补课讲义平面向量(共17页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上平面向量一、平面向量的概念及线性运算基础梳理1向量的有关概念(1)向量：既有 的量叫向量；向量的大小叫做向量的 (2)零向量：长度等于 的向量，其方向 (3)单位向量：长度等于 的向量(4)平行向量：方向 的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线(5)相等向量： 的向量 (6)相反向量： 向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1) 交换律：abba. (2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)3.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：|a|a|； 当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0.(2)运算律：设，是两个实数，则(a)()a；()aaa； (ab)ab.4共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.方法与要点1、一条规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量2、两个防范(1)向量共线的充要条件中要注意“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合C.双基自测1(人教A版教材习题改编)D是ABC的边AB上的中点，则向量等于()A B C. D.2判断下列四个命题：若ab，则ab；若|a|b|，则ab；若|a|b|，则ab；若ab，则|a|b|.正确的个数是()A1 B2 C3 D43若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A. B. C. D.4(2011·四川)如图，正六边形ABCDEF中，()A0 B. C. D.5设a与b是两个不共线向量，且向量ab与2ab共线，则_.D.考点解析考点一平面向量的概念【例1】下列命题中正确的是()Aa与b共线，b与c共线，则a与c也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 D有相同起点的两个非零向量不平行【训练1】 给出下列命题：若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac； ab的充要条件是|a|b|且ab；若a与b均为非零向量，则|ab|与|a|b|一定相等 其中正确命题的序号是_考点二平面向量的线性运算【例2】如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A.0 B.0【训练2】 在ABC中，c，b，若点D满足2，则 ()A.bc B.cb C.bc D.bc考向三共线向量定理及其应用【例3】设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：A，B，D三点共线；【训练3】 (2011·兰州模拟)已知a，b是不共线的向量，ab，ab(，R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是()A2 B1 C1 D1二、平面向量基本定理及其坐标表示A.基础梳理1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，当且仅当x1y2x2y10时，向量a，b共线B.方法与要点1、一个区别向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a(x，y)当平面向量平行移动到时，向量不变，即(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化2、两个防范(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.C.双基自测1(人教A版教材习题改编)已知a1a2an0，且an(3,4)，则a1a2an1的坐标为()A(4,3) B(4，3) C(3，4) D(3,4)解析a1a2an1an(3，4) 答案C2若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则c()A3ab B3ab Ca3b Da3b解析设cxayb，则 c3ab. 答案B3(2012·郑州月考)设向量a(m,1)，b(1，m)，如果a与b共线且方向相反，则m的值为()A1 B1 C2 D2解析设ab(0)，即m且1m.解得m±1，由于0，m1. 答案A4设向量a(1，3)，b(2,4)，若表示向量4a、3b2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c()A(4,6) B(4，6) C(4，6) D(4,6)解析设c(x，y)， 则4a(3b2a)c0， 答案C5已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.解析ab(1，m1)(ab)c，2(1)(m1)0，m1. 答案1D.考点解析考点一平面向量基本定理的应用【例1】如图所示，在ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若，则_.审题视点 由B，H，C三点共线可用向量，来表示.解析由B，H，C三点共线，可令x(1x)，又M是AH的中点，所以x(1x)，又.所以x(1x). 答案 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的【训练1】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起若xy，则x_，y_.解析以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系如图，令AB2，则(2,0)，(0,2)，过D作DFAB交AB的延长线于F，由已知得DFBF，则(2， )xy，(2，)(2x,2y)即有解得另解：， 所以x1，y. 答案1考点二平面向量的坐标运算【例2】已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2.求M，N的坐标和.审题视点 求，的坐标，根据已知条件列方程组求M，N.解A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)， (1,8)，(6,3)33(1,8)(3,24)，22(6,3)(12,6)设M(x，y)，则(x3，y4)得M(0,20)同理可得N(9,2)，(90,220)(9，18) 利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标【训练2】 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若(2,4)，(1,3)，则()A(2，4) B(3，5) C(3,5) D(2,4)解析由题意得()2(1,3)2(2,4)(3，5)答案B考点三平面向量共线的坐标运算【例3】已知a(1,2)，b(3,2)，是否存在实数k，使得kab与a3b共线，且方向相反？审题视点 根据共线条件求k，然后判断方向解若存在实数k，则kabk(1,2)(3,2)(k3，2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)若这两个向量共线，则必有(k3)×(4)(2k2)×100. 解得k.这时kab，所以kab(a3b)即两个向量恰好方向相反， 故题设的实数k存在向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值【训练3】 (2011·西安质检)已知向量a(1,2)，b(2，3)，若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c()A. B. C. D.解析设c(m，n)，则ac(1m,2n)，ab(3，1)(ca)b，3×(1m)2×(2n)，又c(ab)，3mn0，解得m，n. 答案D三、平面向量的数量积A.基础梳理1两个向量的夹角已知两个非零向量a和b(如图)，作a，b，则AOB(0°180°)叫做向量a与b的夹角，当0°时，a与b同向；当180°时，a与b反向；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作ab.2两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b|a|b|cos ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a0.3向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的数量积4向量数量积的性质设a、b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角则(1)e·aa·e|a|cos ； (2)aba·b0；(3)当a与b同向时，a·b|a|·|b|；当a与b反向时，a·b|a|b|，特别的，a·a|a|2或者|a|；(4)cos ； (5)|a·b|a|b|.5向量数量积的运算律(1)a·bb·a； (2)a·b(a·b)a·(b)； (3)(ab)·ca·cb·c.6平面向量数量积的坐标运算设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量a与b的夹角为，则(1)a·bx1x2y1y2； (2)|a|；(3)cosa，b； (4)aba·b0x1x2y1y20.7若A(x1，y1)，B(x2，y2)，a，则|a|(平面内两点间的距离公式)B.方法与要点1、一个条件两个向量垂直的充要条件：abx1x2y1y20.2、两个探究(1)若a·b0，能否说明a和b的夹角为锐角？ (2)若a·b0，能否说明a和b的夹角为钝角？3、三个防范(1)若a，b，c是实数，则abacbc(a0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足a·ba·c(a0)，则不一定有bc，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量(2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)ca(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)c与a(b·c)不一定相等(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，与的夹角应为120°，而不是60°.C.双基自测1(人教A版教材习题改编)已知|a|3，|b|2，若a·b3，则a与b的夹角为()A. B. C. D.解析设a与b的夹角为，则cos .又0，. 答案C2若a，b，c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是()A(ab)ca(bc) B(ab)·ca·cb·c Cm(ab)mamb D(a·b)·ca·(b·c) 答案D3(2011·广东)若向量a，b，c满足ab，且ac，则c·(a2b)()A4 B3 C2 D0解析由ab及ac，得bc，则c·(a2b)c·a2c·b0. 答案D4已知向量a(1,2)，向量b(x，2)，且a(ab)，则实数x等于()A9 B4 C0 D4解析ab(1x,4)由a(ab)，得1x80.x9. 答案A5(2011·江西)已知|a|b|2，(a2b)·(ab)2，则a与b的夹角为_解析由|a|b|2，(a2b)(ab)2，得a·b2，cosa，b，又a，b0，所以a，b. 答案D.考点解析考点一求两平面向量的数量积【例1】在ABC中，M是BC的中点，|1，2，则·()_.审题视点 由M是BC的中点，得2.解析如图，因为M是BC的中点，所以2，又2，|1，所以·()·24|2|2，故填. 答案 当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识【训练1】 如图，在菱形ABCD中，若AC4，则·_.解析，故··()··.而，.所以·CA28. 答案8考点二利用平面向量数量积求夹角与模【例2】已知|a|4，|b|3，(2a3b)·(2ab)61.(1)求a与b的夹角； (2)求|ab|和|ab|.审题视点 由平面向量数量积的运算法则得a·b的值，再求其夹角的余弦值，从而得其夹角解(1)(2a3b)·(2ab)61，解得a·b6. cos ，又0，.(2)|ab|2a22a·bb213，|ab|.|ab|2a22a·bb237. |ab|. 在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|要引起足够重视，是求距离常用的公式【训练2】 已知a与b是两个非零向量，且|a|b|ab|，求a与ab的夹角解设a与ab的夹角为，由|a|b|得|a|2|b|2. 又由|b|2|ab|2|a|22a·b|b|2. a·b|a|2，而|ab|2|a|22a·b|b|23|a|2， |ab|a|.cos . 0°180°， 30°，即a与ab的夹角为30°.考点三平面向量的数量积与垂直问题【例3】已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)(xR)(1)若ab，求x的值； (2)若ab，求|ab|.审题视点 利用abx1x2y1y20及abx1y2x2y10，求解解(1)若ab，则a·b(1，x)·(2x3，x)1×(2x3)x(x)0.整理，得x22x30，解得x1或x3.(2)若ab，则有1×(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.当x0时，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)， |ab|2.当x2时，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|2. 综上，可知|ab|2或2. 已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算【训练3】 已知平面内A，B，C三点在同一条直线上，(2，m)，(n,1)，(5，1)，且，求实数m，n的值解由于A，B，C三点在同一条直线上，则，(7，1m)，(n2,1m)，7(1m)(1m)(n2)0，即mnn5m90，又，2nm0.联立，解得或四、平面向量的应用A.基础梳理1向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：abab(b0)x1y2x2y10.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 aba·b0x1x2y1y20.(3)求夹角问题，利用夹角公式 cos (为a与b的夹角)2平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积即WF·s|F|s|cos (为F与s的夹角)B.方法与要点1、一个手段实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算2、两条主线(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题C.双基自测1(人教A版教材习题改编)某人先位移向量a：“向东走3 km”，接着再位移向量b：“向北走3 km”，则ab表示()A向东南走3 km B向东北走3 km C向东南走3 km D向东北走3 km解析要求ab，可利用向量和的三角形法则来求解，如图所示，适当选取比例尺作a“向东走3 km”，b“向北走3 km”，则ab. |3(km)，又与的夹角是45°，所以ab表示向东北走3 km. 答案B2平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(2)·()0，则ABC的形状是()A直角三角形 B等腰直角三角形 C等腰三角形 D无法确定解：由(2)·()0，得()(·()0，()·()0.所以|2|20，|，故ABC是等腰三角形 答案C3(2012·银川模拟)已知向量a(cos ，sin )，b(，1)，则|2ab|的最大值，最小值分别是()A4,0 B16,0 C2,0 D16,4解析设a与b夹角为，|2ab|24a24a·bb284|a|b|cos 88cos ， 0，cos 1,1，88cos 0,16，即|2ab|20,16，|2ab|0,4 答案A4 在ABC中，已知向量与满足·0且·，则ABC为()A等边三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D三边均不相等的三角形解析由·0知ABC为等腰三角形，ABAC.由·知，60°，所以ABC为等边三角形，故选A. 答案A5平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·4，则点P的轨迹方程是_解析由·4，得(x，y)·(1,2)4，即x2y4. 答案x2y40D.考点解析考点一平面向量在平面几何中的应用【例1】(2010·辽宁)平面上O，A，B三点不共线，设a，b，则OAB的面积等于()A. B. C. D.审题视点 由数量积公式求出OA与OB夹角的余弦，进而得正弦，再由公式Sabsin ，求面积解析cosBOA， 则sinBOA ，SOAB|a|b| . 答案C平面向量的数量积是解决平面几何中相关问题的有力工具：利用|a|可以求线段的长度，利用cos (为a与b的夹角)可以求角，利用a·b0可以证明垂直，利用ab(b0)可以判定平行【训练1】 设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，ac，|a|c|，则|b·c|的值一定等于()A以a，b为邻边的平行四边形的面积 B以b，c为邻边的平行四边形的面积C以a，b为两边的三角形的面积 D以b，c为两边的三角形的面积解析 |b·c|b|c|cos |，如图，ac，|b|cos |就是以a，b为邻边的平行四边形的高h，而|a|c|，|b·c|a|(|b|cos |)，|b·c|表示以a，b为邻边的平行四边形的面积 答案A考点二平面向量与三角函数的交汇【例2】已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，.(1)若|，求角的值； (2)若·1，求的值审题视点 首先求出向量、的坐标，第(1)问利用两个向量的模相等建立角的三角方程进行求解；第(2)问利用向量与数量积的坐标运算化简已知条件，得到角的三角函数值，把所求式子化简，寻找两个式子之间的关系解(1)(cos 3，sin )，(cos ，sin 3)，2(cos a3)2sin2106cos ，2cos2(sin 3)2106sin ，由|，可得22，即106cos 106sin ，得sin cos .又，.(2)由·1，得(cos 3)cos sin (sin 3)1，sin cos .又2sin cos .由式两边分别平方，得12sin cos ，2sin cos .解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决【训练2】 已知向量a(sin ，cos 2sin )，b(1,2)(1)若ab，求tan 的值； (2)若|a|b|,0，求的值解(1)因为ab，所以2sin cos 2sin ， 于是4sin cos ，故tan .(2)由|a|b|知，sin2(cos 2sin )25，所以12sin 24sin25.从而2sin 22(1cos 2)4，即sin 2cos 21，于是sin.又由0知，2，所以2或2.因此或.自我检测题1、 (2010·北京)若a，b是非零向量，且ab，|a|b|，则函数f(x)(xab)·(xba)是()A一次函数且是奇函数 B一次函数但不是奇函数C二次函数且是偶函数 D二次函数但不是偶函数【解析】：，由，|a|b|，是一次函数且是奇函数。 【答案】：A2、(2012年高考浙江卷理科5)设a，b是两个非零向量, 下列命题正确的是( )A若|ab|a|b|，则ab B若ab，则|ab|a|b|来源:Z*xx*k.ComC若|ab|a|b|，则存在实数，使得ab D若存在实数，使得ab，则|ab|a|b|3.(2012年高考辽宁卷理科3)已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是( ) (A) ab (B) ab (C)0,1,3 (D)a+b=ab4、(2012年高考天津卷理科7)已知ABC为等边三角形，设点P，Q满足，若，则( )来源:学+科+网来源:学科网（A） （）（）（）5、(2012年高考湖南卷理科7)在ABC中，AB=2，AC=3， 则BC=( )A. B. C. D.来源:学&科&网 【答案】A【解析】由下图知.又由余弦定理知，解得.6、(2012年全国卷理科6)中，边上的高为，若，则( )A B C D 【答案】D【解析】由可得，故，用等面积法求得，所以，故，故选答案D 7、(2012年高考重庆卷理科6)设R，向量，且，则 （A） （B） （C） （D）108、设向量满足，则的最大值等于 (A)2 (B) (c) (D)1【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图形，然后分析观察不难得到当线段AC为直径时，最大.【解析】【解析】如图，构造, , ,，所以四点共圆，可知当线段为直径时，最大，最大值为2.DCAB9、如图，在四边形ABCD中，则的值为（ ）A.2 B. C.4 D.【答案】：C【解析】：,上式又由知：, 10、 (2011·山东)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若(R)，(R)，且2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下列说法正确的是()AC可能是线段AB的中点 BD可能是线段AB的中点CC、D可能同时在线段AB上 DC、D不可能同时在线段AB的延长线上【解析】由 (R)，(R)知:四点，在同一条直线上,因为C,D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直线上,且,若A成立，则.不可能；同理B也不可能。若C成立，则，不成立；若C、D同时在AB的演唱线上，则 故选D. 【答案】D二、填空题1、(2011·湖南) 在边长为1的正三角形中，设，则。错选(填错的结论多种)错因搞错向量的夹角或计算错正解解法一、由题，所以。解法二、由题意画出图形如图所示，取一组基底，结合图形可得()，·()·22·cos 60°.2、 (2011·天津)已知直角梯形中，/,是腰上的动点，则的最小值为_. 解析 建立如图所示的坐标系，设，则，设则，.答案53、 (2012年高考安徽卷理科14)若平面向量满足：；则的最小值是 4.(2012年高考新课标全国卷理科13)已知向量夹角为 ，且；则【解析】 【答案】5、在平行四边形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 . 【答案】【解析】以向量所在直线为轴，以向量所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为，所以 设根据题意，有.所以，所以 三、解答题1、 (本题满分12分)(2010·安徽)ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cos A.(1)求·；(2)若cb1，求a的值 先求sin A，再利用面积公式求bc，最后利用数量积及余弦定理可解决解答 由cos A，得sin A .(2分)又bcsin A30，bc156.(4分)(1)·bccos A156×144(8分)(2)a2b2c22bccos A(cb)22bc(1cos A)12×156×25，又a0(10分)a5.(12分) 三角形的三边可与三个向量对应，这样就可以利用向量的知识来解三角形了，解决此类问题要注意内角与向量的夹角之间的联系与区别，还要注意向量的数量积与三角形面积公式之间关系的应用2、 已知ABC的面积S满足S3，且·6，设与的夹角为.(1)求的取值范围；(2)求函数f()sin22sin ·cos 3cos2的最小值解答(1)·6，|·|·cos 6.|·|.又S|·|·sin()3tan ，3tan 3，即tan 1.又(0，)，.(2)f()12cos2sin 2cos 2sin 22sin2，由，得2，2.当2即时，f()min3.专心-专注-专业