1981年全国高考数学试题及其解析.doc
1981年全国高考数学试题及其解析文史类一（本题满分6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A=有理数，B=无理数，试写出：1.AB, 2.AB.二（本题满分8分）化简：三（本题满分6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果四（本题满分10分）求函数f(x)=sinx+cosx在区间（-，）上的最大值五（本题满分10分）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明六（本题满10分）已知正方形ABCD的相对顶点A（0，-1）和C（2，5），求顶点B和D的坐标七（本题满分17分）设1980年底我国人口以10亿计算（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？下列对数值可供选用：lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060八（本题满分15分）ABCD-A1B1C1D1为一正四棱柱，过A、C、B1三点作一截面，求证：截面ACB1对角面DBB1D1九（本题满分18分）1设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为，求k的值2以本题（1）得到的弦为底边，以x轴上的点P为顶点做成三角形当这三角形的面积为9时，求P的坐标 理工农医类一、设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A=有理数,B=无理数,试写出:(1)AB,(2)AB.二、在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.五、解不等式(x为未知数):六、用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.七、设1980年底我国人口以10亿计算.(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?下列对数值可供选用:lg1.0087=0.00377lg1.0092=0.00396lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860lg1.2000=0.07918lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340lg1.4859=0.17200lg1.5157=0.18060八、在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB=10.(1)求直线AB和棱a所成的角;(2)求直线AB和平面Q所成的角.(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.十、附加题:计入总分.已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图).设AC=a,BC=b,作数列U1=a-b,U2=a2-ab+b2,u3=a3-a2b+ab2-b3,Uk=ak-ak-1b+ak-2b2-+(-1)kbk;求证:un =un -1 +un -2 (n3).文史类参考答案及解析一、解：1.AB=实数,2.AB=二、解：原式=三、解：1.选举种数P42=12（种）所有可能的选举结果：AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC2.选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果：ABC、ABD、ACD、BCD四、解：五、答：证：引AD垂直BC于D;引BE垂直CA的延长线于E设ABC的面积为S，则将上式除以得：六、解：设AC中点为M（x,y）,则有又设AC斜率为k，则k=3因此得BD的斜率为故有直线BD的方程：又以M点为圆心，|MA|为半径的圆的方程为解方程（1）、（2）得B、D的坐标为（4，1）及（-2，3）（注：用复数法解亦可）七、解：1.所求人口数x（亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，的第21项，即x=10×（1.02）20,两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,x=14.859（亿)2设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%)2012，（1+y%)201.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)lg1.2.即 lg(1+y%)0.00396.1+y%1.0092,y%0.0092.答：略八、证：设AC、BD交于O点作截面ACB1、对角面BB1D1D以及它们的交线OB1的图形由于AC1是正四棱柱，所以ABCD是正方形，故ACBD;又BB1底面ABCD，故BB1ACAC对角面BB1D1D已知AC在截面ACB1内，故有 截面ACB1对角面BB1D1D九、解：设直线与抛物线的交点为P1（x1,y1),P2(x2,y2).解方程组：2设x轴上一点P的坐标为（,0）又点P到直线P1P2的距离为h，则有依题意得PP1P2的面积关系： 则P(5,0)或P（-1,0）理工农医类参考答案 一、解:(1)AB=实数.(或AB=R,或AB=实数集合.)(2)AB=.(或AB= ,或AB=空集.)二、解:所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC.所有可能的选举结果:ABC,ABD,ACD,BCD.三、解: (1)必要条件(2)充分条件(3)充分条件(4)充要条件四、公式:设ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.证法一:平面几何证法.如果A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得a2=CD2+DB2=(bsinA)2+(c-bcosA)2=b2+c2-2bccosA.如果A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得a2=CD2+BD2=bsin(180°-A)2+c+bcos(180°-A)2=b2+c2-2bccosA.如果A是直角,cosA=0,a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA.证法二:解析几何证法以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).由两点间的距离公式得a2=BC2 =(c-bcosA)2+(-bsinA)2=b2+c2-2bccosA.五、解:原行列式可逐步简化如下:故原不等式为x2(x-a-b-c)>0.原不等式的解是x0,x>a+b+c.所以当n=1时等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即所以当n=k+1时等式也成立.根据(i)和(ii),就证明了对于一切自然数n等式都成立.七、解:(1)所求人口数x(亿)是等比数列10, 10×1.02, 10×(1.02)2,的第21项,即x=10×(1.02)20,两边取对数,得lgx=1+20lg1.02=1.17200,x=14.859(亿).答:到2000年底我国人口将达到14.859亿.(2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得10×(1+y%)2012,即(1+y%)201.2.根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)lg1.2.即lg(1+y%)0.00396.1+y%1.0092,y%0.0092.答:每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.八、解:(1)在平面P内作直线ADa于点D;在平面Q内,作直线BEa于点E,从点D作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.ABC等于AB和a所成的角.ADC为二面角P-a-Q的平面角, ADC=120°.又AD=2,BCDE为矩形, CD=BE=4.连结AC,由余弦定理得又因ADa,CDa,所以a垂直于ACD所在的平面.再由BCa得知BC垂直于ACD所在的平面,BCAC.答:直线AB和棱a所成的角等于(2)在ACD所在的平面内,作AFCD交CD的延长线于F点.因为ACD所在的平面平面Q,AF平面Q.在ADF中,ADF=60°,AD=2,连结BF,于是ABF是AB和平面Q所成的角,而ABF为直角三角形,所以答:直线AB和平面Q所成的角为九、解法一:(1)设直线l的方程为y=k(x-2)+1,(i)将(i)式代入双曲线方程,得(2-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-3=0,(ii)到此,若指出所求轨迹的参数方程是这就是所要求的轨迹方程.(2)设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程,整理得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0,(iii)由第二式解出k=2,但k=2不满足第一式,所以()无解.答:满足题中条件的直线m不存在.解法二:(1)设l的参数方程为其中t是参数,为AP的倾斜角.代入所给双曲线方程,整理得:(2cos2-sin2)t2+2(4cos-sin)t+5=0.(v)(2)也可用设m的参数方程的方法讨论此问,得出满足条件的直线m不存在的结论.十、证法一:通项公式可写为uk=ak-ak-1b+ak-2b2-+(-1)kbk因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1,ab=AC·BC=CD2=1.于是有证法二:由平面几何知识算出通项公式可写为要证un=un-1+un-2成立,只要证明an+1-(-1)n+1bn+1=an-(-1)nbn+an-1-(-1)n-1bn-1,即an-1·a2-(-1)n-1bn-1·b2=an-1·a+(-1)n-1bn-1·b+an-1-(-1)n-1bn-1,或或上式确是等式,故证得un=un-1+un-2.
