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ABC如图：在如图：在Rt ABC中，中，C90，角：角：A+B 90边：边：AC2+BC2=AB2勾股定理勾股定理在直角三角形中，边与角之间有什么关系呢？在直角三角形中，边与角之间有什么关系呢？第1页，本讲稿共62页问题问题1 1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是3030，为使出，为使出水口的高度为水口的高度为35m35m，那么需要准备多长的水管？，那么需要准备多长的水管？这个问题可以归结为，在这个问题可以归结为，在RtABC中，中，C90，A30，BC35m，求，求AB的长的长.ABC 思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？情境探究第2页，本讲稿共62页 根据根据“在直角三角形中，在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边角所对的直角边等于斜边的一半的一半”，即，即ABC 在在RtABC中，中，C90，A30，BC35m，求，求AB的长的长.可得可得 AB=2BC=70m，即需要准备，即需要准备70m长的水管。长的水管。第3页，本讲稿共62页在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么不，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 。ABC50m30mB C 第4页，本讲稿共62页 即在直角三角形中，当一个锐角等于即在直角三角形中，当一个锐角等于45时，时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于与斜边的比都等于 。如图，任意画一个如图，任意画一个RtABC，使使C90，A45，计算，计算A的对边与斜边的比的对边与斜边的比 ，你，你能得出什么结论？能得出什么结论？ABC第5页，本讲稿共62页 综上可知，在一个综上可知，在一个RtABC中，中，C90，一般地，当一般地，当A 取其他一定度数的锐角时，它的对边取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？与斜边的比是否也是一个固定值？当当A30时，时，A的对边与斜边的比都等于的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；是一个固定值；当当A45时，时，A的对边与斜边的比都等于的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值也是一个固定值.第6页，本讲稿共62页探究ABCABC 任意画任意画RtABC和和RtABC，使得，使得CC90，AA ，那么，那么 与与 有什么关系你有什么关系你能解能解释释一下一下吗吗？由于由于CC90，AA 所以所以RtABCRtABC第7页，本讲稿共62页 这就是说，在直角三角形中，当锐角这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定的度数一定时，不管三角形的大小如何，时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的的对边与斜边的比都是一个固定值比都是一个固定值探究第8页，本讲稿共62页 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，我们把锐角，我们把锐角A的对边与的对边与斜边的比叫做斜边的比叫做A的正弦的正弦（sine），记作），记作sinA，即即例如，当例如，当A30时，我们有时，我们有当当A45时，我们有时，我们有ABCcab对边斜边在图中A的对边记作的对边记作aB的对边记作的对边记作bC的对边记作的对边记作c 正 弦 第9页，本讲稿共62页注意注意sinA是一个完整的符号，它表示是一个完整的符号，它表示A的正的正弦，记号里习惯省去角的符号弦，记号里习惯省去角的符号“”；sinA没有单位，它表示一个比值，即直角没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中三角形中A的对边与斜边的比；的对边与斜边的比；sinA不表示不表示“sin”乘以乘以“A”。第10页，本讲稿共62页例例1 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，求，求sinA和和sinB的值的值ABC34 例 题 示 范ABC135(1)(2)试着完成图（试着完成图（2）求求sinA就是就是要确定要确定A的对的对边与斜边的比；边与斜边的比；求求sinB就是要确就是要确定定B的对边与的对边与斜边的比斜边的比第11页，本讲稿共62页练习练习AC35B2、在平面直角平面坐标系中，已知点、在平面直角平面坐标系中，已知点A(3，0)和和B(0，-4)，则，则sinOAB等于等于_.3、在、在RtABC中，中，C=90，AD是是BC边边上的中线，上的中线，AC=2，BC=4，则，则sinDAC=_.4、在、在Rt ABC中中,C=90,则则sin A=_.1、如图，求sinA和sinB的值第12页，本讲稿共62页5.在在RtABC中，中，C=90，a=1，c=4，则，则sinA的（的（）ABAB7.如图：在如图：在RtABC中，中，C=90，AB=10，sinB=，BC的长是的长是 6.若若sin（65-A)=,则则A=208第13页，本讲稿共62页O8、如图2：P是平面直角坐标系上的一点，且点P的坐标为（3,4），则sin =P(3,4)A第14页，本讲稿共62页9、如图，在、如图，在ABC中，中，AB=CB=5，sinA=，求求ABC 的面积。的面积。BAC55第15页，本讲稿共62页1010.在在RtABCRtABC中，锐角中，锐角A A的对边和斜边同时扩大的对边和斜边同时扩大 100 100倍，倍，sinAsinA的值（的值（）A.A.扩大扩大100100倍倍 B.B.缩小缩小 C.C.不变不变 D.D.不能确定不能确定C练一练11.ACB37300则 sinA=_ .12第16页，本讲稿共62页1.1.正弦的定义正弦的定义:3.sinA3.sinA是是AA的函数的函数.ABCA的对边斜边斜边A的对边sinA=2.Sin30=sin45=回味 无穷sin60=4.sinA4.sinA是线段之间的一个比值是线段之间的一个比值 ，sinAsinA没有单位没有单位第17页，本讲稿共62页28.1锐角三角函数（2）余弦余弦 正切正切第18页，本讲稿共62页1 1、sinAsinA是在直角三角形中定义的，是在直角三角形中定义的，A A是锐角是锐角.2 2、sinAsinA是一个比值（数值）是一个比值（数值）.3 3、sinAsinA的大小只与的大小只与A A的大小有关，而与直角三角形的边长无关的大小有关，而与直角三角形的边长无关.如图：在如图：在Rt ABCRt ABC中，中，C C9090，特殊角的正弦函数值特殊角的正弦函数值正弦正弦第19页，本讲稿共62页复习与探究：1.锐角正弦的定义锐角正弦的定义 在 中，A的正弦：的正弦：2、当锐角、当锐角A确定时，确定时，A的对边与斜边的比就随之确定。的对边与斜边的比就随之确定。此时，其他边之间的比是否也随之确定？为什么？此时，其他边之间的比是否也随之确定？为什么？第20页，本讲稿共62页新知探索:1、你能将、你能将“其他边之比其他边之比”用比例的式子表用比例的式子表示出来吗？这样的比有多少？示出来吗？这样的比有多少？2、当锐角、当锐角A确定时，确定时，A的邻边与斜边的比，的邻边与斜边的比，A的对的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？交流并说出边与邻边的比也随之确定吗？为什么？交流并说出理由。理由。方法一：从特殊到一般，仿照正弦的研究过程；方法一：从特殊到一般，仿照正弦的研究过程；方法二：根据相似三角形的性质来说明。方法二：根据相似三角形的性质来说明。第21页，本讲稿共62页 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，ABC斜边c对边a邻边b我们把锐角我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做的邻边与斜边的比叫做A的的 余弦余弦（cosine），记作），记作cosA，即即我们把锐角我们把锐角A的对边与邻边的比叫做的对边与邻边的比叫做A的的 正切正切（tangent），记作），记作tanA，即即第22页，本讲稿共62页rldmm8989889注意注意cosA，tanA是一个完整的符号，它表示是一个完整的符号，它表示A的余弦、正切，记号里习惯省去角的符的余弦、正切，记号里习惯省去角的符号号“”；cosA，tanA没有单位，它表示一个比值，没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中即直角三角形中A的邻边与斜边的比、对的邻边与斜边的比、对边与邻边的比；边与邻边的比；cosA不表示不表示“cos”乘以乘以“A”，tanA不不表示表示“tan”乘以乘以“A”第23页，本讲稿共62页rldmm8989889 对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数。同样地，cosA，tanA也是A的函数。锐角锐角A的正弦、余弦、正的正弦、余弦、正切都叫做切都叫做A的的锐角三角函锐角三角函数数.第24页，本讲稿共62页rldmm8989889ABC6例例1 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，BC=6，求，求cosA和和tanB的值的值第25页，本讲稿共62页rldmm8989889例例2 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，BC=2，AB=3，求求A，B的正弦、余弦、正切值的正弦、余弦、正切值ABC23延伸：延伸：由上面的计算，你能猜想由上面的计算，你能猜想A，B的正弦、余弦值有什么的正弦、余弦值有什么规律吗？规律吗？结论结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的余弦等于它：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的余弦等于它余角的正弦。余角的正弦。第26页，本讲稿共62页rldmm8989889练习课本课本P78 练习练习1，2，3.补充练习补充练习 1、在等腰、在等腰ABC中，中，AB=AC=5，BC=6，求，求sinB，cosB，tanB.ABCD第27页，本讲稿共62页rldmm8989889补充练习补充练习2、如图所示，在、如图所示，在ABC中，中，ACB90，AC=12，AB=13，BCM=BAC，求，求sin BAC和点和点B到直线到直线MC的距离的距离3、如图所示，、如图所示，CD是是RtABC的斜边的斜边AB上的高，上的高，求证：求证：第28页，本讲稿共62页1、如图、如图,在在RtABC中中,锐角锐角A的邻边和斜边同时扩大的邻边和斜边同时扩大100倍倍,tanA的值（的值（）A.扩大扩大100倍倍 B.缩小缩小100倍倍 C.不变不变 D.不能确定不能确定ABCC C2、下图中、下图中ACB=90，CDAB,垂足为垂足为D.指出指出A和和B的对边、邻边的对边、邻边.ABCDBCAC BDAD第29页，本讲稿共62页1.（2011湖州中考）如图，已知在湖州中考）如图，已知在RtABC中，中，C=90，BC=1，AC=2，则，则tanA的值为的值为()A.2 B C D【解析解析】选选B.B.根据正切的函数定义，角根据正切的函数定义，角A A的正切应是它的对边与邻边的的正切应是它的对边与邻边的比，所以比，所以B B是正确，是正确，A A是是B B的正切；的正切；C C和和D D都错都错第30页，本讲稿共62页BBAEDC30A2.（2010黄冈中考）在黄冈中考）在ABC中，中，C90，sinA则则tanB（）3.（2010丹东中考）如图，小颖利用有一丹东中考）如图，小颖利用有一个锐角是个锐角是30的三角板测量一棵树的高度，的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离已知她与树之间的水平距离BE为为5m，AB为为1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（么这棵树高是（）第31页，本讲稿共62页B B4 4（20102010怀化中考）在怀化中考）在RtABCRtABC中，中，C=90C=90，sinA=sinA=则则cosBcosB的值等于（的值等于（）第32页，本讲稿共62页5.5.（20102010东阳中考）如图，为了测量河两岸东阳中考）如图，为了测量河两岸A.BA.B两点的距离，两点的距离，在与在与ABAB垂直的方向点垂直的方向点C C处测得处测得ACACa a，ACBACB，那么，那么ABAB等于（等于（）A.asinA.asin B.atan B.atan C.acosC.acos D.D.ABCa【解析解析】选选B.B.在在RtABCRtABC中，中，tan=tan=所以所以AB=aAB=atantan第33页，本讲稿共62页【规律方法规律方法】1.sinA,cosA1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的是在直角三角形中定义的,A,A是锐角是锐角(注意数形结合注意数形结合,构造直角三角形构造直角三角形)；2.sinA,cosA2.sinA,cosA是一个完整的符号是一个完整的符号,表示表示A A的正弦、余弦的正弦、余弦,习惯省习惯省去去“”符号；符号；3.sinA,cosA3.sinA,cosA的大小只与的大小只与A A的大小有关的大小有关,而与直角三角形的边而与直角三角形的边长无关长无关.第34页，本讲稿共62页在在RtABCRtABC中中第35页，本讲稿共62页28.1锐角三角函数（3）第36页，本讲稿共62页rldmm8989889 AB CAA的的对边对边aAA的的邻边邻边b斜边斜边c第37页，本讲稿共62页rldmm8989889 请同学们拿出自请同学们拿出自己的学习工具己的学习工具一一副三角尺，思考并副三角尺，思考并回答下列问题：回答下列问题：1、这两块三角尺各有几个锐角？它们分别等于多少度？、这两块三角尺各有几个锐角？它们分别等于多少度？2、每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系？如果、每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系？如果设每块三角尺较短的边长为设每块三角尺较短的边长为1，请你说出未知边的长，请你说出未知边的长度。度。306045121145第38页，本讲稿共62页新知探索新知探索:30:30角的三角函数值角的三角函数值sin30=cos30=tan30=第39页，本讲稿共62页rldmm8989889cos45=tan45=sin45=新知探索新知探索:45:45角的三角函数值角的三角函数值第40页，本讲稿共62页sin60=cos60=tan60=新知探索新知探索:60:60角的三角函数值角的三角函数值第41页，本讲稿共62页rldmm898988930、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角锐角a三角函数三角函数304560sin acos atan a第42页，本讲稿共62页rldmm8989889例例1 求下列各式的值：求下列各式的值：（1）cos260sin260（2）第43页，本讲稿共62页rldmm8989889求下列各式的值：第44页，本讲稿共62页rldmm8989889例例2 （1）如图，在）如图，在RtABC中，中，C90，求求A的度数的度数ABC第45页，本讲稿共62页rldmm8989889（2）如图，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的 倍，求 a ABO 当当A，B为锐角为锐角时，若时，若AB，则，则sinAsinB,cosAcosB,tanAtanB.第46页，本讲稿共62页rldmm8989889 1、在、在RtABC中，中，C90，求求A、B的度数的度数BAC第47页，本讲稿共62页rldmm89898892 2、求适合下列各式的锐角、求适合下列各式的锐角第48页，本讲稿共62页rldmm8989889ABCD4、如图、如图,ABC中中,C=900,BD平分平分ABC,BC=12,BD=,求求A的度数及的度数及AD的长的长.第49页，本讲稿共62页rldmm8989889小结:我们学习了我们学习了30,45,60这几类特这几类特殊角的三角函数值殊角的三角函数值 第50页，本讲稿共62页rldmm8989889作业作业课本课本P82 第第3题题同步练习同步练习P51-52（四）（五）（四）（五）第51页，本讲稿共62页28.1锐角三角函数（4）第52页，本讲稿共62页rldmm8989889 DABE1.6m20m42C引例引例 升国旗时，小明站在操场上离国旗升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼。当处行注目礼。当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为42（如图所示），（如图所示），若小明双眼离地面若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆，你能帮助小明求出旗杆AB的高度的高度吗？吗？这里的这里的tan42是多少呢？是多少呢？第53页，本讲稿共62页rldmm8989889 前面我们学习了前面我们学习了特殊角特殊角304560的三角函数的三角函数值，一些值，一些非特殊角非特殊角(如如175689等等)的三角函数值的三角函数值又怎么求呢？又怎么求呢？这一节课我们就学习这一节课我们就学习借助计算器借助计算器来完成这来完成这个任务个任务.第54页，本讲稿共62页rldmm89898891、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：（1）我们要用到科学计算器中的键：）我们要用到科学计算器中的键：sincostan（2）按键顺序）按键顺序如果锐角恰是整数度数时，以如果锐角恰是整数度数时，以“求求sin18”为例，按键顺序如下：为例，按键顺序如下：按键顺序按键顺序 显示结果显示结果sin18sin18sin180.309 016 994 sin18=0.309 016 9940.31第55页，本讲稿共62页rldmm89898891、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：如果锐角的度数是度、分形式时，以如果锐角的度数是度、分形式时，以“求求tan3036”为例，按键顺序如下：为例，按键顺序如下：方法一：方法一：按键顺序按键顺序显示结果显示结果tan3036tan3036tan30360.591 398 351 tan3036=0.591 398 3510.59方法二：方法二：先转化，先转化，3036=30.6,后仿照后仿照 sin18的求法。的求法。如果锐角的度数是度、分、秒形式时，依照上面的方法一求如果锐角的度数是度、分、秒形式时，依照上面的方法一求解。解。第56页，本讲稿共62页rldmm8989889（3）完成引例中的求解：）完成引例中的求解：tan2042+1.619.608 080 89 AB=19.608 080 8919.61m即旗杆的高度是即旗杆的高度是19.61m.第57页，本讲稿共62页rldmm8989889练习:使用计算器求下列锐角的三角函数值.（精确到0.01）（1）sin20，cos70；sin35，cos55；sin1532，cos7428；（2）tan38，tan802543；（3）sin15+cos61tan76.第58页，本讲稿共62页rldmm8989889按键的顺序按键的顺序显示结果显示结果SHIFT20917.301507834sin7=已知三角函数值求角度，要用到已知三角函数值求角度，要用到sin，Cos，tan的第二功的第二功能键能键“sin Cos，tan”键例如：已知键例如：已知sin0.2974,0.2974,求锐角求锐角按健顺序为：按健顺序为：如果再按如果再按“度分秒健度分秒健”就换算成度分秒，就换算成度分秒，即即 17o185.43”2、已知锐角的三角函数值，求锐角的度数：第59页，本讲稿共62页rldmm8989889例例 根据下面的条件，求锐角根据下面的条件，求锐角的大小（精确到的大小（精确到1 1）（1）sin=0.4511；（；（2）cos=0.7857；（3）tan=1.4036.w按键盘顺序如下按键盘顺序如下:按键的顺序按键的顺序显示结果显示结果26260 048485151”0.sin115=4SHIFT即即 2604851”第60页，本讲稿共62页rldmm8989889驶向胜利的彼岸练习:1、已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：（1）sinA=0.627 5，sinB=0.054 7；（2）cosA=0.625 2，cosB=0.165 9；（3）tanA=4.842 5，tanB=0.881 6.第61页，本讲稿共62页rldmm89898892、已知、已知tanA=3.1748，利用计算器求锐角，利用计算器求锐角A的度数。的度数。(精确到精确到1)答案答案:A7252练习练习:3、已知锐角、已知锐角a的三角函数值，使用计算器求锐角的三角函数值，使用计算器求锐角a（精确到（精确到1）（1）sin a=0.2476；（；（2）cos a=0.4；（；（3）tan a=0.1890.答案答案:(1)1420;(3)1042.(2)6520;第62页，本讲稿共62页