《棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》教学设计、导学案、同步练习152901.pdf

欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积教学设计 【教材分析】本节课选自普通高中课程标准数学教科书-必修第二册（人教 A 版）第八章立体几何初步，本节课主要学习棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的表面积、体积公式及其求法，还有简单组合体的体积的求解。教材从分析简单几何体的侧面展开图得到了它们的表面积公式，体现了立体问题平面化的解决策略，这是本节课的灵魂，也是立体几何的灵魂，在立体几何中，要注意将立体问题转化为平面几何问题，在教学中应加以重视。【教学目标与核心素养】课程目标 学科素养 A.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法 B会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积 1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式；2.逻辑推理：推导棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式；3.数学运算：求棱柱、棱锥、棱台及有关组合体的表面积与体积；4.直观想象：棱柱、棱锥、棱台体积之间的关系。【教学重点】：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；【教学难点】：求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积【教学过程】教学过程 教学设计意图 一、复习回顾，温故知新 1.北京奥运会场馆图 通过观看图片及复习初中所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！2.北京奥运会结束后，国家对体育场馆都进行了改造，从专业比赛场馆逐步成为公众观光、健身的综合性体育场馆，国家游泳中心也完成了上述变身，新增了内部开放面积，并建成了大型的水上乐园经营方出于多种考虑，近几年内“水立方”外墙暂不承接商业化广告，但出于长远考虑，决定为水立方外墙订制特殊显示屏，届时“水立方”将重新焕发活力，大放异彩能否计算出“水立方”外墙所用显示屏的面积？3.学生回答下列公式 矩形面积、三角形面积、梯形面积、长方体体积、正方体体积 4.在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？二、探索新知 探究：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？思考 1：棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？侧面展开图是几个矩形，表面积是上下底面面积与侧面展开图的面积的和。思考 2：棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？【答案】棱锥的侧面展开图是几个三角形。表面积是侧面展开图的面比推理的能力。通过思考，得到棱柱的表面积的求法，提高学生的解决问题、分析问题的能力。通过思考，得到棱锥、棱台的表面积的求法，提高学生的解决问题、分析问题的能力。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！积加上底面积。思考 3：棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？【答案】侧面展开图为几个梯形，表面积为侧面几个梯形面积的和再加上上下底面面积。1.结论：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和 例 1.四面体 P-ABCD 的各棱长均为a，求它的表面积。解：因为是正三角形，其边长为a，所以，因此，四面体 P-ABC 的表面积 2.一般棱柱的体积公式也是 V=Sh，其中 S 为底面面积，h 为高（即两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。3.棱锥的体积是与它同底同高的棱柱的体积的三分之一。棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离。思考 4：根据台体的特征，如何求台体的体积？【答案】由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差得到棱台的体积公式。通过例题，熟悉棱柱的表面积的求法，提高学生解决问题的能力。通过思考，推出棱台的体积公式，提高学生的分析、概括问题的能力。通过思考，推出棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系，提高学生的分析、概括问题的能力。PBC22PBC4360sinBC21Sa223434aaSshV31hSSSSVVVDCBAPABCDP)(31欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作 垂线，这点与垂足之间的距离。思考 5：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？例 2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是 0.5cm，公共面 ABCD 是边长为 1cm 的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精准到 0.01m3）？解：由题意知 所以这个漏斗的容积。通过例题巩固棱柱、棱锥的体积求法，提高解决问题的能力。三、达标检测 1判断正误(1)锥体的体积等于底面积与高之积()(2)台体的体积，可转化为两个锥体体积之差()(3)正方体的表面积为 96，则正方体的体积为 64.()【答案】(1)(2)(3)2如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则三棱锥D1ACD的体积是()通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。)(5.05.0113mVDCBAABCD长方体)(615.011313mVABCDP棱锥)(67.03261213mV欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！A.16 B.13 C.12 D1【答案】A【解析】三棱锥D1ADC的体积V13SADCD1D1312ADDCD1D131216.故选 A。3已知高为 3 的棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为 1 的正三角形(如图)，则三棱锥B1ABC的体积为()A.14 B.12 C.36 D.34 答案 D 4把一个棱长为a的正方体，切成 27 个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为 【答案】18a2【解析】原正方体的棱长为a，切成的 27 个小正方体的棱长为13a，每个小正方体的表面积S119a2623a2，所以 27 个小正方体的表面积是23a22718a2.5如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA2，PB3，PC4，求三棱锥PABC的体积V.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！【解析】三棱锥的体积V13Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，PAC作为底面求解 故V13SPACPB13122434.四、小结 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积；2.棱柱、棱锥、棱台的体积。五、作业 习题 8.3 1,2 题 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。【教学反思】本节应多让学生动手，多做几个模型，从而能更好地理解及记忆棱柱、棱锥、棱台的侧面积、体积公式。8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积导学案【学习目标】1.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法；2会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积【教学重点】：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；【教学难点】：求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积【知识梳理】1棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的 2棱柱、棱锥、棱台的体积 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！棱柱的体积公式V (S为底面面积，h为高)；棱锥的体积公式V 。(S为底面面积，h为高)；棱台的体积公式V 其中，台体的上、下底面面积分别为S、S，高为h.【学习过程】一、探索新知 探究：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？思考 1：棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？思考 2：棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？思考 3：棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？1.结论：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和 例 1.四面体 P-ABCD 的各棱长均为a，求它的表面积。2.一般棱柱的体积公式也是 V=Sh，其中 S 为底面面积，h 为高（即两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。3.棱锥的体积是与它同底同高的棱柱的体积的三分之一，即。棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离。思考 4：根据台体的特征，如何求台体的体积？思考 5：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？例 2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是 0.5cm，公共面 ABCD 是边长为 1cm 的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精shV31欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！准到 0.01m3）？【达标检测】1判断正误(1)锥体的体积等于底面积与高之积()(2)台体的体积，可转化为两个锥体体积之差()(3)正方体的表面积为 96，则正方体的体积为 64.()2如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则三棱锥D1ACD的体积是()A.16 B.13 C.12 D1 3 已知高为 3 的棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为 1 的正三角形(如图)，则三棱锥B1ABC的体积为()A.14 B.12 C.36 D.34 4把一个棱长为a的正方体，切成 27 个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！5如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA2，PB3，PC4，求三棱锥PABC的体积V.参考答案：思考 1.侧面展开图是几个矩形，表面积是上下底面面积与侧面展开图的面积的和。思考 2.【答案】棱锥的侧面展开图是几个三角形。表面积是侧面展开图的面积加上底面积。思考 3.【答案】侧面展开图为几个梯形，表面积为侧面几个梯形面积的和再加上上下底面面积。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！例 1.解：因为是正三角形，其边长为a，所以，因此，四面体 P-ABC 的表面积 思考 4.由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差得到棱台的体积公式。棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作 垂线，这点与垂足之间的距离。思考 5.例 2.1.解：由题意知 所以这个漏斗的容积。达标检测 1.【答案】(1)(2)(3)2.【答案】A 【解析】三棱锥D1ADC的体积V13SADCD1D1312ADDCD1D131216.故选 A。3.答案 D 4.【答案】18a2 【解析】原正方体的棱长为a，切成的 27 个小正方体的棱长为13a，每个小正方体的表面积S119a2623a2，所以 27 个小正方体的表面积是23a22718a2.5.【解析】三棱锥的体积V13Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都PBC22PBC4360sinBC21Sa223434aaShSSSSVVVDCBAPABCDP)(31)(5.05.0113mVDCBAABCD长方体)(615.011313mVABCDP棱锥)(67.03261213mV欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，PAC作为底面求解 故V13SPACPB13122434.8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积同步练习 一、选择题 1若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为 5，它的对角线的长分别是 9和 15，则这个棱柱的侧面积是()A130 B140 C150 D160 2若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）A B C D 3长方体的过一个顶点的三条棱长的比是 1：2：3，对角线长为，则这个长方体的体积为（）A6 B12 C24 D48 4 三棱柱中，侧棱长为，则其侧面积为（）A B C D 5（多选题）下列结论中，正确的是（）A.B.在棱柱中，；C.在正棱锥中，；D.棱锥的体积是棱柱体积的三分之一。6.（多选题）如图，直三棱柱中，226233323111ABCABC90BACABACa111160 AA BAAC1190BB Cb3 34ab322ab32 ab2 322ab仅适用于正棱柱。为棱柱侧棱长为底面周长，（其中棱柱侧)SlcclCBAABCABCBABCAVVABCP为斜高）为底面周长，其中侧hcch(21S111ABCABC12AA 1ABBC90ABC欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！侧面中心为O，点E是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是（）A直三棱柱侧面积是 B直三棱柱体积是 C三棱锥的体积为定值 D的最小值为 三、填空题 7如图，长方体的体积是 120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_.8如图所示，在上、下底面对应边的比为 1：2 的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱的平面，记平面分三棱台两部分的体积为（三棱柱），两部分，那么_.9正六棱柱的高为，最长的对角线为，则它的侧面积为_ 10 已知正三棱柱 ABCA1B1C1的高为 6，AB4，点 D 为棱 BB1的中点，则四棱锥 CA1ABD的表面积是_，三棱柱的体积为 。11AAC C1BB42 2131EAAO1AEEC2 21111ABCDABC D1CC11AB1CC11AB EF1V111ABCFEC2V12:V V 5cm13cm欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！四、解答题 11 如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为 4cm，侧棱长都相等，E为BC的中点，高为 PO，且，求该四棱锥的侧面积和表面积 12现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的 4 倍，若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积同步练习答案解析 一、选择题 1若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为 5，它的对角线的长分别是 9和 15，则这个棱柱的侧面积是()A130 B140 C150 D160【答案】D【解析】设直四棱柱中，对角线，因为平面,平面，所以，30OPE1111ABCDABC D119,15ACBD1A A,ABCD AC ABCD1A AAC欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！在中，可得,同理可得，因为四边形为菱形，可得互相垂直平分，所以，即菱形的边长为，因此，这个棱柱的侧面积为，故选 D.2 若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）A B C D【答案】B【解析】解：所求八面体体积是两个底面边长为 1，高为，的四棱锥的体积和，一个四棱锥体积 V1=，故八面体体积 V=2V1=，故选 B 3长方体的过一个顶点的三条棱长的比是 1：2：3，对角线长为，则这个长方体的体积为（）A6 B12 C24 D48【答案】D【解析】长方体的过一个顶点的三条棱长的比是 1：2：3，设三条棱长分别为 k，2k，3k 则长方体的对角线长为=k=2 k=2 长方体的长宽高为 6，4，2 这个长方体的体积为 642=48 故答案为 48 应选 D 1Rt A AC15A A 221156ACACA A221120010 2BDD BD DABCD,AC BD2211()()1450822ABACBDABCD81()4 8 5160SABBCCDDAAA 226233323221221326 23222k2k3k 14 14欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！4 三棱柱中，侧棱长为，则其侧面积为（）A B C D【答案】C【解析】如图，由已知条件可知，侧面和侧面为一般的平行四边形，侧面为矩形.在中，.，点到直线的距离为.故选 C 6（多选题）下列结论中，正确的是（）B.B.在棱柱中，；C.在正棱锥中，；111ABCABC90BACABACa111160 AA BAAC1190BB Cb3 34ab322ab32 ab2 322ab11AA B B11AAC C11BBC CABC90BACABACa2BCa1 122BCC BSa bab矩形111160AA BAAC ABACaB1AA3sin602aa 1 11 132AAC CAA B BSSab四边形四边形322322Sababab侧仅适用于正棱柱。为棱柱侧棱长为底面周长，（其中棱柱侧)SlcclCBAABCABCBABCAVVABCP为斜高）为底面周长，其中侧hcch(21S欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！D.棱锥的体积是棱柱体积的三分之一。【答案】BC【解析】直棱柱的侧面积是底面周长乘以侧棱长，选项 A 错；根据棱锥的体积公式可知选项 B 正确；选项 C 正确；等底等高的棱锥体积是棱柱体积的三分之一，选项 D 错。故选BC。6.（多选题）如图，直三棱柱中，侧面中心为O，点E是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是（）A直三棱柱侧面积是 B直三棱柱体积是 C三棱锥的体积为定值 D的最小值为【答案】ACD【解析】在直三棱柱中，底面和是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为 122+，故 A 正确；直三棱柱的体积为，故 B 不正确；由BB1平面AA1C1C，且点E是侧棱上的一个动点，三棱锥的高为定值，2，故 C 正确；设BEx，则B1E2x，在和中，由其几何意义，即平面内动点（x，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值，由对称可知，当111ABCABC12AA 1ABBC90ABC11AAC C1BB42 2131EAAO1AEEC2 2111ABCABC12AA 1ABBC90ABCABC111ABC22242 211 111 1 212ABCVSAA 1BB1EAAO22114AAOS2221EAA OV132222160,2Rt ABC11Rt EBC1AEEC2211(2)xxE欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！为的中点时，其最小值为，故 D 正确 故选：ACD 三、填空题 7如图，长方体的体积是 120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_.【答案】10.【解析】因为长方体的体积为 120，所以，因为为的中点，所以，由长方体的性质知底面，所以是三棱锥的底面上的高，所以三棱锥的体积.8如图所示，在上、下底面对应边的比为 1：2 的三棱台中，过上底面一边作一1BB22222 21111ABCDABC D1CC1111ABCDABC D1120AB BC CCE1CC112CECC1CC ABCDCEEBCDBCDEBCD1132VAB BC CE111111201032212AB BCCC11AB欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！个平行于棱的平面，记平面分三棱台两部分的体积为（三棱柱），两部分，那么_.【答案】3：4【解析】设三棱台的高为，上底面的面积是，则下底面的面积是，.故答案为：.9正六棱柱的高为，最长的对角线为，则它的侧面积为_【答案】【解析】设正六棱柱的底面边长为，则底面上最长对角线长为，所以由，解得，所以侧面积为.故答案为 10 已知正三棱柱 ABCA1B1C1的高为 6，AB4，点 D 为棱 BB1的中点，则四棱锥 CA1ABD的表面积是_，三棱柱的体积为 。【答案】【解析】正三棱柱的高为 6，四棱锥的表面为等腰三角形，到距离为，1CC11AB EF1V111ABCFEC2V12:V V hS4S174233Vh SSSSh台1123,743VShVShVShSh3:45cm13cm2180cmcma2 cma225213a6a 25 65 6 6180 cma 2180cm2 394 336384AB 1CA ABD1ADC115,2 13ADCDACD1AC25 132 3欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！，梯形的面积为，所以，四棱锥的表面积为，三棱柱的体积为 四、解答题 11 如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为 4cm，侧棱长都相等，E为BC的中点，高为 PO，且，求该四棱锥的侧面积和表面积 【答案】，【解析】如图，在中，E 为 BC 的中点，侧棱长都相等，12现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的 4 倍，若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？112 132 32 392A DCS1AA BD163418214 362CBDS 1136412164 324AACABCSS，1CAA BD186124 32 392 394 3363864433131V2sh30OPE232 cm248 cm2,30OEcmOPERt POE4sin 30OEPEPBPC21,8 cm2PBCPEBC SBC PE2432 cmPBCSS侧2321648 cmS全欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！【答案】【解析】由PO12 m，知O1O4PO18 m.因为A1B1AB6 m，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥PO162224(m3)；正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积 V柱AB2O1O628288(m3)，所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3).故仓库的容积是 312 m3.3312m13211A B13