中考数学压轴题 二次函数动点问题(一).doc
2012中考数学压轴题选讲(一)1.如图:抛物线经过A(-3,0)、B(0,4)、C(4,0)三点. (1) 求抛物线的解析式. (2)已知AD = AB(D在线段AC上),有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动;同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动,经过t 秒的移动,线段PQ被BD垂直平分,求t的值; (3)在(2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ+MC的值最小?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。(注:抛物线的对称轴为)解:设抛物线的解析式为,依题意得:c=4且 解得 所以 所求的抛物线的解析式为(2)连接DQ,在RtAOB中,所以AD=AB= 5,AC=AD+CD=3 + 4 = 7,CD = AC - AD = 7 5 = 2因为BD垂直平分PQ,所以PD=QD,PQBD,所以PDB=QDB因为AD=AB,所以ABD=ADB,ABD=QDB,所以DQAB所以CQD=CBA。CDQ=CAB,所以CDQ CAB 即所以AP=AD DP = AD DQ=5 = , 所以t的值是(3)答对称轴上存在一点M,使MQ+MC的值最小理由:因为抛物线的对称轴为所以A(- 3,0),C(4,0)两点关于直线对称连接AQ交直线于点M,则MQ+MC的值最小过点Q作QEx轴,于E,所以QED=BOA=90 DQAB, BAO=QDE, DQE ABO 即 所以QE=,DE=,所以OE = OD + DE=2+=,所以Q(,)设直线AQ的解析式为则 由此得 所以直线AQ的解析式为 联立由此得 所以M则:在对称轴上存在点M,使MQ+MC的值最小。2.如图9,在平面直角坐标系中,二次函数的图象的顶点为D点,与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点, A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),OBOC ,tanACO(1)求这个二次函数的表达式(2)经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由(3)如图10,若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,APG的面积最大?求出此时P点的坐标和APG的最大面积.(1)由已知得:C(0,3),A(1,0) 1分将A、B、C三点的坐标代入得 解得: 所以这个二次函数的表达式为: (2)存在,F点的坐标为(2,3) 理由:易得D(1,4),所以直线CD的解析式为:E点的坐标为(3,0),由A、C、E、F四点的坐标得:AECF2,AECF以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形,存在点F,坐标为(2,3) (3)过点P作y轴的平行线与AG交于点Q,易得G(2,3),直线AG为设P(x,),则Q(x,x1),PQ 当时,APG的面积最大,此时P点的坐标为, 3.如图,已知抛物线与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3)。求抛物线的解析式;设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得PDC是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;若点M是抛物线上一点,以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M的坐标。解析:抛物线与y轴交于点C(0,3),设抛物线解析式为,根据题意,得,解得抛物线的解析式为存在. 由得,D点坐标为(1,4),对称轴为x1.若以CD为底边,则PDPC,设P点坐标为(x,y),根据勾股定理,得,即y4x.又P点(x,y)在抛物线上,即解得,应舍去.,即点P坐标为.若以CD为一腰,因为点P在对称轴右侧的抛物线上,由抛物线对称性知,点P与点C关于直线x1对称,此时点P坐标为(2,3)。符合条件的点P坐标为或(2,3).由B(3,0),C(0,3),D(1,4),根据勾股定理,得CB,CD,BD,,,BCD90°,设对称轴交x轴于点E,过C作CMDE,交抛物线于点M,垂足为F,在RtDCF中,CFDF1, CDF45°,由抛物线对称性可知,CDM2×45°90°,点坐标M为(2,3),DMBC, 四边形BCDM为直角梯形, 由BCD90°及题意可知,以BC为一底时,顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;以CD为一底或以BD为一底,且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。综上所述,符合条件的点M的坐标为(2,3)。4.已知:抛物线yax2bxc与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB<OC)是方程x210x160的两个根,且抛物线的对称轴是直线x2(1)求A、B、C三点的坐标;(2)求此抛物线的表达式;(3)求ABC的面积;(4)若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E作EFAC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;(5)在(4)的基础上试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此时点E的坐标,判断此时BCE的形状;若不存在,请说明理由解:(1)解方程x210x160得x12,x28点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,且OBOC点B的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,8)又抛物线yax2bxc的对称轴是直线x2由抛物线的对称性可得点A的坐标为(6,0)A、B、C三点的坐标分别是A(6,0)、B(2,0)、C(0,8)(2)点C(0,8)在抛物线yax2bxc的图象上c8,将A(6,0)、B(2,0)代入表达式yax2bx8,得解得所求抛物线的表达式为yx2x8(3)AB8,OC8SABC ×8×8=32(4)依题意,AEm,则BE8m,OA6,OC8, AC10EFAC BEFBAC 即 EF过点F作FGAB,垂足为G,则sinFEGsinCAB FG·8mSSBCESBFE(8m)×8(8m)(8m)(8m)(88m)(8m)mm24m自变量m的取值范围是0m8(5)存在 理由:Sm24m(m4)28且0,当m4时,S有最大值,S最大值8m4,点E的坐标为(2,0) BCE为等腰三角形5.已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0),与y轴的正半轴交于点C直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与轴的另一个交点B的坐标;当点C在以AB为直径的P上时,求抛物线的解析式;坐标平面内是否存在点,使得以点M和中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由解:对称轴是直线:,点B的坐标是(3,0) 说明:每写对1个给1分,“直线”两字没写不扣分如图,连接PC,点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0),AB4在RtPOC中,OPPAOA211, b 当时, 存在理由:如图,连接AC、BC设点M的坐标为当以AC或BC为对角线时,点M在x轴上方,此时CMAB,且CMAB由知,AB4,|x|4,x±4点M的坐标为当以AB为对角线时,点M在x轴下方过M作MNAB于N,则MNBAOC90°四边形AMBC是平行四边形,ACMB,且ACMBCAOMBNAOCBNMBNAO1,MNCOOB3,0N312点M的坐标为综上所述,坐标平面内存在点,使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形其坐标为(说明:求点M的坐标时,用解直角三角形的方法或用先求直线解析式,然后求交点M的坐标的方法均可,请参照给分)2012中考数学压轴题选讲(一)1.如图:抛物线经过A(-3,0)、B(0,4)、C(4,0)三点. (1) 求抛物线的解析式. (2)已知AD = AB(D在线段AC上),有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动;同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动,经过t 秒的移动,线段PQ被BD垂直平分,求t的值; (3)在(2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ+MC的值最小?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。(注:抛物线的对称轴为)2.如图9,在平面直角坐标系中,二次函数的图象的顶点为D点,与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点, A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),OBOC ,tanACO(1)求这个二次函数的表达式(2)经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由(3)如图10,若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,APG的面积最大?求出此时P点的坐标和APG的最大面积.3.如图,已知抛物线与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3)。求抛物线的解析式;设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得PDC是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;若点M是抛物线上一点,以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M的坐标。4.已知:抛物线yax2bxc与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB<OC)是方程x210x160的两个根,且抛物线的对称轴是直线x2(1)求A、B、C三点的坐标;(2)求此抛物线的表达式;(3)求ABC的面积;(4)若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E作EFAC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;(5)在(4)的基础上试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此时点E的坐标,判断此时BCE的形状;若不存在,请说明理由 5.已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0),与y轴的正半轴交于点C直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与轴的另一个交点B的坐标;当点C在以AB为直径的P上时,求抛物线的解析式;坐标平面内是否存在点,使得以点M和中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由13