利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题150953.pdf

欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题 1设函数 f(x)(1xx2)ex(e2.718 28是自然对数的底数)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 x0 时，f(x)ax12x2恒成立，求实数 a 的取值范围 解：(1)f(x)(2xx2)ex(x2)(x1)ex.当 x1 时，f(x)0；当2x0.所以 f(x)在(，2)，(1，)上单调递减，在(2,1)上单调递增(2)设 F(x)f(x)(ax12x2)，F(0)0，F(x)(2xx2)ex4xa，F(0)2a，当 a2 时，F(x)(2xx2)ex4xa(x2)(x1)ex4x2(x2)(x1)exx2(x2)(x1)ex1，设 h(x)(x1)ex1，h(x)xex0，所以 h(x)在0，)上单调递增，h(x)(x1)ex1h(0)0，即 F(x)0 在0，)上恒成立，F(x)在0，)上单调递减，F(x)F(0)0，所以f(x)ax12x2在0，)上恒成立 当 a0，而函数 F(x)的图象在(0，)上连续且 x，F(x)逐渐趋近负无穷，必存在正实数 x0使得 F(x0)0 且在(0，x0)上 F(x)0，所以 F(x)在(0，x0)上单调递增，此时 F(x)F(0)0，f(x)ax12x2有解，不满足题意 综上，a 的取值范围是2，)2设函数 f(x)2ln xmx21.(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)当 f(x)有极值时，若存在 x0，使得 f(x0)m1 成立，求实数 m 的取值范围 解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x2mx2mx21x，当 m0 时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；当 m0 时，令 f(x)0，得 0 xmm，令 f(x)mm，f(x)在0，mm上单调递增，在mm，上单调递减(2)由(1)知，当 f(x)有极值时，m0，且 f(x)在0，mm上单调递增，在mm，上单调递减 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！f(x)maxfmm2lnmmm1m1ln m，若存在 x0，使得 f(x0)m1 成立，则 f(x)maxm1.即ln mm1，ln mm10)，g(x)11x0，g(x)在(0，)上单调递增，且 g(1)0，0m0，g(x)0.当 a1 时，f(x)0，ag(x)0，不满足不等式 f(x)ag(x)；当 0a1)，令(x)0，得 x1a，当 x 变化时，(x)，(x)的变化情况如下表：x 1，1a 1a 1a，(x)0 (x)极大值 (x)max1a(1)0，不满足不等式 综上所述，实数 a 的取值范围为1，)4已知函数 f(x)axx2xln a(a0，a1)(1)求函数 f(x)的极小值；(2)若存在 x1，x21,1，使得|f(x1)f(x2)|e1(e 是自然对数的底数)，求实数 a 的取值范围 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！解：(1)f(x)axln a2xln a2x(ax1)ln a.当 a1 时，ln a0，函数 y(ax1)ln a 在 R 上是增函数，当 0a1 时，ln a1 或 0a0 的解集为(0，)，f(x)0)，g(a)11a22a11a20，g(a)a1a2ln a 在(0，)上是增函数 而 g(1)0，故当 a1 时，g(a)0，即 f(1)f(1)；当 0a1 时，g(a)0，即 f(1)1 时，f(1)f(0)e1，即 aln ae1.由函数 yaln a 在(1，)上是增函数，解得 ae；当 0a1 时，f(1)f(0)e1，即1aln ae1，由函数 y1aln a 在(0,1)上是减函数，解得 0a1e.综上可知，所求实数 a 的取值范围为0，1ee，)