人教版高中数学《平面向量》全部教案124005.pdf

欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！=Word 行业资料分享-可编辑版本-双击可删=第五章 平面向量 第一教时 教材：向量 目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。过程：一、开场白：课本 P93（略）实例：老鼠由 A 向西北逃窜，猫在 B 处向东追去，问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。二、提出课题：平面向量 1意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等 注意：1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。2从 19 世纪末到 20 世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。2 向量的表示方法：1几何表示法：点射线 有向线段具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫）2字母表示法：AB可表示为a（印刷时用黑体字）P95 例 用 1cm 表示 5n mail（海里）3 模的概念：向量AB的大小长度称为向量的模。记作：|AB|模是可以比较大小的 4 两个特殊的向量：1零向量长度（模）为 0 的向量，记作0。0的方向是任意的。注意0与 0 的区别 2单位向量长度（模）为 1 个单位长度的向量叫做单位向量。例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？答：不是。因为零上零下也只是大小之分。例：AB与BA是否同一向量？答：不是同一向量。例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。三、向量间的关系：A B A(起点)B（终点）a A B 北 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！=Word 行业资料分享-可编辑版本-双击可删=1平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。记作：abc 规定：0与任一向量平行 2 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。记作：a=b 规定：0=0 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。3 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫共线向量。OA=a OB=b OC=c 例：（P95）略 变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11 个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（FEDOCB,）四、小结：五、作业：P 第二教时 教材：向量的加法 目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作几个向量的和向量。能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向量计算。过程：六、复习：向量的定义以及有关概念 强调：1向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。2正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。七、提出课题：向量是否能进行运算？5某人从 A 到 B，再从 B 按原方向到C，则两次的位移和：ACBCAB 6若上题改为从 A 到 B，再从 B 按反方向到 C，则两次的位移和：ACBCAB 7某车从 A 到 B，再从 B 改变方向到 C，则两次的位移和：ACBCAB a b c C O B A A B C C A B A B C C 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！=Word 行业资料分享-可编辑版本-双击可删=8船速为AB，水速为BC，则两速度和：ACBCAB 提出课题：向量的加法 三、1定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）2三角形法则：强调：1“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2可以推广到 n 个向量连加 3aaa00 4不共线向量都可以采用这种法则三角形法则 3例一、已知向量a、b，求作向量a+b 作法：在平面内取一点，作aOA bAB 则baOB 4加法的交换律和平行四边形法则 上题中b+a的结果与a+b是否相同 验证结果相同 从而得到：1向量加法的平行四边形法则 2向量加法的交换律：a+b=b+a 9向量加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)证：如图：使aAB,bBC,cCD 则(a+b)+c=ADCDAC a+(b+c)=ADBDAB(a+b)+c=a+(b+c)从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。四、例二（P9899）略 五、小结：1向量加法的几何法则 a+b A A A B B B C C C O A B a a a b b b a+b a+b a a b b b a a A B C D a c a+b+c b a+b b+c 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！=Word 行业资料分享-可编辑版本-双击可删=2交换律和结合律 3注意：|a+b|a|+|b|不一定成立，因为共线向量不然。六、作业：P99100 练习 P102 习题 5.2 13 第三教时 教材：向量的减法 目的：要求学生掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。过程：八、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则 向量加法的运算定律：例：在四边形中，BABACBCD 解：CDADBACBBABACB 九、提出课题：向量的减法 1用“相反向量”定义向量的减法 1“相反向量”的定义：与 a 长度相同、方向相反的向量。记作 a 2规定：零向量的相反向量仍是零向量。(a)=a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a+(a)=0 如果 a、b 互为相反向量，则 a=b,b=a,a+b=0 3向量减法的定义：向量 a 加上的 b 相反向量，叫做 a 与 b 的差。即：a b=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法。2用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若 b+x=a，则 x 叫做 a 与 b 的差，记作 a b 3求作差向量：已知向量 a、b，求作向量 (ab)+b=a+(b)+b=a+0=a 作法：在平面内取一点 O，作OA=a,AB=b 则BA=a b 即 a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量。注意：1AB表示 a b。强调：差向量“箭头”指向被减数 2用“相反向量”定义法作差向量，a b=a+(b)显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。O A B a B b b b B a+(b)a b A B D C O a b B a b ab 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！=Word 行业资料分享-可编辑版本-双击可删=4abc a b=a+(b)a b 十、例题：例一、（P101 例三）已知向量 a、b、c、d，求作向量 ab、cd。解：在平面上取一点 O，作OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,作BA,DC,则BA=ab,DC=cd 例二、平行四边形中，用表示向量，解：由平行四边形法则得：AC=a+b,DB=ADAB =ab 变式一：当 a,b 满足什么条件时，a+b 与 ab 垂直？（|a|=|b|）变式二：当 a,b 满足什么条件时，|a+b|=|ab|？（a,b 互相垂直）变式三：a+b 与 ab 可能是相当向量吗？（不可能，对角线方向不同）十一、小结：向量减法的定义、作图法|十二、作业：P102 练习 P103 习题 5.2 48 第四教时 教材：向量、向量的加法、向量的减法综合练习教学与测试64、65、66 课 目的：通过练习要求学生明确掌握向量的概念、几何表示、共线向量的概念，掌握向量的加法与减法的意义与几何运算。过程：十三、复习：1向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量 2向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律 十四、1处理教学与测试P135136 第 64 课 （略）2处理教学与测试P137138 第 65 课 例一、设 a 表示“向东走 3km”，b 表示“向北走 3km”，则 a+b 表示向东北走23km A B D C A B C b a d c D O ab A A B B B O ab a a b b O A O B ab ab B A O b B a+b b O a A 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！=Word 行业资料分享-可编辑版本-双击可删=解：OB=OA+AB 233322OB(km)例二、试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。证：由向量加法法则：AB=AO+OB,DC=DO+OC 由已知：AO=OC,DO=OB AB=DC 即 AB 与 CD 平行且相等 ABCD 为平行四边形 例三、在正六边形中，若OA=a,OE=b，试用 向量 a、b 将OB、OC、OD表示出来。解：设正六边形中心为 P 则OAOEOAPBOPOB)(a+b+a PCOPOC a+b+a+b 由对称性：OD=b+b+a 3处理教学与测试P139140 第 66 课 （略）十五、有时间可处理“备用题”：例一、化简FABCCDDFAB 解：FABCCDDFAB=FADFCDBCAB =FADFCDAC=FADFAD=FAAF=0 例二、在静水中划船的速度是每分钟 40，水流的速度是每分钟 20，如果船从岸边出发，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向何处？解：如图：船航行的方向是 与河岸垂直方向成 30夹角，即指向河的上游。十六、作业：上述三课中的练习部分（选）第五教时 教材：实数与向量的积 目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。A B D C O A B O P C E F A B D C 30 上游 下游 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！=Word 行业资料分享-可编辑版本-双击可删=二、1引入新课：已知非零向量a 作出a+a+a和(a)+(a)+(a)OC=BCABOA=a+a+a=3a PN=MNQMPQ=(a)+(a)+(a)=3a 讨论：13a与a方向相同且|3a|=3|a|23a与a方向相反且|3a|=3|a|2从而提出课题：实数与向量的积 实数与向量a的积，记作：a 定义：实数与向量a的积是一个向量，记作：a 1|a|=|a|20 时a与a方向相同；时 两边向量的方向都与a同向 当0 且1 时在平面内任取一点 O，作OAa ABb 1OAa 11BAb 则OBa+b 1OBa+b 由作法知：AB11BA有OAB=OA1B1|AB|=|11BA|111ABBAOAOA OABOA1B1|1OBOB AOB=A1OB1 因此，O，B，B1在同一直线上，|1OB|=|OB|1OB与OB方向也相同(a+b)=a+b 当0(内分)(外分)0(-1)(外分)0 (-10 内分 0，(a)b=|a|b|cos，(ab)=|a|b|cos，a(b)=|a|b|cos，若 0，(a)b=|a|b|cos()=|a|b|(cos)=|a|b|cos，(ab)=|a|b|cos，a(b)=|a|b|cos()=|a|b|(cos)=|a|b|cos。12(a+b)c=ac+bc 在平面内取一点 O，作OA=a,AB=b，OC=c，1 2 a b A B O ABC c 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！=Word 行业资料分享-可编辑版本-双击可删=a+b（即OB）在 c 方向上的投影 等于 a、b 在 c 方向上的投影和，即：|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2|c|a+b|cos=|c|a|cos1+|c|b|cos2 c(a+b)=ca+cb 即：(a+b)c=ac+bc 13 例题：P118119 例二、例三、例四 （从略）二十五、应用例题：（教学与测试第 27 课 P156 例二、例三）例一、已知 a、b 都是非零向量，且 a+3b 与 7a 5b 垂直，a 4b 与 7a 2b 垂直，求 a 与 b 的夹角。解：由(a+3b)(7a 5b)=0 7a2+16ab 15b2=0 (a 4b)(7a 2b)=0 7a2 30ab+8b2=0 两式相减：2ab=b2 代入或得：a2=b2 设 a、b 的夹角为，则 cos=21222|bbbaba =60 例二、求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。解：如图：ABCD 中：DCAB，BCAD，AC=ADAB|AC|2=ADABADABADAB2|222 而BD=ADAB|BD|2=ADABADABADAB2|222|AC|2+|BD|2=2222ADAB=2222|ADDCBCAB 二十六、小结：运算律 二十七、作业：P119 习题 5.6 7、8 教学与测试P152 练习 第十三教时 教材：平面向量的数量积的坐标表示 目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。过程：二十八、复习：1平面向量的坐标表示及加、减、实数与向量的乘积的坐标表示 2平面向量数量积的运算 3两平面向量垂直的充要条件 4两向量共线的坐标表示：二十九、课题：平面两向量数量积的坐标表示 14 设 a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，x 轴上单位向量 i，y 轴上单位向量 j，则：ii=1，jj=1，ij=ji=0 15 推导坐标公式：A B D C 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！=Word 行业资料分享-可编辑版本-双击可删=a=x1i+y1j,b=x2i+y2j ab=(x1i+y1j)(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y1ij+x2y1ij+y1y2j2 =x1x2+y1y2 从而获得公式：ab=x1x2+y1y2 例一、设 a=(5,7)，b=(6,4)，求 ab 解：ab=5(6)+(7)(4)=30+28=2 16 长度、角度、垂直的坐标表示 1a=(x,y)|a|2=x2+y2|a|=22yx 2若 A=(x1,y1)，B=(x2,y2)，则AB=221221)()(yyxx 3 cos=|baba222221212121yxyxyyxx 4ab ab=0 即 x1x2+y1y2=0（注意与向量共线的坐标表示原则）17 例二、已知 A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)，求证：ABC 是直角三角形。证：AB=(21,32)=(1,1),AC=(21,52)=(3,3)ABAC=1(3)+13=0 ABAC ABC 是直角三角形 三、补充例题：处理教学与测试P153 第 73 课 例三、已知 a=(3,1)，b=(1,2)，求满足 xa=9 与 xb=4 的向量 x。解：设 x=(t,s)，由 xa=9 3t s=9 t=2 由 xa=9 3t s=9 s=3 x=(2,3)例四、如图，以原点和 A(5,2)为顶点作等腰直角OAB，使B=90，求点 B 和向量AB的坐标。解：设 B 点坐标(x,y)，则OB=(x,y)，AB=(x5,y2)OBAB x(x5)+y(y2)=0 即：x2+y2 5x 2y=0 又|OB|=|AB|x2+y2=(x5)2+(y2)2即：10 x+4y=29 由2723232729410025221122yxyxyxyxyx或 B 点坐标)23,27(或)27,23(；AB=)27,23(或)23,27(例五、在ABC 中，AB=(2,3)，AC=(1,k)，且ABC 的一个内角为直角，求 k 值。A O B 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！=Word 行业资料分享-可编辑版本-双击可删=解：当 A=90时，ABAC=0，21+3k=0 k=23 当 B=90时，ABBC=0，BC=ACAB=(12,k3)=(1,k3)2(1)+3(k3)=0 k=311 当 C=90时，ACBC=0，1+k(k3)=0 k=2133 四、小结：两向量数量积的坐标表示 长度、夹角、垂直的坐标表示 五、作业：P121 练习及习题 5.7 教学与测试P154 5、6、7、8，思考题 第十四教时 教材：平移 目的：要求学生理解“平移”的概念和平移的几何意义，并掌握平移公式，能运用公式解决有关具体问题。过程：三十、平移的概念：点的位置、图形的位置改变，而形状、大小没有改变，从而导致函数的解析式也随着改变。这个过程称做图形的平移。（作图、讲解）三十一、平移公式的推导：18 设 P(x,y)是图形 F 上的任意一点，它在平移后的 图象 F上的对应点为 P(x,y)可以看出一个平移实质上是一个向量。19 设PP=(h,k)，即：PPOPOP (x,y)=(x,y)+(h,k)kyyhxx 平移公式 20 注意：1它反映了平移后的新坐标与原坐标间的关系 2知二求一 3这个公式是坐标系不动，点P(x,y)按向量 a=(h,k)平移到点 P(x,y)。另一种平移是：点不动，把坐标系平移向量a，即：kyyhxx。这两种变换使点在坐标系中的相对位置是一样的，这两个公式作用是一致的。三十二、应用：例一、（P121 例一）1把点 A(2,1)按 a=(3,2)平移，求对应点 A的坐标(x,y)。2点 M(8,10)按 a 平移后对应点 M的坐标为(7,4)，求 a。a a a F P P F O 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！=Word 行业资料分享-可编辑版本-双击可删=解：1由平移公式：321y132x 即对应点 A的坐标为(1,3)2由平移公式：141510487khkh即 a 的坐标为(15,14)例二、将函数 y=2x 的图象 l 按 a=(0,3)平移到 l，求 l的函数解析式。解：设 P(x,y)为 l 上任一点，它在 l上的对应点为 P(x,y)由平移公式：330yyxxyyxx 代入 y=2x 得：y 3=2x 即：y=2x+3 按习惯，将 x、y写成 x、y 得 l的解析式：y=2x+3 （实际上是图象向上平移了 3 个单位）例三、已知抛物线 y=x2+4x+7，1求抛物线顶点坐标。2求将这条抛物线平移到顶点与原点重合时的函数解析式。解：1设抛物线 y=x2+4x+7 的顶点 O坐标为(h,k)则 h=2,k=3 顶点 O坐标为(2,3)3按题设，这种平移是使点 O(2,3)移到 O(0,0)，设OO=(m,n)则3302)2(0nm 设 P(x,y)是抛物线 y=x2+4x+7 上任一点，对应点 P为(x,y)则3232yyxxyyxx 代入 y=x2+4x+7 得：y=x2 即：y=x2 三十三、小结：平移公式、应用 三十四、作业：P123 练习 P124 习题 5.8 第十五教时 教材：平面向量的数量积平移的综合练习课 目的：使学生对平面向量数量积的意义、运算有更深的理解，并能较熟练地处理有关长度、角度、垂直的问题。过程：三十五、复习：1平面向量数量积的定义、运算、运算律 2平面向量数量积的坐标表示，有关长度、角度、垂直的处理方法 3平移的有关概念、公式 三十六、例题 例一、a、b 均为非零向量，则|a+b|=|ab|是 的（C）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 P Pa O 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！=Word 行业资料分享-可编辑版本-双击可删=解：若|a+b|=|ab|a+b|2=|ab|2|a|2+2ab+|b|2=|a|2 2ab+|b|2 ab=0 ab 例二、向量 a 与 b 夹角为3，|a|=2，|b|=1，求|a+b|ab|的值。解：|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2=4+221cos3+1=7|a+b|=7,同理：|ab|2=3,|ab|=3|a+b|ab|=21 例三、ABCD 中，AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，且 ab=bc=cd=da，问 ABCD 是怎样的四边形？解：由题设：|a|b|cosB=|b|c|cosC=|c|d|cosD=|d|a|cosA|a|=|c|,|b|=|d|cosA=cosB=cosC=cosD=0 ABCD 是矩形 例四、如图ABC 中，AB=c，BC=a，CA=b，则下列推导不正确的是（D）A若 a b 0，则ABC 为钝角三角形。B若 a b=0，则ABC 为直角三角形。C若 a b=bc，则ABC 为等腰三角形。D若 c(a+b+c)=0，则ABC 为正三角形。解：Aab=|a|b|cos 0，则 cos 0 68511或68511 例六、i、j 是平面直角坐标系内 x 轴、y 轴正方向上的两个单位向量，且AB=4i+2j，AC=3i+4j，证明：ABC 是直角三角形，并求它的面积。解：AB=(4,2),AC=(3,4),则BC=(34,42)=(1,2),BA=(4,2),BABC=(1)(4)+(2)2=0 BABC 即ABC 是直角三角形 A B C a cb 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！=Word 行业资料分享-可编辑版本-双击可删=|AB|=522422,|BC|=5)2()1(22,且B=90,SABC=555221 例七、用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。证：设AB=DC=a,AD=BC=b ABCD 为菱形|a|=|b|ACBD=(b+a)(b a)=b2 a2=|b|2|a|2=0 ACBD 例八、已知 a、b 都是非零向量，且 a+3b 与 7a 5b 垂直，a 4b 与 7a 2b 垂直，求 a 与 b 的夹角。解：由(a+3b)(7a 5b)=0 7a2+16ab 15b2=0 (a 4b)(7a 2b)=0 7a2 30ab+8b2=0 两式相减：2ab=b2 代入或得：a2=b2 设 a、b 的夹角为，则 cos=21222|bbbaba =60 三十七、作业：P150 复习参考五 A 组 1926 B 组 16 第十六教时 教材：续第十五教时 教学与测试第 74、75 课 目的：同第十五教时 过程：三十八、处理教学与测试第 74、75 课 （略）三十九、补充例题（视教学情况选用）：21 a、b 为非零向量，当 a+tb(tR)的模取最小值时，1求 t 的值 2求证：b 与 a+tb 垂直 解：1|a+tb|2=|a|2+t2|b|2+2t|a|b|当 t=|222bbabba时,|a+tb|最小 2 b(a+tb)=ab|2bbab=0 b 与 a+tb 垂直 22 如图，AD、BE、CF 是ABC 的三条高，求证：AD、BE、CF 相交于一点。证：设 BE、CF 交于一点 H，AB=a,AC=b,AH=h,C A B D a b A B C D E F H 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！=Word 行业资料分享-可编辑版本-双击可删=则BH=h a,CH=h b,BC=b a BHAC,CHAB 0)()()(0)(0)(abhabhbahaahbah AHBC 又点 D 在 AH 的延长线上，AD、BE、CF 相交于一点 23 已知 O 为ABC 所在平面内一点，且满足|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2=|OC|2+|AB|2，求证：ABOC 证：设OA=a,OB=b,OC=c,则BC=c b,CA=a c,AB=b a 由题设：OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2，化简：a2+(c b)2=b2+(a c)2=c2+(b a)2 得：cb=ac=ba 从而ABOC=(b a)c=bc ac=0 ABOC 同理：BCOA,CAOB 四十、作业：教学与测试P156 49 P158 47 第十七教时 教材：正弦定理 目的：要求学生掌握正弦定理，并能应用解斜三角形，解决实际问题。过程：一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。那么斜三角形怎么办？提出课题：正弦定理、余弦定理 二、1特殊情况：直角三角形中的正弦定理：sinA=ca sinB=cb sinC=1 即：c=Aasin c=Bbsin c=Ccsin Aasin=Bbsin=Ccsin 2能否推广到斜三角形？证明一（传统证法）在任意斜 ABC 当中：A B C O C B A c a b 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！=Word 行业资料分享-可编辑版本-双击可删=SABC=AbcBacCabsin21sin21sin21 两边同除以abc21即得：Aasin=Bbsin=Ccsin 3用向量证明：证二：过 A 作单位向量j垂直于AC AC+CB=AB 两边同乘以单位向量j j(AC+CB)=jAB 则：jAC+jCB=jAB|j|AC|cos90+|j|CB|cos(90C)=|j|AB|cos(90A)AcCasinsin Aasin=Ccsin 同理：若过 C 作j垂直于CB得：Ccsin=Bbsin Aasin=Bbsin=Ccsin 当ABC 为钝角三角形时，设 A90 过 A 作单位向量j垂直于向量AC 4突出几点：1正弦定理的叙述：在一个三角形中。各边和它所对角的正弦 比相等，即：Aasin=Bbsin=Ccsin它适合于任何三角形。2可以证明Aasin=Bbsin=Ccsin=2R （R 为ABC 外接圆半径）3 每个等式可视为一个方程：知三求一 三、正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题：1两角和任意一边，求其它两边和一角；2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。例一、在ABC 中，已知10c A=45 C=30 求 b（保留两个有效数字）解略 见 P128 注意强调“对”例二、在ABC 中，已知20a b=28 A=40 求 B(精确到 1)和 c（保留 两个有效数字）解略 见 P129 注意由Aasin=Bbsin求出 sinB=0.8999 B 角有两解 例三、在ABC 中，已知60a b=50 A=38 求 B(精确到 1)和 c（保留 两个有效数字）解略 见 P129 注意由 ba,得 BA B 必为锐角只有一解与例二比较 A CBj A CBj 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！=Word 行业资料分享-可编辑版本-双击可删=四、小结：正弦定理，两种应用 已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解（见图示）Abasin baAbsin ba ba 一 解 两 解 一解 五、作业：P131 练习 1、2 P132 1、2、3 第十八教时 教材：余弦定理 目的：要求学生掌握余弦定理及其证明，并能应用余弦定理解斜三角形。过程：一、复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题。提出问题：1已知两边和它们的夹角能否解三角形？2在 RtABC 中(若 C=90)有：222bac 在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？二、提出课题：余弦定理 1余弦定理的向量证明：设ABC 三边长分别为 a,b,c AC=AB+BC ACAC=(AB+BC)(AB+BC)=AB2+2ABBC+BC2 =|AB|2+2|AB|BC|cos(180-B)+|BC|2=22cos2aBacc 即：Baccabcos2222 同理可得：Abccbacos2222 Cabbaccos2222 2语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。3强调几个问题：1熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等 2知三求一 3当夹角为 90时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）4变形：bcacbA2cos222 acbcaB2cos222 accbaC2cos222 C B A c a b a a b C A B2 B1 a a b C A B B A C b A B C c a b 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！=Word 行业资料分享-可编辑版本-双击可删=三、余弦定理的应用 能解决的问题：1已知三边求角 2已知三边和它们的夹角求第三边 例一、(P130 例 4)在ABC 中，已知 a=7,b=10,c=6 求 A,B,C（精确到期 1）解略 例二、(P131 例 5)在ABC 中，已知 a=2.730,b=3.696,C=8228解这个三角 形（边长保留四个有效数字，角度精确到期 1）解略 例三、设a=(x1,y1)b=(x2,y2)a与b的夹角为 （0），求证：x1x2+y1y2=|a|b|cos 证：如图：设a,b起点在原点，终点为 A，B 则 A=(x1,y1)B=(x2,y2)AB=ba 在ABC 中，由余弦定理|ba|2=|a|2+|b|22|a|b|cos|ba|2=|AB|2=|(x2-x1,y2-y1)|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2|a|2=x12+y12|b|2=x22+y22(x2-x1)2+(y2-y1)2=x12+y12+x22+y222|a|b|cos x1x2+y1y2=|a|b|cos 即有ab=x1x2+y1y2=|a|b|cos 四、小结：余弦定理及其应用 五、作业：P131 练习 P132 习题 5.9 余下部分 第十九教时 教材：正弦定理和余弦定理的复习教学与测试76、77 课 目的：通过复习、小结要求学生对两个定理的掌握更加牢固，应用更自如。过程：一、复习正弦定理、余弦定理及解斜三角形 二、例一 证明在ABC 中Aasin=Bbsin=Ccsin=2R，其中 R 是三角形外接圆半径 证略 见 P159 注意：1这是正弦定理的又一种证法(现在共用三种方法证明)2.正弦定理的三种表示方法(P159)例二 在任一ABC 中求证：0)sin(sin)sin(sin)sin(sinBAcACbCBa O B A a b 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！=Word 行业资料分享-可编辑版本-双击可删=证：左边=)sin(sinsin2)sin(sinsin2)sin(sinsin2BACRACBRCBAR=sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin2BCACABCBCABAR=0=右边 例三 在ABC 中，已知3a，2b，B=45 求 A、C 及c 解一：由正弦定理得：23245sin3sinsinbBaA B=4590 即b0090；ab=0=90 即 ab；ab090180 3性质 1 5 4运算律 五十、例题：44 已知|a|=5，|b|=8，a 与 b 的夹角为 60，求|a+b|解：ab=|a|b|cos60=5821=20|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2ab=129|a+b|=129 45 求证：|a+b|a|+|b|证：|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2ab=|a|2+|b|2+2|a|b|cos|a|2+|b|2+2|a|b|=(|a|+|b|)2 即：|a+b|a|+|b|46 设非零向量 a、b、c、d，满足 d=(ac)b (ab)c，求证：ad 证：内积 ac 与 ab 均为实数，ad=a(ac)b (ab)c=a(ac)b a(ab)c=(ab)(ac)(ac)(ab)=0 ad 47 已知非零向量 a、b，满足 a b，求证：ba 垂直于 a+b 的充要条件是|a|=|b|证：由题设：ba 与 a+b 均为非零向量 必要性：设 ba 垂直于 a+b，则(ba)(a+b)=0 又：(ba)(a+b)=b2 a2=|b|2|a|2 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！=Word 行业资料分享-可编辑版本-双击可删=|b|2|a|2=0 即：|a|=|b|充分性：设|a|=|b|，则(ba)(a+b)=b2 a2=|b|2|a|2=0 即：(ba)(a+b)=0 (ba)(a+b)5已知 a、b 都是非零向量，且 a+3b 与 7a 5b 垂直，a 4b 与 7a 2b 垂直，求 a 与 b 的夹角。解：由(a+3b)(7a 5b)=0 7a2+16ab 15b2=0 (a 4b)(7a 2b)=0 7a2 30ab+8b2=0 两式相减：2ab=b2 代入或得：a2=b2 设 a、b 的夹角为，则 cos=21222|bbbaba =60 6用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。证：设AB=DC=a,AD=BC=b ABCD 为菱形|a|=|b|ACBD=(b+a)(b a)=b2 a2=|b|2|a|2=0 ACBD 7如图，AD、BE、CF 是ABC 的三条高，求证：AD、BE、CF 相交于一点。证：设 BE、CF 交于一点 H，AB=a,AC=b,AH=h,则BH=h a,CH=h b,BC=b a BHAC,CHAB 0)()()(0)(0)(abhabhbahaahbah AHBC 又点 D 在 AH 的延长线上，AD、BE、CF 相交于一点 五十一、作业：导学创新 第二十六教时 教材：复习五平面向量的数量积的坐标表示、平移 目的：让学生对平面向量的数量积的理解更深刻，尤其在两个非零向量垂直与平行的充要条件的平行上更熟练。过程：五十二、复习：设向量 a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，1数量积的坐标表示：ab=x1x2+y1y2 A B C D E F H C A B D a b 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！=Word 行业资料分享-可编辑版本-双击可删=2关于距离公式 3 五十三、例题：48 已知|a|=3，b=(1,2)，且 ab，求 a 的坐标。解：设 a=(x,y)|a|=3 322 yx 又：ab 1y 2x=0 解之：556553yx 或556553yx 即：a=(556,553)或 a=(556,553)49 设 p=(2,7)，q=(x,3)，求 x 的取值范围使得：p 与 q 的夹角为钝角 p 与 q 的夹角为锐角。解：p 与 q 的夹角为钝角 pq02x2102x210221x即 x(221,+)50 求证：菱形的对角线互相垂直。证：设 B(b1,0)，D(d1,d2)，则AB=(b1,0),AD=(d1,d2)于是AC=AB+AD=(b1,0)+(d1,d2)=(b1+d1,d2)BD=ADAB=(d1 b1,d2)ACBD=(b1+d1)(d1 b1)+d2d2=(d12+d22)b12 =|AD|2 b12=|AB|2 b12=b12 b12=01 ACBD 51 如图：ABCD 是正方形，M 是 BC 的中点，将正方形折起使点 A 与 M 重合，设折痕为 EF，若正方形面积为 64，求AEM 的面积。解：如图，建立直角坐标系，显然 EF 是 AM 的中垂线，N 是 AM 的中点，又正方形边长为 8 M(8,4),N(