高三数学数列复习教案153226.pdf

欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！1、等差、等比数列的概念 一、考纲要求 1、了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。了解通项公式的意义，了解通项公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式。3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式。二、知识梳理 1数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N*或其子集1，2，3，n的函数 f(n)数列的一般形式为 a1，a2，an，简记为an，其中 an是数列an的第 项 2数列的通项公式 一个数列an的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式 anf(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式 3、数列na的前n项和nS与通项na的关系：11(1)(2)nnnSnaSSn 二、等差数列与等比数列 等差数列 等比数列 文字定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。符号定义 1nnaad 112nnnaaa 1(0)nnaq qa 211(0)nnnnaaaa 分类 递增数列：0d 递减数列：0d 常数数列：0d 递增数列：11010 01aqaq，或，递减数列：11010 01aqaq，或，摆动数列：0q 常数数列：1q 通1(1)()nmaandpnqanm d 11nn mnmaa qa q（0q）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！项 其中1,pd qad 前n项和 211()(1)22nnn aan ndSnapnqn 其中1,22ddpqa 11(1)(1)1(1)nnaqqSqnaq 中项,2a b cbac成等差的充要条件:2,a b cbac成等比的必要不充分条件：主要性质 等和性：等差数列 na 若mnpq则mnpqaaaa 推论：若2mnp则2mnpaaa 2n kn knaaa 12132nnnaaaaaa 即：首尾颠倒相加，则和相等 等积性：等比数列 na 若mnpq则mnpqaaaa 推论：若2mnp则2()mnpaaa 2()n kn knaaa 12132nnna aaaaa 即：首尾颠倒相乘，则积相等 其 它 1、等差数列中连续m项的和，组成的新数列是等差数列。即：232,mmmmmsssss等差，公差为2m d则有323()mmmsss 2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如：14710,a a a a（下标成等差数列）3、,nnab等差，则 2na，21na，nkab，nnpaqb也等差。4、等差数列 na的通项公式是n的一次函数，即：nadnc(0d)等差数列 na的前n项和公式是一个没有常数项的n的二次函数，1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是等比数列。即：232,mmmmmsssss等比，公比为mq。2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如：14710,a a a a（下标成等差数列）3、,nnab等比，则 2na，21na，nka 也等比。其中0k 4、等比数列的通项公式类似于n的指数函数，即：nnacq，其中1acq 等比数列的前n项和公式是一个平移加振幅的n的指数函数，即：(1)nnscqc q 5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！性 质 即：2nSAnBn(0d)5、项数为奇数21n的等差数列有：1snsn奇偶nssaa奇偶中 21(21)nnsna 项数为偶数2n的等差数列有：1nnsasa奇偶，ssnd偶奇 21()nnnsn aa 6、,nmam an则0m na nmss则0()m nsnm,nmsm sn则()m nsmn 证明方法 证明一个数列为等差数列的方法：1、定义法：1()nnaad常数 2、中项法：112(2)nnnaaa n 证明一个数列为等比数列的方法：1、定义法：1()nnaqa常数 2、中项法：11(2,0)nnnnaaana2（）设元技巧 三数等差：,ad a ad 四数等差：3,3ad ad ad ad 三数等比：2,aa aqa aq aqq或 四数等比：23,a aq aqaq 三、课前小题训练 1、在等差数列an中，（1）若12,3ad，则10a_，（2）若 71,8,3da 则1_a。2、数列an为等比数列，2418,8,aa则5_a。3、等差数列an中，已知1251,4,33,_3naaaan则。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！4、在等差数列an中，若345672850,_aaaaaaa则。5、在等比数列an中，若12345630,120,_aaaaaa则。6、已知an是等比数列且15,aa23540_xxa是方程的两个根，则。四、例题分析 题型一、等差、等比数列的判定 1、已知数列an满足下列条件，问数列an能否构成等差数列。（1）naknb（k,b 为常数）（2）ns为数列an的前 n 项和，2nsanbn（a,b 是常数）。2、已知an、bn是项数相同的等比数列，求证nnab是等比数列。3、（1）已知数列 na的前n项和为ns，且111202,2nnnaSSna又 11221,1,2,3nnnnnnsnansasnnsn1求证：是等差数列；数列的前 项和为，已知a求证：数列是等比数列。练习：1、已知数列an满足当 n1 时，1114nnnaaa，且115a，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！（1）求证：数列1na为等差数列。（2）试问12,a a是否是数列an中的项，如果是，是第几项；如果不是，说明理由。2、(09 湖北卷理)已知数列 na的前 n 项和11()22nnnSa（n 为正整数）。令2nnnba，求证数列 nb是等差数列，并求数列 na的通项公式；112213,4,0nnnnnnnnnnnnaadnNaaaanNaaknb k bnNansAnBn A BnNaq qnNan+1n解题回顾：判断或证明数列是等差数列的方法有：定义法：常数是等差数列2中项公式法：2是等差数列通向公式法：是常数是等差数列前 项和公式：是常数是等差数列判断或证明数列是等比数列的方法a1定义法：是不为 的常数，是等比数列a2通 111,00,110,11nnnnnnncqc qnNanNaaansqkqkqqakqqaqn2n+1nn+2 nn+1n+2向公式法：a均是不为 的常数，是等比数列3中项公式法：aa aa aa，是等比数列4前 项和公式：是不为零的常数，且是等比数列 题型二：等差、等比数列中基本量的计算 1、已知一个等比数列an中，1345510,4aaaa求其通项公式及第 4 项。2、（1）在等差数列an中，已知51210,31,aa求数列an的通项公式。（2）设各项均为正数的数列an，bn满足15,5,5nnnaba成等比数列，11lg,lg,lgnnnbab成等差数列且1121,2,3,aba求证：数列 nb为等差数列；求na和nb。练习：1、（09 辽宁文）已知 na为等差数列，且7a24a1,3a0,则公差 d_ 2、（09 安徽文）已知为等差数列，则等于_。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！3、(09 广东文)已知等比数列na的公比为正数，且3a9a=225a，2a=1，则1a=_。4、（09 全国理）设等差数列 na的前n项和为nS，若972S,则249aaa=。5.(09 湖北卷理)已知数列 na的前 n 项和11()22nnnSa（n 为正整数）。（）令2nnnba，求证数列 nb是等差数列，并求数列 na的通项公式；6、（09 全国卷理）设数列 na的前n项和为,nS 已知11,a 142nnSa（I）设12nnnbaa，证明数列 nb是等比数列（II）求数列 na的通项公式。题型三、等差、等比数列的综合运用题 3、有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两数的和为 21，中间两数的和为 18，求这四个数。解：法 1、可设所求的四个数为2,.xdxd x xdx由题意，22118xdxdxxdx 解得：27124,692xxdd 或所以所求的四个数为 3，6，12，18；或75 45 27 9,4444 法 2、可设四个数为227184,18,21,.452 18214xyxyx yyxyyxyx=3则得或y=6 所以所求的四个数为：3，6，12，18；或75 45 27 9,4444 2、等差、等比数列的求和公式 一、考纲要求：掌握等差、等比数列前 n 项和的公式。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！二、知识梳理：见前一节 三。、课前小题训练 1、（09 湖南卷文）设nS是等差数列 na的前 n 项和，已知23a，611a，则7S等于_。2、（09 江西卷文）公差不为零的等差数列 na的前n项和为nS.若4a是37aa与的等比中项,832S,则10S等于_。3、（09 宁夏海南卷理）等比数列 na的前 n 项和为ns，且 41a，22a，3a成等差数列。若1a=1，则4s=_。4、（09全 国 卷 理）设 等 差 数 列 na的 前n项 和 为nS，若972S,则249aaa=。5、（09 浙江文）设等差数列 na的前n项和为nS，则4S，84SS，128SS，1612SS成等差数列类比以上结论有：设等比数列 nb的前n项积为nT，则4T，6、（09 宁夏海南卷文）等比数列na的公比0q,已知2a=1，216nnnaaa，则na的前 4 项和4S=三、例题分析 题型一、已知等差、等比数列的前 n 项的和，求其基本量 1、已知数列na中，1132,22nnmaannNa，前 m 项和152ms ，求1a和m 的值。2、等比数列na中，12134,64,nnaaa a前 n 项和62ns，求项数 n 及公比 q 的值。练习：1、（2009 福建卷理）等差数列 na的前 n 项和为nS，且3S=6，1a=4，则公差 d 等于_。2、等差数列 na中，若4141,aa则前 17 项的和17_s。3、已知等差数列共有 40 项，其奇数项的和为 15，偶数项的和为 30，则它的公差 d=_。4、若等比数列 na中11,512,naa 前 n 项的和为341ns ，则公比 q=_,项数 n=_。5、（2009 北京文）若数列 na满足：111,2()nnaaa nN，则5a ；前 8欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！项的和8S _。题型二、已知等差、等比数列的前 n 项和，求通项。1、设等比数列 na的前 n 项和为ns，481,17,ss求通项公式na 2、已知数列 na的前 n 项和为ns是关于正整数 n 的二次函数，其图像上三个点 A,B,C 如图所示。（1）求数列 na的通项公式，并指出 na是否为等差数列，并说明理由。（2）求36933aaaa的值。3、已知正项数列 na，其前 n 和ns满足21056,nnnsaa且1315,a a a成等比数列，求数列 na的通项na。练习：1、（2009 陕西卷文）设等差数列 na的前 n 项和为ns,若6312as,则na .2、（08 宁夏）已知数列 na是一个等差数列，且21a，55a 。（1）求 na的通项na；（2）求 na前 n 项和nS的最大值。3、（07 福建）等差数列 na的前n项和为nS，112a ，393 2S。（I）求数列na的通项na与前n项和为nS；（II）设nnSbn（*nN），求证：数列nb中任意不同的三项都不可能成为等比数列。4.（2009 江 苏 卷）设 na是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列，nS为 其 前n项 和，满 足222223457,7aaaaS。（1）求数列 na的通项公式及前n项和nS；欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！（2）试求所有的正整数m，使得12mmma aa为数列 na中的项。题型三、等差、等比数列和式的混合运用 1、有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两数的和为 21，中间两数的和为 18，求这四个数。2、三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，也可以成等比数列，已知这三个数的积等于 8，求此三数。3、等差、等比数列的求和公式 一、考纲要求 掌握等差、等比数列前 n 项和的公式。二、知识梳理 见前一节 三、课前小题训练 1、已知数列an是等差数列，134,8,aa 则8_s。2、在等比数列an中，131,16,aa 则4_s。3、已知数列an的前 n 项和22,nsnn则_na。4、在等差数列 na中，已知第一项到第十项的和为 310,第 11 项到第 20 项的和为 910，则第 21 项到第 30 项的和为_。5、（2009 宁夏海南卷理）等比数列 na的前 n 项和为ns，且 41a，22a，3a成等差数列。若1a=1，则4s=_。6、na为等差数列，1a+3a+5a=105，246aaa=99，以nS表示 na的前n项和，则使得nS达到最大值的n是_。三、例题分析 题型一、已知等差、等比数列的前 n 项和，求其基本量 1、已知数列an中，112,2nnaannN，32ma，前 m 项和152ms ，求1a和欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！m 的值。2、等比数列an中，12134,64,nnaaa a前 n 项的和ns，求项数 n 及公比 q 的值。练习：1、（2009 江西卷文）公差不为零的等差数列 na的前n项和为nS.若4a是37aa与的等比中项,832S,则10S等于_。.2、（2009 湖南卷文）设nS是等差数列 na的前 n 项和，已知23a，611a，则7S等于_。3、（09 辽宁卷理）设等比数列 na的前 n 项和为nS ，若 63SS=3，则 69SS=4、一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中，偶数项和奇数项和之比为 32:27,则公差d=_ 5、在等差数列 na中，已知816100,392,ss试求24s（在等差数列 na中，已知,pqsq sp pq,则p qs的值为 _。6、（2009 辽宁卷文）等比数列na的前 n 项和为ns，已知1S,3S,2S成等差数列 （1）求na的公比 q；（2）求1a3a3，求ns 题型二、已知等差数列、等比数列的前 n 项和，求通项。1、设等比数列an的前 n 项和为48,1,17ns ss，求通项公式。2、（2009 福建卷文）等比数列 na中，已知142,16aa （I）求数列 na的通项公式；（）若35,a a分别为等差数列 nb的第 3 项和第 5 项，试求数列 nb的通项公式及前n项和nS。练习：1、已知等差数列 na的前 n 项和253nsnn，写出它的前 3 项，并求出这个数列的通项公式。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！2、在等比数列 na中，（1）已知13,2aq，求6a(2)已知3620,160aa，求na 题型三、等差、等比数列的和式的混合运用 1、设数列an是首项为1a，公比为 q 的等比数列，它的前 n 项的和为ns，数列sn能否成等差数列，若能，求出数列sn的前 n 项和nT，若不能，说明理由。2：已知na是等差数列，其中131a，公差8d 。（1）求数列na的通项公式；（2）数列na从哪一项开始小于 0？（3）求数列na前n项和的最大值，并求出对应n的值 变 1、已知na是各项不为零的等差数列，其中10a，公差0d，若100S,求数列na前n项和的最大值 变 2、在等差数列na中，125a，179SS，求nS的最大值 变 3、在等差数列 na中，1583,115aaa，求前 n 项和ns的最小值 3、设ns是首项为 4，公差 d0 的等差数列an的前 n 项的和，若341134ss和的等比中项为515s，问 n 为何值时ns最大。课后练习;1、在等差数列 na中，（1）已知4141aa，求此数列前 17 项的和（2）已知1120a，求此数列前 21 项的和(3)已知该数列前 11 项的和1166s，求第 6 项 2、（江西卷 19）数列 na为等差数列，na为正整数，其前n项和为nS，数列 nb为等比数列，且113,1ab，数列nab是公比为 64 的等比数列，2264b S.（1）求,nna b；欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！4、数列的通项 题型 1、利用11(1)(2)nnnSnaSSn求通项 1：、设数列na的前 n 项和为 Sn=2n2，求数列na的通项公式；2、（2005 北京卷）数列an的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，113nnaS，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数列an的通项公式 3、（2005 山东卷）已知数列 na的首项15,a 前n项和为nS，且*125()nnSSnnN，证明数列1na 是等比数列 练习：（2009 浙江文）（本题满分 14 分）设nS为数列 na的前n项和，2nSknn，*nN，其中k是常数（I）求1a及na；（II）若对于任意的*mN，ma，2ma，4ma成等比数列，求k的值 题型 2、1nnaaf n方法：利用叠加法，121321111,2,1,.nnnnkaafaafaaf naaf k 例1、已知数列 na中1111,3,nnnaaa求na 例2、数列 na满足11211,2nnaaannn，求数列 na的通项。例 3、数列 na满足1111,1nnanaan且，求数列 na的通项。练习：1、已知数列 na中111,2nnaaan nN求通项公式。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！2、在数列 na中，1112,ln 1nnaaan，则_na。1121321111,2,1,.nnnnnnkaa f naa faa faaf naaf k题型2、方法：利用迭代法 1、已知数列 na中111,1nnnaaanNn求通项公式。2、已知数列 na中12,a 前 n 项和为ns，若2,nnsn a求na 1121321,nnaaannn例、数列 a 中，且求数列 a 的通项。练习：1、已知数列 na中111,2nnnaaanN求通项公式。2、已知数列 na中111,nnaananN求通项公式。113,101,11nnnnnapaqp qpqpap aqpqpqapp题型、其中为常数，且，方法：待定系数法，构造一个公比为 的等比数列，令从而是一个公比为 的等比数列。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！1111114112112212121122,22,22122nnnnnnaaaa nnn1n1n例、数列 a 满足，求。解：因为，所以 a是一个公比为 的等比数列，则aa则aa故a。练习、已知数列 na中111,21nnaaanN求通项公式。题型 4、形如1nnnaaa的数列求通项问题，一般用取倒数的方法求解 1、已知数列 na中1121,2nnnaaanNa求通项公式。2、已知数列 na中111,1nnnaaanNna求通项公式。111111151,1nnnnnnnnnnnnnnapaf nppf naappppf nabbbpp题型、，这里 为常数，且方法：上式两边同时除以则。令，有，既为类型，用叠加法解决。1111111171,322,223,33322,3331.22nnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaanaaananbbban例、数列中，求。解：两边同除以得，令利用叠加法及错位相减法的数列求和易得（2009 四川卷文）（本小题满分 14 分）设数列 na的前n项和为nS，对任意的正整数n，都有51nnaS成立，记欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！*4()1nnnabnNa。（I）求数列 na与数列 nb的通项公式；5、数列的求和 一、考纲要求 1能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算；2熟记一些常用的数列的和的公式 二、知识梳理（1）直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意等比时 q=1 和 q1 的讨论。（2）倒序相加法：如果一个数列 na与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法。（3）错位相减法：如果一个数列的各组是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法。（4）分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，或把整个数列分成两部分，使其转化成等差或等比数列，这一求和方法称为分组求和法。（5）裂项相消法：把数列的通项拆分成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆分成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前 n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法（6）公式法求和：所给数列的通项是关于 n 的多项式，此时求和可采用公式法求和。三、课前小题训练 1、写出等差数列 na前 n 项和的公式nS推导的过程：欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！12311111112112311111,21,2,.22,nnnnnnnnnnnnnnnnnsaaaaaadandsaaaaadadandn aasn aasnssaaaaaa qa qa qqqn两式相加，得故这种求和的方法称为倒序相加法。、写出等比数列 a 的前 项和的公式 的推导过程：两边同时乘以则231111111,11,1nnnnnnsa qa qa qa qaqq saa qqsq两式相减，得 1-。当这种求和的方法称为错位相减法。11111 22 33 411111111111122334111nnnsn nsn nnnnnn 13、求数列的前 项和 可用下述方法：1这种求和的方法叫做裂项求和法，请你再写出几个能用这种方法求和的数列，并求出它的和。1111 11111111 33 521 212 13352121111;22121nnnnnnn 122311111121111111111nnndaaaaaandaan1 22 3n n+11 n+1a 是非常数等差数列，求和a aaaaaa a 4、已知数列 na的通项公式21nannN,其前 n 项的和为ns，则数列nsn的前 10欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！项的和为_。5、已知数列 na是首项为 a,公比为 q 的等比数列，则数列1nnaa的前 n 项和nT _。6、在数列 na中，12341,23,456,789 10aaaa ，则10_a。7、数列2232311,12,122,1222,12222,n的前 n 项的和是_。8、222224_1 33 52121nnsnn。四、例题分析 题型一、分组求和法 例 1求下列数列的前n项和nS：（1）5，55，555，5555，5(101)9n，；（2）已知数列 na的通项65()2()nnnnan为奇数为偶数，求其前n项和nS （3）在数列 na中，21nnan ，求10s和99s 练习：1、等比数列的首项为 a，公比为 q，nS为前 n 项和，求123nnTSSSS。2、求数列1111,4,7,3612前 10 项和。题型二、错位相减法 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！1、设数列 na是一个公差不为 0 的等差数列，它的前 10 项的和10110,s且1,24,a a a成等比数列。（1）求数列 na的通项公式。（2）设2nanbn，求数列 nb的前 n 项的和nT。2、(2009 山东卷文)等比数列na的前 n 项和为nS，已知对任意的nN ，点(,)nn S，均在函数(0 xybr b且1,bb r均为常数)的图像上.（1）求 r 的值；（11）当 b=2 时，记 1()4nnnbnNa 求数列 nb的前n项和nT 练习：1、求和:211 23nnsxxnx 2、（2009 全国卷理）在数列 na中，11111,(1)2nnnnaaan （I）设nnabn，求数列 nb的通项公式（II）求数列 na的前n项和nS 题型三、裂项相消法 1、1111,1 3 2 4 3 5(2)n n；2、设正项数列 na的前 n 项和nS满足212nnas，（1）求出通项公式。（2）设11,nnnbaa记数列 nb的前n项和为nT求nT 练习、（1）已知数列 na的通项公式为11nan n，求数列前 n 项和。（2）已知数列 na的通项公式为11nann，求数列前 n 项和。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！题型四、倒序相加法求和 1、设函数 yf x的定义域为 R,其图像关于点1 1,2 2成中心对称，令kkafn，（n 是常数且 n2，nN）1,2,3,1,kn 1kan求数列的前项的和。2、设 122xfx 利用推导等差数列前 n 项和公式的方法，求 54056fffff的值。