数列的概念与简单表示法 学案（人教A版必修5）.doc

第二章数列§2.1数列的概念与简单表示法材拓展1从函数的观点看数列一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题例如，类比单调函数的定义得出单调数列的判断方法即：数列an单调递增an1>an对任意n (nN*)都成立；数列an单调递减an1<an对任意n (nN*)都成立另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N*或它的子集1,2，n，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线例如：已知an，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是()Aa1，a30 Ba1，a9Ca10，a9 Da10，a30解析an1点(n，an)在函数y1的图象上在直角坐标系中作出函数y1的图象由图象易知当x(0，)时，函数单调递减a9<a8<a7<<a1<1，当x(，)时，函数单调递减a10>a11>>a30>1.所以，数列an的前30项中最大的项是a10，最小的项是a9.答案C2了解一点周期数列的知识类比周期函数的概念可以得出周期数列的定义：对于数列an，若存在一个大于1的自然数T(T为常数)，使anTan，对一切nN*恒成立，则称数列an为周期数列，T就是它的一个周期易知，若T是an的一个周期，则kT (kN*)也是它的周期，周期最小的那个值叫最小正周期例如：已知数列an中，a1a (a为正常数)，an1 (n1,2,3，)，则下列能使ana的n的数值是()A15 B16C17 D18解析a1a，a2，a3，a4a，a5，.a4a1，a5a2，依次类推可得：an3an，an为周期数列，周期为3.a1a，a3k1a1a.答案B3数列的前n项和Sn与an的关系对所有数列都有：Sna1a2an1an，Sn1a1a2an1 (n2)因此，当n2时，有：anSnSn1.当n1时，有：a1S1.所以an与Sn的关系为：an.注意这一关系适用于所有数列例如：已知数列an的前n项和Sn(n1)·2n1，则an_.解析当n1时，a1S11，当n2时，anSnSn1(n1)·2n1(n2)·2n11(n1)·2n(n2)·2n1n·2n1.所以通项公式可以统一为ann·2n1.答案n·2n14由简单的递推公式求通项公式(1)形如an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求和，采用累加法求an.即：ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)a1f(1)f(2)f(n1)a1f(i)(2)形如an1f(n)·an，且f(1)·f(2)f(n)可化简，采用累乘法求an.即ana1····a1·f(1)·f(2)··f(n1)a1·f(i)(注：为连加求和符号，为连乘求积符号)(3)形如an1AanB (AB0且A1)设an1xA(anx)，则：an1Aan(1A)x由(1A)xB，xan1AanAA2An1anAn1(1An1)·An1a1.法突破一、观察法写数列的通项公式方法链接：根据数列前几项，要写出它的一个通项公式，其关键在于观察、分析数列的前几项的特征、特点，找到数列的一个构成规律根据此规律便可写出一个相应的通项公式注意以下几点：(1)为了突出显现数列的构成规律，可把序号1,2,3，标在相应项上，这样便于突出第n项an与项数n的关系，即an如何用n表示(2)由于给出的数列的前几项是一些特殊值，必然进行了化简，因此我们要观察出它的构成规律，就必须要对它进行还原工作如数列的前几项中均用分数表示，但其中有几项分子或分母相同，不妨把这几项的分子或分母都统一起来试一试(3)当一个数列出现“”、“”相间时，应先把符号分离出来，即用(1)n或(1)n1表示，然后再考虑各项绝对值的规律(4)熟记一些基本数列的前几项以及它们的变化规律(如增减速度)，有利于我们写出它的通项公式例1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)，；(2)，2，8，；(3)1,3,6,10,15，； (4)7,77,777，；(5)0,3,8,15,24，； (6)1，.解(1)注意前四项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为，于是它们的分母相差3，因而有an.(2)把分母统一为2，则有：，因而有an.(3)注意62×3,102×5,153×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即，因而有an.(4)把各项除以7，得1,11,111，再乘以9，得9,99,999，.因而有an(10n1)(5)观察数列递增速度较快，有点像成平方地递增，不妨用平方数列对照看一看，即1,22,32,42,52，则有ann21.(6)显然各项的分子均为1，其关键在于分母，而分母的规律不是很明显，注意到分母组成的数列1,3,7,13,21，递增速度也有点像平方数列，不妨从每一项对应减去平方数列的项组成数列0,1,2,3,4，其规律也就明显了故an.二、数列的单调性及最值方法链接：数列是一种特殊的函数，因此可用函数的单调性的研究方法来研究数列的单调性例2在数列an中，an(n1)n (nN*)试问数列an的最大项是第几项？解方法一an(n1)n (nN*)，an1an(n2)n1(n1)nn·.当n8时，an<an1，an递增，即a1<a2<<a8<a9.当n9时，a9a10.当n10时，an>an1，an递减，即a10>a11>a12>.又a9a10.数列an的最大项是第9项和第10项方法二令1 (n2)，即1.整理得.解得n10.令1，即1.整理得，解得n9.所以从第1项到第9项递增，从第10项起递减因此数列an先递增，后递减a1<a2<<a9，a10>a11>a12>，且a9a10.数列an中的最大项是第9项和第10项三、数列的周期性及运用方法链接：通俗地讲，数列中的项按一定规律重复出现，这样的数列就应考虑是否具有周期性，其周期性往往隐藏于数列的递推公式中，解周期数列问题的关键在于利用递推公式算出前若干项或由递推公式发现规律，得出周期而获解例3已知数列an，a11，a23，anan1an2 (n3)，那么a2 010与S2 009依次是()A1,3 B3,1C2,2 D2，2解析anan1an2，an1anan1(an1an2)an1an2.由an1an2，an3an.an6an3(an)an.an为周期数列，且周期T6.a2 010a6a3a1a22.a1a2a3a4a5a6(a1a4)(a2a5)(a3a6)0000，且2 010是6的倍数，S2 0100.S2 009S2 010a2 0100a2 0100(2)2.答案C四、已知前n项和Sn，求通项an方法链接：已知数列an的前n项和Sn，求an，先由n1时，a1S1，求出a1，再由anSnSn1 (n2)求出an，最后验证a1与an能否统一，若能统一要统一成一个代数式，否则分段表示例4已知下列各数列an的前n项和Sn的公式，求an的通项公式(1)Sn(1)n1 n；(2)Sn3n2.解(1)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1(1)n·(n)(1)n·(n1)(1)n·(2n1)由于a1也适合此等式，因此an(1)n·(2n1) (nN*)(2)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn12·3n1.所以an五、由递推公式求通项an方法链接：由递推公式求通项公式主要观察递推公式的特征，合理选择方法需要理解一点，对anan1n (n2)不仅仅是一个式子而是对任意的n2恒成立的无数个式子，正是因为这一点，在已知递推公式求通项公式的题目中如何将无数个式子转化为an，就是解题的关键所在另外递推公式具有递推性，故由a1再加上递推公式可以递推到an.例5由下列数列an的递推公式求数列an的通项公式：(1)a11，anan1n (n2)；(2)a11， (n2)解(1)由题意得，当n2时，anan1n，an1an2n1，a3a23，a2a12.将上述各式累加得，ana1n(n1)32，即ann(n1)321，由于a1也适合此等式故an.(2)由题意得，当n2时，将上述各式累乘得，即an.由于a1也适合此等式，故an.六、数列在日常生活中的初步应用方法链接：数列知识在日常生活中有着广泛的应用构建递推关系是其中重要的方法之一，利用递推方法解决实际问题常分为三个环节：(1)求初始值；(2)建立递推关系；(3)利用递推关系分析解决问题其中构建递推关系是关键例6某商店的橱窗里按照下图的方式摆着第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，如图(1)、(2)、(3)、(4)分别有1个、5个、13个、25个如果按照同样的方式接着摆下去，记第n个图需用f(n)个“福娃迎迎”，那么f(n1)f(n)_；f(6)_.解析f(1)1，f(2)5，f(3)13，f(4)25，f(2)f(1)4，f(3)f(2)8，f(4)f(3)12，f(n1)f(n)4n.f(6)f(1)f(2)f(1)f(3)f(2)f(4)f(3)f(5)f(4)f(6)f(5)14812162061.答案4n61区突破1对数列的概念理解不准而致错例1已知数列an是递增数列，且对于任意的nN*，ann2n恒成立，则实数的取值范围是_错解因为ann2n是关于n的二次函数，且n1，所以1，解得2.点拨数列是以正整数N*(或它的有限子集1,2，n)为定义域的函数，因此它的图象只是一些孤立的点正解1因为ann2n，其图象的对称轴为n，由数列an是单调递增数列有1，得2；如图所示，当2>1，即>3时，数列an也是单调递增的故的取值范围为|2|>3|>3即>3为所求的范围正解2因为数列an是单调递增数列，所以an1an>0 (nN*)恒成立又ann2n (nN*)，所以(n1)2(n1)(n2n)>0恒成立，即2n1>0.所以>(2n1) (nN*)恒成立而nN*时，(2n1)的最大值为3(n1时)，所以>3即为所求的范围2对公式使用条件考虑不周而致错例2已知数列an的前n项和为Sn3n2n1，求an.错解anSnSn1(3n2n1)3n12(n1)12·3n12.点拨公式an是分段的，因为n1时，Sn1无意义在上述解答中，应加上限制条件n2，然后验证n1时的值是否适合n2时的表达式正解a1S16；n2时，anSnSn1(3n2n1)3n12(n1)12·3n12.由于a1不适合此式，所以an题多解例设an是首项为1的正项数列且(n1)anaan1·an0 (nN*)，求an.分析先求出相邻两项an1与an的关系，再选择适当的方法求an.解方法一(累乘法)由(n1)anaan1an0.得(an1an)(nan1nanan1)0.由于an1an>0，(n1)an1nan0.ana1····1×××××.方法二(换元法)由已知得(n1)an1nan0，设bnnan，则bn1bn0.bn是常数列bnb11×a11，即nan1.an. 题赏析1(2009·北京)已知数列an满足：a4n31，a4n10，a2nan，nN*，则a2 009_，a2 014_.解析a2 009a4×50331，a2 014a1 007a252×410.答案10赏析题目小而灵活，考查了充分利用所给条件灵活处理问题的能力2(2009·湖北八市调研)由1,3,5，2n1，构成数列an，数列bn满足b12，当n2时，bnabn1，则b6的值是()A9 B17C33 D65解析bnabn1，b2ab1a23，b3ab2a35，b4ab3a59，b5ab4a917，b6ab5a1733.答案C赏析题目新颖别致，考查了对新情境题目的审题能力