新人教版八年级下册数学--勾股定理教案.pdf
新人教版八年级下册数学第十七章新人教版八年级下册数学第十七章勾股定理教案勾股定理教案勾股定理（一）勾股定理（一）一、教学目标一、教学目标1了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。2培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。3介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。二、教学重点、难点二、教学重点、难点1重点：勾股定理的内容及证明。2难点：勾股定理的证明。三、课堂引入三、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。让学生画一个直角边为 3cm 和 4cm 的直角ABC，用刻度尺量出 AB 的长。以上这个事实是我国古代 3000 多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是 4，那么斜边（弦）的长是 5。再画一个两直角边为 5 和 12 的直角ABC，用刻度尺量 AB 的长。你是否发现 32+42与 52的关系，52+122和 132的关系，即 32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。对于任意的直角三角形也有这个性质吗？完成 23 页的探究，补充下表，你能发现正方形 A、B、C 的关系吗？A 的面积（单位面B 的面积（单位面C 的面积（单位面积）积）积）图 1图 2由此我们可以得出什么结论？可猜想：命题 1：如果直角三角形的两直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么。四、合作探究：四、合作探究：方法 1：已知：在ABC 中，C=90，A、B、DCC 的对边为 a、b、c。求证：a2b2=c2。分析：让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。拼成如图所示，其等量关系为：4S+S小正=S大正abAcB1224ab（ba）=c，化简可证。2发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。勾股定理的证明方法，达 300 余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。方法 2:已知：在ABC 中，C=90，A、B、C 的对边为 a、b、c。求证：a2b2=c2。分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。1baba左边 S=4abc22caaa右边 S=（a+b）2cbc左边和右边面积相等，即1cc4abc2=（a+b）2bbbca2化简可证。abab五、课堂小结五、课堂小结六、六、作业 P28 页习题第 1 题七、教学反思七、教学反思勾股定理（二）勾股定理（二）一、教学目标一、教学目标1会用勾股定理进行简单的计算。2树立数形结合的思想、分类讨论思想。二、重点、难点二、重点、难点1重点：勾股定理的简单计算。2难点：勾股定理的灵活运用。三、课堂引入三、课堂引入复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。四、合作探究四、合作探究问题（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？（2）一个门框的尺寸如图 1 所示若有一块长 3 米，宽 0.8 米的薄木板，问怎样从门框通过？若薄木板长 3 米，宽 1.5 米呢？若薄木板长 3 米，宽 2.2 米呢？为什么？CA1m2mB例：如图2，一个3 米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5 米求梯子的底端B距墙角O多少米？如果梯的顶端A沿墙下滑 0.5 米至C.算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）五、课堂小结五、课堂小结六、六、作业 P28 页习题第 2、5 题七、教学反思七、教学反思OBDACOCOBAD勾股定理（三）勾股定理（三）一、教学目标一、教学目标1会用勾股定理解决较综合的问题。2树立数形结合的思想。二、重点、难点二、重点、难点1重点：勾股定理的综合应用。2难点：勾股定理的综合应用。三、课堂引入三、课堂引入复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。四、合作探究：四、合作探究：分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。如图，已知OA=OBOA=OB，(1)说出数轴上点 A 所表示的数。（2）在数轴上作出作出8对应的点？B1-2-1-4-3AO0123变式训练：在数轴上画出表示3 1,2 2的点。五、课堂小结五、课堂小结六、六、作业 P28 页习题第 6 题七、教学反思七、教学反思勾股定理的逆定理（一）勾股定理的逆定理（一）一、教学目标一、教学目标1体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。2探究勾股定理的逆定理的证明方法。3理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。二、重点、难点二、重点、难点1重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。2难点：勾股定理的逆定理的证明。三、课堂引入三、课堂引入创设情境：怎样判定一个三角形是等腰三角形？怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。四、合作交流：四、合作交流：1、如图 17.2-2，若ABC的三边长a、b、c满足a2 b2 c2，试证明ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程图 17.2-2分析：注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。证明略。2、.此定理与勾股定理之间有怎样的关系？（1）什么叫互为逆命题。（2）什么叫互为逆定理。（3）任何一个命题都有 _，但任何一个定理未必都有 _3.说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗？（1）两直线平行，内错角相等；（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；（3）全等三角形的对应角相等；（4）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。分析：每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。解略。例 1：判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：（1）a 15,b 8,c 17；（2）a 13,b 14,c 15（3）a 7,b 24,c 25；（4）a 1.5,b 2,c 2.5；五、课堂小结五、课堂小结六、六、作业 P34 页习题第 1 题七、教学反思七、教学反思勾股定理的逆定理（二）勾股定理的逆定理（二）一、教学目标一、教学目标1灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。二、重点、难点二、重点、难点1重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。三、课堂引入三、课堂引入创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。四、自学展示四、自学展示:D已知：如图，四边形 ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。A求：四边形 ABCD 的面积。归纳：求不规则图形的面积时，要把不规则图形分析：作 DEAB，连结 BD，则可以证明ABDEDBBCE（ASA）；DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；在DEC 中，3、4、5勾股数，DEC 为直角三角形，DEBC；利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。五、合作探究五、合作探究例 2“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿N一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 海里，“海天”RS号每小时航行 12 海里，它们离开港口一个半小时后相距 30Q海里 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？EP分析：了解方位角，及方位名词；依题意画出图形；依题意可得 PR=121.5=18，PQ=161.5=24，QR=30；因为 242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理 的逆定理，知QPR=90；PRS=QPR-QPS=45。六、课堂小结六、课堂小结让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。七、七、作业 P34 页习题第 3 题八、教学反思八、教学反思勾股定理复习（一）勾股定理复习（一）教学目标教学目标1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.2.勾股定理的应用.3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.重点：掌握勾股定理及其逆定理.难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.一、复习回顾一、复习回顾在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用其知识结构如下：1.勾股定理：(1)直角三角形两直角边的_和等于_的平方就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么一定有：这就是勾股定理(2)勾股定理揭示了直角三角形_之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据a2 c2b2,b2 c2a2,c a2b2,a c2b2,b c2a2勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理2.勾股定理逆定理“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为_.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边 a,b,c(a2+b2=c2)，先构造一个直角边为 a,b 的直角三角形，由勾股定理证明第三边为 c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等，证明定理成立.3.勾股定理的作用：(1）已知直角三角形的两边，求第三边；(2）在数轴上作出表示n（n 为正整数）的点勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想222(3)三角形的三边分别为 a、b、c，其中 c 为最大边，若a b c，则三角形是直角三角形；若a b c，则三角形是锐角三角形；若a b c，则三角形是钝角三角形所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边二、合作交流：二、合作交流：例 1：如果一个直角三角形的两条边长分别是 6cm 和 8cm，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?例 2：如图，在四边形 ABCD 中，C=90，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：ADBD22222例 3：.如图ABC中，C 90，12，CD 1.5，BD 2.5，求AC的长CD12EAB例 4：.如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了mAEBDC四、学习检测：四、学习检测：1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是()A7，24，25 B311111，4，5 C3，4，5 D4，7，8222222.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2 倍，那么斜边扩大到原来的()A1 倍 B2 倍 C3 倍 D4 倍3.直角三角形的两直角边分别为 5cm，12cm，其中斜边上的高为（）3060A6cmB85cm Ccm Dcm13134.在ABC中，三条边的长分别为a，b，c，an21，b2n，cn2+1(n1，且n为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角5两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖 8cm，另一只朝左挖，每分钟挖 6cm，10 分钟之后两只小鼹鼠相距（）A50cm B100cm C140cm D80cm6等腰ABC的面积为 12cm2，底上的高AD3cm，则它的周长为7等边ABC的高为 3cm，以AB为边的正方形面积为8一个三角形的三边的比为 51213，它的周长为 60cm，则它的面积是。勾股定理复习勾股定理复习(课时二课时二)教学目标教学目标1.掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题2.经历反思本单元知识结构的过程，理解和领会勾股定理和逆定理重点：掌握勾股定理以及逆定理的应用难点：应用勾股定理以及逆定理考点一、已知两边求第三边考点一、已知两边求第三边1在直角三角形中,若两直角边的长分别为 1cm，2cm，则斜边长为_2已知直角三角形的两边长为 3、2，则另一条边长是_3在数轴上作出表示10的点4已知，如图在ABC 中，AB=BC=CA=2cm，AD 是边 BC 上的高求 AD 的长；ABC 的面积考点二、利用列方程求线段的长考点二、利用列方程求线段的长1如图，铁路上 A，B 两点相距 25km，C，D 为两村庄，DAAB 于 A，CBAB 于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站 E，使得 C，D 两村到 E 站的距离相等，则 E 站应建在离 A 站多少 km 处？DCABE2.如图，某学校（A 点）与公路（直线 L）的距离为 300 米，又与公路车站（D点）的距离为 500 米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校 A 及车站 D 的距离相等，求商店与车站之间的距离考点三、判别一个三角形是否是直角三角形考点三、判别一个三角形是否是直角三角形1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有2.若三角形的三别是 a2+b2,2ab,a2-b2(ab0),则这个三角形是 .3.如图 1，在ABC 中，AD 是高，且AD BDCD，求证：ABC 为直角三角形。考点四、灵活变通考点四、灵活变通1.在 RtABC 中，a，b，c 分别是三条边，B=90，已知a=6，b=10，则边长c=2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7cm2，8cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为_cm23.如图一个圆柱，底圆周长 6cm，高 4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从 A 点爬到 B 点，则最少要爬行 cm4.如图：带阴影部分的半圆的面积是（取 3）BA2685.一只蚂蚁从长、宽都是 3，高是 8 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点，那么它所爬行的最短路线的长是。6.若一个三角形的周长123cm,一边长为33cm,其他两边之差为3cm,则这个三角形是_7.如图：在一个高 6 米，长 10 米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是米。考点五、能力提升考点五、能力提升1.如图，四边形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，1且CEBC你能说明AFE 是直角吗？42.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，你能求出 CD 的长吗？C CD DB BE EA A
