数学归纳法与数列的极限（答案）.doc
第十二讲：数学归纳法与数列的极限知识小结：4.数列的极限：一般地，在无限增大的变化过程中，如果无穷数列中的项无限趋近于一个常数A，那么A叫做数列的极限，或叫做数列收敛于A，记作。注意点：1）只有无穷数列，当趋近于无穷大时，无限趋近于某一常数；2）对于数列，当无穷增大时，无限趋近于某一定值时，是通过无限趋近于零来描述的。这里无限趋近于零，是指不论取一个值多么小的正数（可以任意给定），总可以通过取充分大以后，使充分接近于零，如果这个任意小的正数用来表示，那么当充分大时，总有。3）极限值只有一个值，如趋近于两个值一定没有极限。5.极限的运算性质性质：2）几个重要极限： 6.无穷等比数列各项和的和的概念：我们把的无穷等比数列前项和，当无穷增大时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用符号表示，即注意点：1）只有当且时，才能代入上述公式；2）实际上可推出：；3）化循环小数为分数可分解成一个等比数列的各项和的形式，或者可直接化为分数：如；例2、求极限： 例4、定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列.已知无穷等比数列的首项、公比均为.（1）试求无穷等比子数列（）各项的和；（2）是否存在数列的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为？若存在，求出所有满足条件的子数列的通项公式；若不存在，请说明理由；解：（1）依条件得： 则无穷等比数列各项的和为： ； （2）解法一：设此子数列的首项为，公比为，由条件得：，则，即 而 则 .所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项、公比均为，其通项公式为，.解法二：由条件，可设此子数列的首项为，公比为.由 又若，则对每一都有 从、得；则；因而满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，此子数列是首项、公比均为无穷等比子数列，通项公式为，.例5：（1）（03年上海数学高考）已知其中为正整数，设表示外接圆的面积，则 。解：此题一般地考虑方法是先求出的外接圆的方程，然后得出圆的面积，最后求得的结果，但整个过程的计算比较烦琐，很容易导致计算出错。但如果从极限的思想出发，首先考虑的是当时这三个点的变化的位置，趋于原点，点趋于然后看得圆的半径为2，从而所求圆的面积为。（2）（07年上海数学高考卷（文）第12题）如图，是直线上的两点，且两个半径相等的动圆分别与相切于点，是这两个圆的公共点，则圆弧，与线段围成图形面积的取值范围是 解：当两圆半径时，点C趋向直线AB。当两圆相外切时， ， 例6、（09上海高考题）已知是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列。找出所有数列和，使对一切，并说明理由；解法一若,即 （*） （i）若，则当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求 （ii）若，（*）式等号左边取极限和，（*）式等号右边的极限只有当时，才可能等于1,此时等号左边是常数，矛盾。综上所述，只有当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求 解法二设若，对都成立，且为等比数列，则，对都成立，即都成立， （i）若，则， （ii）若，则（常数）即，则，矛盾。综上所述，有,使对一切 例7、在数列中,若是正整数,且则称为“绝对差数列”(1) 举出一个前五项不为零的“绝对差数列”.(只要求写出前十项);解:(答案不唯一)(2) 若“绝对差数列”中,数列满足分别判断当时,与的极限是否存在,如果存在,求出其极限值;解:因为在绝对差数列中,所以自20项开始,该数列是即自第20项开始,每三个相邻的项周期地取值3,0,3所以当时,的极限不存在.当时,所以例9、如图，在边长为的等边三角形ABC中，圆O1为的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB、BC相切，··· ，圆On+1与圆On外切，且与AB、BC相切，如此无限下去，记圆On的面积为.（1） 证明是等比数列；证明：记为圆On的半径，例10.设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通项公式解：()当n1时，x2a1xa10有一根为S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1当n2时，x2a2xa20有一根为S21a2，于是(a2)2a2(a2)a20，解得a2()由题设(Sn1)2an(Sn1)an0，即Sn22Sn1anSn0当n2时，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10由()知S1a1，S2a1a2由可得S3由此猜想Sn，n1，2，3，下面用数学归纳法证明这个结论(i)n1时已知结论成立(ii)假设nk时结论成立，即Sk，当nk1时，由得Sk1，即Sk1，故nk1时结论也成立综上，由(i)、(ii)可知Sn对所有正整数n都成立于是当n2时，anSnSn1，又n1时，a1，所以an的通项公式an，n1，2，3， 例11、设曲线上的点在x轴上的射影为，过做斜率为的直线交x轴于，过作x轴的垂线交曲线于点，再过做斜率为的直线交x轴于，过作x轴的垂线交曲线于点一般地，过做斜率为的直线交x轴于，过作x轴的垂线交曲线于点，这样无限作下去得到点和，已知。（1） 求；解：已知，所以得，过做斜率为的直线是，得，过做斜率为的直线是，得（2） 证明数列为等比数列，并求这个数列的通项公式。解：过做斜率为的直线是，得故数列为等比数列，这个数列的通项公式为。
