一元二次方程知识点.pdf
1 1.一元二次方程的定义（重点）一元二次方程的定义（重点），要，要求求:（1 1）会判断某个方程是否为一元二次会判断某个方程是否为一元二次方程方程;（2 2）一元二次方程的一般形式为一元二次方程的一般形式为:2ax bxc 0,a 0会确定方程的各项系数会确定方程的各项系数;（3 3）会将一个一元二次方程化为一般会将一个一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数形式，并指出各项系数;（4 4）会求某个一元二次方程成立的条会求某个一元二次方程成立的条件件;（5 5）知道方程的一个根，知道方程的一个根，会求方程中相会求方程中相关字母的值关字母的值.2 2.解一元二次方程的方法解一元二次方程的方法共有四种方法共有四种方法:（1 1）直接开平方法直接开平方法;（2 2）因式分解法因式分解法;（3 3）配方法配方法;（4 4）公式法公式法.3 3.直接开平方法直接开平方法适用于解形如适用于解形如x b,mxa b的的方程，方程，如果如果b 0，就可以利用直接开平方就可以利用直接开平方法来解法来解.224 4.因式分解法因式分解法适用于将方程化为一般形式后左边能适用于将方程化为一般形式后左边能进行因式分解的方程，具体方法是进行因式分解的方程，具体方法是:（1 1）将方程化为一般形式将方程化为一般形式;（2 2）将方程的左边分解为两个一次因式将方程的左边分解为两个一次因式的乘积的乘积;（3 3）令每一个因式等于令每一个因式等于 0 0，就得到两个一就得到两个一元一次方程元一次方程;（4 4）解两个一元一次方程，解两个一元一次方程，它们的解就是它们的解就是原方程的解原方程的解.5 5.配方法配方法本方法需要与直接开平方法共同求本方法需要与直接开平方法共同求解，具体方法是解，具体方法是:（1 1）将方程化为一般形式将方程化为一般形式;（2 2）方程两边同时除以二次项系数，把方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为二次项系数化为 1;1;（3 3）移项移项:把常数项移到方程的右边把常数项移到方程的右边;（4 4）配方配方:在方程两边各加上一次项系在方程两边各加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平数一半的平方，使左边成为完全平方式方式.（5 5）求解求解:如果方程的右边整理后是非如果方程的右边整理后是非负数，负数，就可以用直接开平方法求解，就可以用直接开平方法求解，若右边是负数，若右边是负数，则表示原方程无解则表示原方程无解.注意注意:使用本方法一定要将方程的使用本方法一定要将方程的二次项系数化为二次项系数化为 1.1.举例举例:二次项系数化为“二次项系数化为“1 1”后，直接进”后，直接进行配方，如下行配方，如下x pxq 0 x px q 22ppx px q 2 2 222xppq.24226 6.公式法公式法使用本方法时要将方程化为一般形使用本方法时要将方程化为一般形式，确定各项系数式，确定各项系数.具体方法是具体方法是:（1 1）一化一化:将方程化为一般形式将方程化为一般形式;（2 2）二二 定定:确确 定定a,b,c的的 值值 及及2 b 4ac的值的值;（3 3）三判三判:根据根据判断方程是否有解判断方程是否有解2若若 b 4ac 0，则方程有两个实，则方程有两个实数解数解;2若若 b 4ac0 0，则方程无解，则方程无解.（4 4）四代四代:将各项系数代入求根公式，将各项系数代入求根公式，7 7.另一种方法另一种方法:换元法换元法bb 4ac求根公式为求根公式为x.2a2本方法常常用来求解高次方程，本方法常常用来求解高次方程，通过换通过换元来达到求解的目的元来达到求解的目的.此类题目如此类题目如:42例例1.1.解方程解方程x x 6 0分析分析本题可设本题可设m的目的的目的.x，从而原方程转化为关于从而原方程转化为关于m的一的一2元二次方程元二次方程m m6 0，通过求解，通过求解m来达到求解来达到求解x2x2x21例例2.2.解方程解方程xx2分析本题可设分析本题可设m x.从而原方程转化为从而原方程转化为x2m m1 0.28 8.根的判别式根的判别式 b 4ac22判别式判别式 b 4ac的符号与一元二次的符号与一元二次方程的解有关方程的解有关:当当 b 4ac0 0 时，方程时，方程2有两个实数根；有两个实数根；当当 b 4ac0 0 时，时，方程方程无解（即无实数根）无解（即无实数根）.2（1 1）当当 b 4ac0 0 时，方程有时，方程有两个不相等的实数根；两个不相等的实数根；2（2 2）当当 b 4ac=0=0 时，方程有时，方程有两个相等的实数根两个相等的实数根.29 9.韦达定理韦达定理韦达定理反映了一元二次方程的根与韦达定理反映了一元二次方程的根与系数之间的关系系数之间的关系.若一元二次方程若一元二次方程ax bxc 0(a 0)2的两根分别为的两根分别为x1,x2，则有，则有b（1 1）x1 x2；acx x 2（2 2）1.a1 10.0.典型例题典型例题2例例1.1.已知已知a b 3a b 112，求，求22a b的值的值.222分析这里可设分析这里可设m a b，原方程化为，原方程化为m3m112，展展开开整整理理得得2m 2m15 0.例例2.2.先用配方法说明先用配方法说明:不论不论x取何值，代数式取何值，代数式2x 6x10的值总大于的值总大于 0 0，再求出当，再求出当x取何取何值时，此代数式的值最小，最小值为多少值时，此代数式的值最小，最小值为多少?2分析代数式分析代数式x 6x10配方后为配方后为:222x31，x3 0，x310 0，即代数式的值大于即代数式的值大于 0.0.2例例3.3.已知关于已知关于x的方程的方程2x 4x3q 0的的一个根是一个根是12，求它的另一个根及，求它的另一个根及q的值的值.分析知道方程的一个根求另一个根，使分析知道方程的一个根求另一个根，使用韦达定理，这里可设另一个根为用韦达定理，这里可设另一个根为m，根据，根据224m12 2韦达定理则有韦达定理则有，即可求，即可求3qm122出出m和和q的值的值.例例4.4.学校计划用地面砖铺设教学楼前矩形学校计划用地面砖铺设教学楼前矩形广场的地面广场的地面 ABCDABCD，已知广场的长为，已知广场的长为 100m,100m,宽为宽为 80m,80m,图案设计如下图所示图案设计如下图所示:广场的四个广场的四个角为正方形，阴影部分为四个矩形，阴影部角为正方形，阴影部分为四个矩形，阴影部分铺绿色地面砖，其余部分铺白色地面砖分铺绿色地面砖，其余部分铺白色地面砖.（1 1）要使铺白色地面砖的面积为要使铺白色地面砖的面积为 52005200 平平方米，那么小正方形的边长为多少米？方米，那么小正方形的边长为多少米？（2 2）如果铺白色地面砖的费用为如果铺白色地面砖的费用为 3030 元每元每平方米，铺绿色地面砖的费用为平方米，铺绿色地面砖的费用为 2020 元每平元每平方米，当小正方形的边长为多少时，铺广场方米，当小正方形的边长为多少时，铺广场地面的总费用最少？最少费用是多少？地面的总费用最少？最少费用是多少？A AD DB BC C2例例 5.5.已知已知x1,x2是一元二次方程是一元二次方程2x 2x13m 0的两个实数根，且的两个实数根，且x1,x2满足不等式满足不等式x1x22x1 x2 0，求实数，求实数m的取值范围的取值范围.1 11.1.平均增长率问题平均增长率问题平均增长率公式平均增长率公式:，其其中中a为基数，为基数，b为增长后的结果，为增长后的结果，x为增长为增长率，率，n为增长次数为增长次数.例例 6.6.近来房价不断上涨，某所房子近来房价不断上涨，某所房子 20082008 年年价值价值 500500 万元，万元，20102010 年上升到年上升到 720720 万元，万元，若若年平均增长率为年平均增长率为x，则有方程，则有方程.b a1 xn
