高数（工）2测试卷（多元函数微分学）解答.doc

上海应用技术学院2012 2013 学年第 二 学期高等数学（工）2测试卷（多元函数微分学）解答一单项选择题（每小题2分，共10分）1设，则是的（ ）。A. 极大值； B. 极小值； C. 非极值； D. 不能确定。 分析： 故 非极值点 选2设曲面上点的切平面平行于平面，则点到已知平面的距离 等于（ ）A. B. C. D. 分析：先求出切点坐标 根据题意 平行于 故选3设，其中可微，则：（ ）A. B. C. D.分析： 故选4曲面在点上的切平面方程是（ ）A. B. C. D. 分析： 直接求出切平面方程 即 故选5设函数，则函数在点处方向导数的最大值是（）；A B C D 分析： 梯度矢量的模就是方向导数的最大值 故选二.填空题（每小题3分，共15分）6设，其中可微，则。分析：根据多元复合函数求偏导数的链式法则7曲线绕轴旋转一周所得的旋转曲面在点的指向外 侧的单位法线矢量是。分析： 旋转曲面方程 8椭球面上点处的切平面与平面的夹角为。分析： 9函数在点（1，0，1）处沿方向的方向导数为。 分析： 10设满足隐函数存在定理的条件，则。分析： 故原式是三计算题（每小题7分，共63分）11设，其中可微，可微，求：解： （3分）（7分）12设，其中由方程所确定，求解： （3分） （5分）（7分）13设，其中，求：。解：（2分）（6分） 分别将代入（7分）14设是由方程所确定的隐函数，其中可微，求： 解： ， （1分） （3分） （5分） （7分）15设是曲面在点处指向外侧的法矢量，求在点处沿方向的方向导数。解： （1分） （2分） （3分） （5分） （7分）16求函数的极值。解：由 得驻点 （3分） 对于驻点 函数在点取得极小值 （5分） 对于驻点 故非极值点。（7分）17求曲线，上的点，使曲线在该点处的切线平行于平面 。解：设所求的点对应于，对应的切线方向向量为（3分） 或（5分） 所求的点为：或（7分）18设直线：在平面上，而平面与曲面相切于点，求，的值。解：曲面方程 在点处切平面的法向量 切平面方程是 ，即 （3分）由： 得 代入平面方程 即 （5分）因而 故：，（7分）19已知曲线：，求曲线距离平面的最远的点和最近的点。解：设为曲线上的任一点，则点到平面的距离的平方为 故目标函数可选择 （1分）由于点在曲线上故有两个约束条件,构造辅助函数： （3分） （5分）解得： 或 所求的最远的点是，最近的点是 （7分）四、综合题（12分）20设函数在内具有二阶导数，且满足。（1） 验证 （2） 若，求函数的表达式。证明：（1） （1分） （3分） （5分）代入， 得 （6分） （2）将变形为 （7分） 即 （9分）由 （10分） 由 （12分）