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正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质【学习目标】【学习目标】1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义；2.理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)。【要点梳理】【要点梳理】要点要点 一：周期函数的定义一：周期函数的定义函数y f(x)，定义域为I，当xI时，都有f(x T)f(x)，其中T是一个非零的常数，则y f(x)是周期函数，T 是它的一个周期.要点诠释：要点诠释：1.定义是对 I 中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足f(x T)f(x)或只差个别的x值不满足f(x T)f(x)都不能说 T 是y f(x)的一个周期.2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.要点要点 二：正弦函数、余弦函数的图象和性质二：正弦函数、余弦函数的图象和性质函数正弦函数 ysinx余弦函数 y=cosx定义域值域奇偶性周期性R-1，1奇函数最小正周期2增区间单调区间kZ ZR-1，1偶函数最小正周期22k，2k22减区间增区间2k，2k减区间2k，2k2k最值点kZ Z对称中心kZ Z对称轴kZ Z要点诠释：要点诠释：2，2k最大值点(2k最小值点(2k32,1)22最大值点2k，1最小值点,1)2k,1(k0k，x k2,0)2x k（1）正弦函数、余弦函数的值域为1,1，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是1,1，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域。（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求相当于求y sin x的单调y sin(x)的单调递增区间时，应先将y sin(x)变换为y sin x再求解，递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域。要点要点 三：正弦型函数三：正弦型函数y Asin(x)和余弦型函数和余弦型函数y Acos(x)(A,0)的性质。的性质。函数y Asin(x)与函数y Acos(x)可看作 是由 正弦函 数y sin x，余弦函 数因此它们的性质可由正弦函数y sin x，余弦函数y cosx类似地得到：y cosx复合而成的复合函数，（1）定义域：R（2）值域：A,A（3）单调区间：求形如y Asin(x)与函数y Acos(x)(A,0)的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x视为一个“整体”，分别与正弦函数y sin x，余弦函数y cosx的 单 调 递 增（减）区 间 对 应 解 出x，即 为 所 求 的 单 调 递 增（减）区 间。比 如：由232kx 2k(k Z)解出x的范围，所得区间即为减区间。222k2x 2k(k Z)解 出x的 范 围 所 得 区 间 即 为 增 区 间，由（4）奇偶性：正弦型函数y Asin(x)和余弦型函数y Acos(x)(A,0)不一定具备奇偶性。对于函数y Asin(x)，当 k(k z)时为奇函数，当 k对于函数y Acos(x)，当 k(k z)时为偶函数，当 k要点诠释：要点诠释：判断函数y Asin(x)，y Acos(x)的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件。（5）周期：函数y Asin(x)及函数y Acos(x)的周期与解析式中自变量x的系数有关，其周期为T 2(kz)时为偶函数；2(kz)时为奇函数。2。（6）对称轴和对称中心与正弦函数y sin x比较可知，当x k2(kz)时，函数y Asin(x)取得最大值（或最小值），因此函数y Asin(x)的对称轴由x k2(kz)解出，其对称中心的横坐标x k(kz)，即对称中心为 k,0(k z)。同理，y Acos(x)的对称轴由x k(kz)解出，对称中心的横坐标由x k要点诠释：要点诠释：2(kz)解出。若xR，则函数y Asin(x)和函数y Acos(x)不一定有对称轴和对称中心。【典型例题】【典型例题】类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域例 1求函数y 2sin2xcosx1的定义域；【解析】为使函数有意义，需满足 2sin2x+cos x10，即 2cos2xcos x10，解得画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示。1 cosx 1。2定义域为x 2k22 x 2k,k Z。33【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围。举一反三：举一反三：【变式 1】求函数y lgsin(cosx)的定义域.【解析】由sin(cosx)0 2k cosx 2k(kZ Z).又-1cosx1，0cosx1.故所求定义域为2k2，2k.2【变式 2】已知f(x)的定义域为0，1)，求f(cosx)的定义域.【思路点拨】求函数的定义域：要使0cosx1，这里的 cosx 以它的值充当角.【解析】0cosx1 2k所求函数的定义域为2k例 2求下列函数的值域：（1）y=|sin x|+sin x；（2）y 2sin2x2 x 2k2，且x 2kk Z.，2k)U(2k，2k，kZ.223，x,；6 6（3）y cosx2。cosx1【解析】（1）y|sin x|sin x 2sin x (sin x 0)，0 (sin x 0)2。3又1sin x1，y0，2，即函数的值域为0，2。（2）6 x 6，0 2x30 sin2x10 2sin 2x。2，330y2。函数的值域为0，2。cosx2cosx111，1cosx1cosx11cosx13当 cos x=1 时，ymin1，22（3）y 函数的值域为,。【总结升华】一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质。举一反三：举一反三：【变式 1】（2015 春 山东菏泽期中）已知x（1）求函数 y=cos x 的值域；（2）求函数y 3sin x4cos x 4的最大值和最小值23223,31115（2）最小值，最大值,1；2342【解析】（1）x,33221当x 时，函数 y=cos x 取最小值cos，332【答案】（1）当 x=0 时，函数 y=cos x 取最大值 cos0=1，函数 y=cos x 的值域为21,1；22（2）化简可得y 3sin x4cos x4 3(1cos x)4cos x4令 cos x=t，由（1）知t代入可得y 3t 4t 1由二次函数的性质可知，当t 当t 21,1；221时，y 取得最小值，33115时，y 取最大值24类型二：正弦函数、余弦函数的单调性类型二：正弦函数、余弦函数的单调性例 3（2015 春 四川阆中市月考）已知函数f(x)2sin(2x6)，xR（1）求 f（0）的值；（2）求函数 f（x）的最大值，并求 f（x）取最大值时 x 取值的集合；（3）求函数 f（x）的单调增区间【思路点拨】（1）根据函数 f（x）的解析式，求得 f（0）的值（2）由条件利用正弦函数的最大值，求得函数f（x）的最大值，并求f（x）取最大值时 x 取值的集合（3）根据正弦函数的增区间求得函数f（x）的单调增区间【答案】（1）1；（2）x k（3）k3时，f（x）取最大值时 x 取值的集合为x|x k3,kZ；,k，kZ63【解析】（1）由函数f(x)2sin(2x（2）当sin(2x此时2x)，xR，可得f(0)2sin()1666)1时，f(x)max 26 2k2，kZ，得x k3，kZf（x）取最大值时 x 取值的集合为x|x k（3）由2k3,kZ2 2x6 2k2，kZ，求得k6 x k3，kZ，f（x）的单调增区间为k,k，kZ63【总结升华】求函数y Asin(x)的单调区间时，应由2k或2k2x 2k2（kZ）3，求得 x 的范围，即为函数的单调区间，这实际上是换元法的x 2k（kZ）22应用举一反三：举一反三：【变式 1】求函数 y=-sin(x+)的单调区间：【答案】y=-|sin(x+)|的图象的增区间为k+，k+减区间为k-，k+.【变式 2】三个数cos4443，444317，sin，cos的大小关系是（）2104317371 cosBcos cos sinAcos sin21042410317731 cosDcos cos sinCcos sin21044210【答案】C类型三：正弦函数、余弦函数的奇偶性类型三：正弦函数、余弦函数的奇偶性例 4判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)sin3x342；1sin xcos2x（2）f(x)。1sin x（3）f(x)lg(sinx 1sin2x)。【解析】（1）xR，f(x)sinf(x)cos3x3243x cos，43(x)3x cos f(x)，443x342为偶函数。函数f(x)sin（2）由 1+sin x0，即 sin x1，x 2k原函数的定义域不关于原点对称，2（kZ），1sin xcos2xf(x)既不是奇函数也不是偶函数。1sin x（3）函数定义域为 R。f(x)lg(sin x 1sin2x)lg1sin x 1sin2x lg(sin x 1sin2x)f(x)，函数f(x)lg(sinx 1sin2x)为奇函数。【总结升华】判断函数奇偶数时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间。如果是，再验证f(x)是否等于 f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。举一反三：举一反三：【变式】关于 x 的函数f(x)=sin(x+)有以下命题：对任意的，f(x)都是非奇非偶函数；不存在，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；存在，使f(x)是奇函数；对任意的，f(x)都不是偶函数.其中一个假命题的序号是_.因为当=_时，该命题的结论不成立.【思路点拨】当=2k，kZ Z 时，f(x)=sinx 是奇函数.当=2(k+1)，kZ Z 时f(x)sin x仍是奇函数.当=2k+22，kZ Z 时，f(x)=cosx，当=2k-，kZ Z 时，f(x)=-cosx，f(x)都是偶函数.所以和都是正确的.无论为何值都不能使f(x)恒等于零.所以f(x)不能既是奇函数又是偶函数.和都是假命题.【解析】，k(kZ Z)；或者，2+k(kZ Z)；或者，2+k(kZ Z)类型四：正弦函数、余弦函数的对称性类型四：正弦函数、余弦函数的对称性【高清课堂：正弦函数、余弦函数的性质【高清课堂：正弦函数、余弦函数的性质 394836394836 例例 1 1】例 5指出下列函数的对称轴与对称中心（1）y sin(x（2）y cos(2x).)；43【解析】（1）令t x4，则y sinx，即 sint的对称轴方程是t k（kZ）42x4 k2（kZ），解得x k4（kZ）。函数y sinx4的对称轴方程是x k4（kZ）。同理，对称中心的横坐标为x4 k，x k4，即对称中心为k,0。4（2）令t 2x3，则y cos2x，即2x k（kZ），cost的对称轴方程是t k（kZ）33解得x k。（kZ）26函数y cos2xk。（kZ）的对称轴方程是x 326同理，对称中心的横坐标为2xZ）。举一反三：举一反三：3 k2，x k5 k5,0（k，即对称中心为212212【变式 1】若f(x)sin xacosx的图象关于直线x 6对称，则 a=_。【答案】3【变式 2】已知函数f(x)asin xbcosx（a，b 为常数，a0，xR）的图象关于直线x 则函数y f4对称，3 x是（）4A偶函数且它的图象关于点（，0）对称B偶函数且它的图象关于点3,0对称23,0对称2C奇函数且它的图象关于点D奇函数且它的图象关于点（，0）对称【答案】D【解析】由题意知f(x)的图象关于x 4对称，f(0)f。2a=b，f(x)2asinx。4f3 x2asin(x)2asin x。4f3 x为奇函数且其图象关于（，0）对称，故选 D。4类型五：正弦函数、余弦函数的周期例 6求下列函数的周期。（1）y sin3x3（2）y cos2x；。6【思路点拨】对于（1），可直接利用公式T 及函数图象得到周期。【答案】（1）2；对于（2），应借助函数y cos2x的周期6|2（2）322。3的 周 期 为 ，而 函 数y cos2x【解析】（1）=3，T（2）函 数y cos2x6的 图 象 是 将 函 数6y cos2x的图象在 x 轴下方的部分对折到 x 轴上方，并且保留在x 轴上方图象而得到的，由此可6知所求函数的周期为T 2。【总结升华】求函数周期的方法大致有三种：（1）函数y Asin(x)或y Acos(x)（A0，0，xR）的周期皆用公式：T 2求解；（2）含绝对值符号的三角函数的周期可依据其图象|得到，如函数y 2sin2x3的周期为T 2，而函数y 2sin2x1的周期为，与函数3y 2sin2x1的周期相同；（3）利用周期函数的定义求函数周期。3举一反三：举一反三：【变式 1】已知函数f(x)sin(x【答案】k|15 k 28,kN【解析】QT k32 4)，使 f(x)的周期在(,)内，求正整数 k.43 326426，k3k3k3解得9 k 9，所以k 15,16,17,18,282所以k的取值为k|15 k 28,kN类型六：正弦函数、余弦函数性质的综合应用类型六：正弦函数、余弦函数性质的综合应用例 7已知f(x)是定义在实数集上的函数，且对任意x 都有f(x2)1 f(x)1 f(x)。（1）求证：f(x)是周期函数；（2）若f(1)23，试求f(2011)的值。【思路点拨】证明函数的周期性，一般都是用定义证明，即f(xT)f(x)，T就是周期。【答案】（1）略（2）3【解析】（1）证明：由已知f(x2)1 f(x)1 f(x)，f(x2)1 f(x)。1 f(x)11 f(x2)1f(x4)f(x2)21 f(x2)1111f(x8)f(x4)4 f(x)1f(x)。f(x)f(x)f(x)1 f(x)，即f(x8)f(x)。f(x4)f(x)是以 8 为周期的函数。（2）f(1)23。由f(x2)1 f(x)1 f(x)f(3)1 f(1)33 3，1 f(1)(13)f(2011)f(25183)f(3)3。【总结升华】（1）证明函数y f(x)是周期函数：一可利用定义f(xT)f(x)（x 为定义域内任意值都成立），则常数 T（T0）为f(x)的周期；二可利用函数的图象判断出函数的周期。（2）周期函数的函数值是当自变量满足x1=nT+x2（nZ，T 为周期），则f(x1)f(x2)。举一反三：举一反三：【变式 1】（2016 江西进贤县月考）已知函数f(x)sin x2asin x5（1）若 xR，有 1f（x）8，求 a 的取值范围；（2）当 f（x）=0 有实数解时，求 a 的取值范围【答案】（1）233（2）a2 或 a2 a；222【解析】（1）令 t=sinx，则原函数变为f(t)t 2at 5，t1，1，其对称轴为 t=aa1 时，函数在 t1，1上单调递增，所以函数值为42a，4+2a因此有42a 131 a 242a 8 f(1)1当1a1 时，有f(a)8 1 a 1f(1)1当 a1 时，函数在 t1，1上单调减函数，有综上42a 13，解得 a 1，242a 833 a 22（2）a1 时，函数在 t1，1上单调递增，所以函数值为42a，4+2a因此有42a 0 a 242a 0 f(a)0当1a1 时，有 a 2或a 2，所以此时无解f(1)0或f(1)042a 0当 a1 时，函数在 t1，1上单调减函数，有，解得 a2，24a 0综上，a2 或 a2