产的幅度。答：11设正态总体 分别表示施肥和不施肥的每1/20亩的水稻收获量，据题意，有 对1-=0.95，即=0.05，查t分布表（自由度为n+m-2=16），得 ，于是 所以在置信概率0。95下，求每1/20亩的水稻平均收获量施肥比不施肥增产0.6到2.8市斤。12岩石密度的测量误差服从正态分布，随机抽测12个样品，得S=0.2，求 的置信区间（=0.1）。答：12n=12，=0.10，s=0.2查 分布表（自由度为n-1=11），得 因此 所以 的置信区间为0.，0.09628。13随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差为11（米/秒）。设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹速度的标准差的0.9的置信区间。答：13求方差的置信区间： S=11置信度0。9，即=0。1，自由度n-1=8， 查 分布的临界值表，得 ，所以，置信度为0。9的炮口速度的标准差的置信区间是14设A，B二化验员独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次测定，其测量值的修正方差分别为 ，设 和 分别为所测量的数据总体（设为正态总体）的方差，求方差比 / 的0.95的置信区间。答：141-=0.95，=0.05 故方差比 / 的0。95的置信区间为0.222，3.601。15设总体 服从均匀分布U0，其中为未知参数，样本 来自总体 ， ，试在置信概率1-下，利用 ，求的形如0，z的置信区间。答：15因为 服从均匀分布0，1（i=1，2，n），它们的分布函数为于是 的分布函数为 密度函数为 对给定的置信概率1-，由 即 ，定出 ，即有 即是说， 是在置信概率1-下的置信区间。