第一章 复数与复变函数.doc

复变函数殷 德 京湖北师范学院物理系2006年第一章 复数与复变函数§1 复数及其代数运算1.复数的概念复数的公理化定义见附录1在解方程时，有时会遇到负数开方的问题，但在实数范围内负数是不能开平方的。为此，需要扩大数系。我们给出如下的代数形式的复数定义：复数的代数定义：把有序实数对作代数组合所确定的形如的数称为（代数形式的）复数，记为，其中，满足。我们称为虚单位；实数和分别称为复数的实部和虚部，并记为，。特别地，当时，是实数；当时且时，称为纯虚数；虚部不为零的复数称为虚数（即不为实数的复数称为虚数）；当且仅当且，即复数。当且仅当且。2.复数的代数运算2.1 四则运算设，为任意两个复数，它们的四则运算定义为:加法：减法：乘法：除法： （）【注】：(1).可见，复数的四则运算，可以按照多项式的四则运算进行，只要注意将换成。(2).关于除法的具体操作可以按两种方法来进行：.先看成分式的形式，然后分子分母同乘以一个与分母的实部相等而虚部只相差一个正负号的复数（在后面将会看到，这被定义为共轭复数），再进行简化；.用复数除以非零复数，就是要求出这样一个复数，使得。按乘法的定义，为求出需要解方程组复数四则运算的性质：不难证明，复数的四则运算满足交换律、结合律和分配律。2.2 共轭复数复数和互称为对方的共轭复数，如果记，则用记其共轭复数，即。对于复数，称为的模或绝对值。共轭复数和模有下列等式及不等式性质成立（1）（2），（3）（4）（5）（6）（7）（8）（此即相干叠加原理式.京.）（9）， （由此二式可知，任何实变数的方程原则上都可以用复变数表示）（10）（11）（12） （三角不等式）（13） （） （复数的二项式定理）第（8）式证明：（根据得）3.复数域一般地，对一些数形成的集合，若对中的数按某种法则规定的四则运算在中是封闭的，即中任意两个数经所规定的加、减、乘、除运算后所得的数仍在中，则称为一数域。如有有理数域、实数域、复数域。复数域与有理数域、实数域不同的是，复数没有大小之分，不能像有理数、实数那样可以比较大小，即复数域不是有序域，而是无序域。尽管复数的实部和虚部均为实数，但是由于复数是实部和虚部通过虚单位联系起来，从而是不能比较大小的.例：利用复数表示圆的方程其中，而是实常数。解：令，由上述第（3）及第（9）式得记，故知圆方程的复数表示可以是，其中是实数。反之，这种形式的方程就表示一个圆。【注】：1.这种形式的特点就是两条:的系数和常数项是实的,而与的系数彼此共轭; 2.以后还会看到圆的另外两种复变数表示。它们分别适于不同的场合；3.由第（9）式可知，任何实变数的方程原则上都可以用复变数表示。§2 复数的几何表示1.复数可以表示为复平面上的点或向量由于一个复数本质上由一个有序实数对唯一确定，而有序实数对与平面上给定的直角坐标系上的点，或与从原点到坐标为的点的向量（称为点的位置向量，或简称位矢），可以建立起一一对应关系。于是，可以用坐标平面的点或向量来表示复数。与复数建立了这种对应关系的坐标平面称为复平面或平面，也常用表示复数域的记号来表示复平面。此时，轴称为实轴，轴称为虚轴。【注】：将复数表示为平面向量，这种对应关系使复数的加减法与向量的加减法之间保持一致。但是，复数的乘法与平面向量的乘法（无论是点积还是叉积）却是不同的。也即把复数当作向量看待时只能针对加减法意义（或说只能针对问题中只出现加减法运算时）而言。更准确地说，只能针对加减法及数量乘法（即一实数乘以一向量或复数）而言。不过即使在这样的情况下也不能说“复数与向量可互为表示”，而只能说“复数与平面向量可互为表示”，因为一般向量概念还可以是三维及三维以上的。可见线性代数中的线性空间概念比复数概念更弱。2.复数可以表示为复球面上的点除了用平面内的点或向量来表示复数外，复数还有一种几何表示法，它是借用地图制图学中将地球投影到平面上的测地投影法，建立复平面与球面上的点的对应，也即还可以用球面上的点来表示复数。取一个与复平面切于原点的球面，通过原点作垂直于复平面的直线与球面相交于另一点, 称为北极，而点为南极。在复平面上任取一点，它与球的北极的连线相交于球面点。 如此，复平面上的有限远点与球面上除点外的点满足一一对应关系。这样，除点外的球面上的每一个点，就有复平面上唯一的一个复数与之对应。此外，球面北极可以看成是与在复平面上引进的一个模为无穷大的假想的点相对应，这个假想点称为无穷远点，并记为。复平面加上点后称为扩充复平面，记为，即，与它对应的就是整个球面，这样的整个球面称为复球面。简单地说，扩充复平面的另一个几何模型就是复球面。如图所示。为区别起见，我们把不含无穷远点的复平面又称为开平面，把扩充复平面又称为闭平面。以后，凡涉及到闭平面时，一定强调指出这个“闭”字或“扩充”二字；凡没有指明的地方，均默认指开平面。具体地，利用解析几何知识，我们可以推出在重合的直角坐标系下，扩充复平面上点的坐标与复球面上对应点的坐标的关系式：设与上的点相应的上的点为，则有及3.关于有如下规定（1）的实部、虚部及幅角（幅角的定义见后）都无意义，；（2）运算，都无意义；（特别注意，也无意义，这不同于实分析）（3）时，；（4）（但可为）时，；（5）在扩充复平面上，任一直线都是通过无穷远点的。同时，没有一个半平面包含点。【注】：扩充复平面上点只有一个，它和实分析中的、的概念不同。§3 复数的三角形式及指数形式1.复数的三角形式利用直角坐标与极坐标的关系（，），可以将非零复数的代数形式转化为三角形式来表示：其中（即的模）；称为复数的幅角，记为。0于是我们有非零复数的实部、虚部与模、幅角之间的如下关系：，以及，后两式即直角坐标与极坐标关系，的复数记法。需要指出，任何一个非零复数的辐角不是单一的值，而是有无穷多个值，其中每两个幅角相差的整倍数。我们约定，以表示的某个特定值，则一般值与此特定值有如下关系：我们又规定符合条件的那一个幅角值为的主值，或称之为的主幅角。主幅角也常记为。注意，当时，其模为0，幅角无定义。对同一个非0复数，当用表示的主幅角时，与反正切的主值有如下关系：其中。2.复数的指数形式利用欧拉(Euler)公式欧拉公式涉及到复指数函数的特例虚指数函数，人们在去认识它时，首先需要作出它的定义。一般复变函数论文献就把欧拉公式直接作为虚指数函数的定义，然后借复数的三角形式去验证这样定义的合理性，但这样做显得突然。在菲赫金哥尔茨的数学分析原理第二卷第一分册254目或华东师范大学数学分析下册第十四章§3或同济大学高等数学或樊映川高等数学讲义中，则是通过复幂级数（属于代数函数的级数）来定义复指数函数（属于超越函数），然后再推出欧拉公式，这样显得更有逻辑更深刻。当然，这并不是说一般复变函数函数论文献中那样直接去定义虚指数函数以及在解析函数一章中专门开辟一节去直接定义复超越函数、和（这里所谓直接，就是指利用实超越函数去定义复超越函数）不合逻辑，它主要是考虑到复级数概念及理论是放在解析函数之后才引入的这样一种逻辑顺序。出于以上同样的逻辑考虑（即由代数函数作成的级数（即引入一种无穷运算）来定义超越函数），我们可以进一步利用复幂级数去定义出和。这样定义出了、和三者之后，我们很容易能推得一个比欧拉公式更一般的公式。这可参见华东师范大学数学分析下册第十四章§3。（或写为，）通过非零复数的三角形式又可以写成指数形式：也就是说，任一非零复数总可以表成，这里的不必取主值。容易验证，复指数函数的一些公式如下：，（为整数）§4 复数的乘幂与方根1.复数的乘方考虑乘积的特例非零复数的正整数次幂。设，则当时，有这就是著名的棣莫弗(De Moivre)公式。2.复数的开方求复数的次方根，相当于在方程中，求解。设（时，显然有唯一解）且，代入方程，得从而得两个方程，解出得，因此，复数的次方根（）为这里的表面上可以取，但容易验证，实际上只要取就可得到的个不同的根；当取其它整数时，将重复出现上述这个根。§5 复平面上的点集设为复平面上的点集。，表示是中的一个点。若点集中的每个点也都是点集中的点，则称包含于，记作，或称包含，记作。1.邻域、去心邻域由所确定的点集，也就是以为中心，为半径的圆内所有点的集合，称为点的邻域，常记为。若不需要指明的大小（常常是充分小时），可简称为的邻域，记为。由确定的点集，称为点的去心邻域，常记为。2.聚点、孤立点、外点、内点、边界点、边界设点集。若的任意邻域内总有中的无穷多个点（或与此等价的说法：的任意邻域内总有异于而属于的一个点），则称为点集的聚点（或极限点）（注意：本身不一定属于）。若属于，但非的聚点，则称为的孤立点；若不属于，又非的聚点，则称为的外点。若存在的邻域，使，则称为点集的内点。若的任意小邻域内，既有中的点，又有不属于中的点，则称为点集的边界点（简单说，的异于内点的聚点及的孤立点称为的边界点）。点集的所有边界点的集合称为的边界，常记为。易知：有限点集不含聚点，无限点集也可能无聚点；的孤立点必是的边界点，的内点都是的聚点。3.开集、闭集、有界集、无界集、连通集设点集。若的点都为它的内点，则称为开集。若的所有聚点都属于，则称为闭集。若有正数，使得对中所有的点，都有，则称为有界集，否则称为无界集。若中任意两点均可用一条全含于内的折线相连接，则称为连通集。4.区域、闭区域若中非空点集是连通的开集，则称为区域（即，区域(i)全由内点组成；(ii)具有连通性:）。区域加上它的边界所成的点集称为闭区域，简称闭域。5.连续曲线、参数方程、重点、简单曲线（或若尔当 Jordan曲线）、简单闭曲线设及是实变数的两个实（值）函数，且在闭区间上连续，则由方程组 （1.2.1）或 （1.2.1）所决定的点集称为复平面上的一条连续曲线。（1.2.1）或（1.2.1）称为曲线的参数方程。对于上不同时取端点值的两个参数及，当成立时，称为曲线的重点；无重点的连续曲线称为若尔当曲线或简单曲线；及分别称为曲线的起点和终点；仅起点和终点重合，即仅有的简单曲线称为简单闭曲线或若尔当闭曲线。简单曲线是复平面上的有界闭集。6.光滑曲线、逐段光滑曲线设简单曲线（或简单闭曲线）的参数方程为 若在上，及存在、连续且不全为零，则称为光滑曲线。由有限条光滑曲线衔接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线。特别地，简单折线是逐段光滑曲线。若尔当（Jordan）定理：任一简单闭曲线将复平面唯一地分成、及三个点集（如图），它们具有如下性质：（1）彼此不交；（2）是一个有界区域（称为的内部）；（3）是一个无界区域（称为的外部）；（4）若简单折线的一个端点属于，另一个端点属于，则必与有交点。7.有向曲线对于光滑或逐段光滑的开曲线，只要规定了其起点和终点，从起点到终点，也就算规定了该曲线的正方向；对于光滑或逐段光滑的闭曲线，沿着曲线的某方向前进，如果的内部区域在左方，则规定该方向为的正方向。反之，称为的负方向。8.单连通域、多连通域设为区域。若在内无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于内，则称为单连通区域；非单连通区域称为多连通区域（或称为复连通区域）。【注】：形象地说，单连通区域里面没有“洞”。9.连通阶数若有界区域的边界被分成若干不相连接的部分，则这些部分的数目叫做区域的连通阶数. 如图(a)为单连通区域（即为一阶连通区域），图(b)为二阶连通区域，图(c)为三阶连通区域。(a)(b)(c)【注】：复平面上的区域通常是由复数的实部、虚部、模及幅角的不等式或不等式组所确定的点集。10.复数序列（点列）、有界序列、序列聚点复数序列（简记为）作为复平面上的一个点列，也是一个平面点集，记作。有界也就是序列有界；的聚点也称为序列聚点。为了统一和方便，把序列中重复出现无限多次的点也称为的聚点。波耳查诺维尔斯托拉斯(BolzanoWeierstrass)定理：有界（无穷）序列必有聚点。11.复数序列的极限若，即对任意给定的正数，存在正整数，使得当时，总有，则称为收敛序列，是序列的极限，也称序列收敛于，记为。12.Cauchy序列(基本序列)若任给，存在正整数，使对都成立，则称为Cauchy序列或基本序列。定理：有界且以为唯一聚点为Cauchy序列，其中 ，。13.无穷远点的邻域，聚点在包含无穷远点的闭平面上，任何一个圆周的外部（包含点）都可称为无穷远点的邻域。将有限点和有限正数确定的点集称为以为中心的无穷远点邻域。特别，以原点为中心的无穷远点邻域常称为的邻域，并记为。若序列无界，则称是序列的聚点。即若在原点为心、半径无论多么大的圆周外部总含有中的点，则称是的聚点。这样在闭平面上定义了无穷远点为聚点后，我们有：在闭平面上，每个序列都有聚点。不论序列是否有界，也不论是有限点还是无穷远点，在闭平面上总成立：是的唯一聚点。参考摘录（北京大学物理学院数学物理方法A教学讲义）：§6 复变函数1.变函数的定义与几何意义1.1单值复变函数及多值复变函数的定义若对复平面上点集中的每一个复数，有唯一确定的复数与之对应，则称在上确定了为的一个单值复变函数，记为（）；若对中的每一个复数，有确定的两个或更多个复数与之对应，则称在上确定了一个多值复变函数（）。称为函数的定义域。对于中的所有，取值的全体所成集合称为函数的值域。1.2单叶函数、多叶函数设、，若时，必有，则称在上为单叶函数；否则，称在上是多叶函数。1.3反函数若由函数确定了值域中点与中点之间的对应关系，则称为函数的反函数。的反函数又常记为。1.4复合函数若，则称是的复合函数。可见：（1） 对任意的，有，且当反函数也是单值函数时，还有。（2）多值函数的反函数是多叶的，而多叶函数的反函数是多值的。【注】：今后讲到函数，若无特别声明，均指单值复变函数。1.5复变函数与实函数的关系一个复变函数，当其复变量用代数形式，表示时，函数又可表为，其中及是二元实函数；当自变量用指数形式表示时，函数可表为，其中及也是二元实函数。可见：一个单复变的复函数等价于两二元实函数及或及的有序组合。【注】：彭桓武数学物理基础P306讲到复变函数因变量也可用指数表达：1.6复变函数的几何意义映射（变换）在高等数学中，实变函数通常用几何图形来表示，通过这些几何图形，我们可以直观地理解和研究复变函数的性质。而对于复变函数，它反映了两对变量和之间的对应关系，因而无法用同一个平面内的几何图形表示出来，必须把它看成两个复平面上的点集之间的对应关系。这种“对应”，我们常又说成是“函数”、“变换”、“映射”。在变换下，点及值域点集分别称为点及定义域点集的象，而点及定义域点集则分别称为点及值域点集的原象。设为平面上的点集，为平面上的点集。可以如下定义一些变换：入变换：若；满变换：若，且对的任一点，皆有的点，使；一一变换：单叶单值满变换。2.复变函数的极限与连续性2.1复变函数的极限设复函数在点集上有定义，是的一个聚点，若存在一复数，对任给的，总可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，就有，则称为函数当趋于时的极限，记为：【注】：一元复函数的极限与一元实函数的极限相比较，复函数极限的要求要荷刻得多。因为说到实函数极限存在时，虽然也要求以任意方式趋于时，相应的函数值都趋于，但的任意方式实际上只是两个方向（从左右两方向趋于）。而对复函数极限来说，由于是平面点集，只有当沿着中的四面八方通向的任何路径趋于时，相应的函数值都趋于同一复数，我们才能说在点有极限存在。以后我们会看到，正是这荷刻的要求，给复变函数论带来了许多与实变量的实函数分析所不同的美妙结果。例：证明极限不存在。证：令，则沿正实轴趋于零时，；而沿负实轴趋于零时，；可见，不同的趋向得到不同的极限值，故原极限不存在。2.2复变函数极限的基本定理定理1： 设于点集上有定义，为的聚点，为已知复数，则，定理2： 若，那么 2.3复变函数的连续概念设函数在点集上有定义，是的一个聚点，且，如果成立，则称沿在点处连续；如果在中每一点连续，则称在上连续。2.4复变函数连续的基本定理定理1：函数在处连续二元实函数和在点处连续。定理 2：若函数，在点连续，则其和、差、积、商（分母在处不为零）仍在该点连续。定理3：如果函数沿点集在点处连续，且，沿点集在点处连续，那么复合函数沿点集在点处连续。作业：习题一 A类 2、3、4、6、12、14、15、17、19、21