指数函数及其性质 第二课时.doc
21.2指数函数及其性质 第二课时第二课时指数函数及其性质的应用利用函数单调性比较大小问题例1比较下列各题中两个值的大小(1)1.73.5,1.73(2)2.30.28,0.673.1自主解答(1)指数函数y1.7x是增函数，而3.5>3故而1.73.5>1.73.(2)y2.3x为增函数，2.30.28<2.301.又y0.67x为减函数，0.673.1>0.6701.来源:学科网0.673.1>1>2.30.28，即0.673.1>2.30.28.在进行指数式的大小比较时：(1)指数不同，底数相同，利用指数函数的单调性来解决；(2)底数不同，指数也不同；采用中介值法，取a01作为中介来比较1比较下列各题中两个值的大小：(1)1.82.2,1.83；(2)0.70.3,0.70.4；(3)1.90.4,0.92.4.解：(1)1.82.2,1.83可看作函数y1.8x的两个函数值，1.8>1，y1.8x在R上为增函数，1.82.2<1.83.(2)y0.7x在R上为减函数，又0.3>0.4，0.70.3<0.70.4.(3)1.90.4>1.901,0.92.4<0.901，1.90.4>0.92.4.求解指数不等式例2如果a5x>ax7(a>0，且a1)，求x的取值范围自主解答当a>1时，a5x>ax7，5x>x7，解得x<.当0<a<1时，a5x>ax7，5x<x7，解得x>.综上所述，当a>1时，x的取值范围是：x<；当0<a<1时，x的取值范围是：x>.若将“a5x>ax7(a>0，且a1)”改为“(a2a2)5x>(a2a2)x7”，如何求解？解：a2a2(a)2>1，y(a2a2)x在R上是增函数5x>x7，即x<，x的取值范围是x<. 解指数不等式问题，需注意三点：(1)形如ax>ay的不等式，借助yax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论；(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助yax的单调性求解；(3)形如ax>bx的形式，利用图象求解.2解下列不等式：(1)2x>8；(2)()x>；(3)0.32x2>1.解：(1)2x>823且y2x为增函数，x>3.(2)()x>2()且y()x为减函数，x<.(3)0.32x2>10.30且y0.3x为减函数，2x2<0，x>或x<.指数函数的实际应用题例3某乡镇现在人均一年占有粮食360 kg，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y kg粮食，求y关于x的函数解析式来源:学科网自主解答设该乡镇现在人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M kg.1年后，该乡镇粮食总产量为360M(14%)kg，人口数量为M(11.2%)，则人均一年占有粮食为kg，2年后，人均一年占有粮食为kg，x年后，人均一年占有粮食为ykg，即所求函数解析式为y360()x(xN*)某量原值为a，通过若干次变化，每次比上一次的增长率或减少率为r，则x次后该量的值变为a(1r)x或a(1r)x.31980年我国人均收入255美元，到2000年人民生活达到小康水平，人均收入为817美元，则年平均增长率是多少(精确到1%)？若以不低于此增长率的速度递增，则到2020年人均收入至少为多少美元(精确到1美元)?解：设年平均增长率是x，由题意得y255×(1x)n，因为到2000年人均收入为817美元，即n2 0001 98020时，y817，所以817255×(1x)20.所以x0.06.到2020年，即n2 0201 98040.此时y255×(10.06)402 623.即年平均增长率是6%，若以不低于此增长率的速度递增，则到2020年人均收入至少是2 623美元解题高手妙解题同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！已知a>0且a1，讨论函数f(x)ax23x2的单调性 巧思求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成yf(u)，u(x)，通过考查f(u)和(x)的单调性，求出yf(x)的单调性一般情况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；若两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，但一定要注意复合函数的定义域这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性的题目，指数x23x2(x)2，当x时是减函数；当x<时是增函数，而f(x)的单调性又与a 的取值范围有关，应分类讨论妙解设ux23x2(x)2，则当x时，u是减函数，当x<时，u是增函数又因为当a>1时，yau是增函数，当0<a<1时，yau是减函数，所以当a>1时，原函数f(x)ax23x2在，)上是减函数，在(，)上是增函数当0<a<1时，原函数f(x)ax23x2在， )上是增函数，在(，)上是减函数1下列各关系中，正确的是()A()<()<()B()<()<()C()<()<() D()<()<()解析：函数y()x为减函数，而<.()>()，又>，()>().答案：D2已知函数f(x)()x在1,0上的最大值是()A1 B0C1 D3解析：函数y()x在1,0上为单调减函数，y最大()13.答案：D3若()2a1<()32a，则实数a的取值范围是()A(，) B(1，)C(，1) D(，)解析：函数y()x为单调减函数，且()2a1<()32a，则有2a1>32a，4a>2，a>.答案：A4方程4x2x130的解是_解析：原方程可化为(2x)22(2x)30，解得2x3或2x1，2x>0，2x3，xlog23.故答案为log23.答案：log235已知函数f(x)a，若f(x)为奇函数，则a_.来源:学科网ZXXK解析：函数f(x)为奇函数，来源:学|科|网f(0)a0.a.答案：6已知2x()x3，求函数y()x的值域解：2x()x3，即2x262x，x62x，x2.y()x()2，函数值域是，)一、选择题来源:Zxxk.Com1已知集合M1,1，Nx|<2x1<4，xZ，则MN等于()A1,1 B1C0 D1,0解析：<2x1<4,21<2x1<22，且y2x是增函数1<x1<2，2<x<1.Nx|2<x<1，xZ1,0MN1答案：B2如果函数f(x)(12a)x在实数集R上是减函数，那么实数a的取值范围是()A(0，) B(，)C(，) D(，)解析：f(x)(12a)x为减函数，0<12a<1，1<2a1<0，0<2a<1,0<a<.答案：A3预测人口的变化趋势有多种方法，最常用的是“直接推算法”，使用的公式是PnP0(1k)n(k为常数)，其中Pn为预测期内n年后的人口数，P0为初期人口数，k为预测期内的年增长率，如果1<k<0，那么在这期间人口数()A呈上升趋势B呈下降趋势C先上升后下降 D先下降后上升解析：PnP0(1k)n是指数型函数，1<k<0，0<1k<1.由yax(0<a<1)是(，)上的减函数可知，人口数呈下降趋势答案：B4已知实数a，b满足等式()a()b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系有()A1个 B2个C3个 D4个解析：如图所示，在同一坐标系中作出函数y()x和y()x的图象，由()a()b可知点(a，()a)和点(b，()b)的纵坐标相同，此时有三种情况，第一种是ab0时，即两点都在(0,1)处时取得，另外两种情况如图所示的两直线与两函数相交时的a，b关系，由图易知可能是a<b<0和0<b<a，因此只有是可能成立的答案：B二、填空题5函数y的定义域是_解析：要使函数有意义则2x10即x0.答案：0，)6设函数f(x)x(exa·ex)(xR)是偶函数，则实数a的值为_解析：f(x)为偶函数，f(x)f(x)而f(x)x(exa·ex)axexxexxexaxex，a1，即a1.答案：17函数f(x)()x1，x1,2的值域为_解析：函数f(x)()x1为1,2上单调减函数，f(x)maxf(1)312.f(x)minf(2)1.答案：，28若函数ya2x2ax1(a>1)在1,1上有最大值14，则实数a的值为_解析：令tax，a，则原函数可化为：yt22t1(t1)22，易知在，a上是单调增函数则a22a114，解之得a3或a5(舍去)实数a的值为3.答案：3三、解答题9已知函数f(x)ax在x2,2上恒有f(x)<2，求实数a的取值范围解：当a>1时，f(x)ax在2,2上为增函数，f(x)maxf(2)又x2,2时，f(x)<2恒成立，即解得1<a<.同理，当0<a<1时，解得<a<1.综上所述，a(，1)(1，)10讨论函数f(x)()x22x的单调性解：函数f(x)的定义域是R.令ux22x，则f(u)()uux22x(x1)21在(，1上是减函数，又f(u)()u在其定义域内是减函数，函数f(x)在(，1上是增函数；又ux22x(x1)21在1，)上是增函数，f(u)()u在其定义域内是减函数，函数f(x)在1，)上是减函数
