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电工电子学讲义第1页，本讲稿共47页而且 频率 ,单位 Hz或KHz,MHz 相位 周期 一.频率与周期图3-2图3-2所示正弦波可写成如下三角函数表示式式中Um 幅值，又称峰值角频率,单位初相位第2页，本讲稿共47页 瞬时值正弦量在任一瞬时的值；一般用小写表示，如i,u,e。幅值 瞬时值中最大的值，又称为最大值，或称峰值。一般用带下标m的大写字母表示，如Um,Im,Em。有效值有效值是正弦交流电的一个等效电压(电流)值。它是指当正弦交流电通过某电阻R产生的热量，如果与直流电I通过同一电阻产生的热量相等时，则这个直流电流 I 称为该交流电 i的有效值，如图3-3所示。二.幅值与有效值图3-3第（19）页第3页，本讲稿共47页由于正弦交流电i在一个周期T中产生的电阻热量为直流电流I在一个周期中产生的热量为根据上述定义，当两者热量相等时，可得到该正弦交流电的电流有效值为由于 则代入上式同理，正弦电压的有效值为 按规定有效值都用大写字母表示，如市电220V或工业用电380V，都是电力电压的有效值。第4页，本讲稿共47页三.初相位例3-1 已知 电力电压220V,50Hz,写出它的瞬时电压表示式。则正弦量的相位 记时起点t=0,这时的相位角称为初相位。例如图3-4中有三个正弦波，波形初相位 ；以波形为参考，波形的初相位 (超前)；而波形的初相位 (滞后)。图3-4由于第5页，本讲稿共47页在图3-5中电压的表达式 初相位为零,电流 i1初相位 ，电流 i2初相位 ，两个电流之间的相位差如果，i1和 i2相位相同，简称同相；如果180，i1和i2相位相反，简称反相；如果90，称 i1和 i2正交。注意：相位是一个相对的量。因此讨论相位问题必须设定相位的 参考。一般常以激励信号为参考相位，令其初相位为零。由于正弦稳态分析时，电路中的激励和响应是同频率的正 弦时间函数，因此分析电路时，表示各正弦电流(或电压)特征的是其有效值和初相位。图3-5第6页，本讲稿共47页图3-6(注:该图在P.28)表明正弦波形和旋转有向线段的关系。设有一正弦量 ,其波形如图3-6右边所示，左边是一旋转有向线段。有向线段的长度等于正弦量的幅值Um,它的初始位置(t=0时的位置)与横轴正方向之间的夹角等于正弦量的初相位 ，并以正弦量的角频率 作逆时针方向旋转。这样，正弦量在一.用旋转有向线段表示正弦量3.2 正弦量的相量表示正弦量除了采用三角函数式表示，或者用正弦波形图来表示外，还可以用相量来表示。相量表示法的基础是复数，即用复数表示正弦量。要将两个正弦量相加或相减时，这种方法将使计算简便而又形象。第（20）页第7页，本讲稿共47页频率的正弦量，正弦量对时间的导数或积分也仍为同一频率的正弦量，它们之间的差别仅在于幅值与初相位不同。因此,通常只用初始位置(t=0)的有向线段来表示一个正弦量，它的长度等于正弦量的幅值，它与横轴正方向间的夹角等于正弦量的初相位，如图3-7所示。但是我们应该具有这样的某时刻的瞬时值就可以由这个旋转有向线段于该瞬时在纵轴上的投影表示出来。例如，在t=0时，,在t=t1时，.照图3-6的方法画旋转有向线段来表示正弦量是繁琐的。事实上，在正弦信号的激励下，电路的响应电流(或电压)总是同频率的正弦量，其次，在分析电路时常遇到加、减、求导及积分的问题,而由于同一频率的正弦量之和或差仍为同一第8页，本讲稿共47页则 式(3-1)式(3-1)实际是一种数学变换，即对于任何正弦时间函数，都可以找到如式(3-1)中括号内所表示的与其对应的复指数函数，且该复指数函数完全确定地表征了正弦时间函数的有效值(或最大值)、角频率、初相位三个要素。如前所述，在分析电路激励与响应时,各电量的频率均相同，因此频率不必表示出来，概念：这个有向线段是以正弦量的角频率作逆时针方向旋转的，它在纵轴上的投影表示正弦量的瞬时值。图3-7二.用相量(复数)表示正弦电流、正弦电压的含义及方法正弦电流设一复指数函数中符号 表示取复数的虚部。(3-1)第9页，本讲稿共47页同理，正弦电压 ，用相量表示为 上式中 不仅是一个复数，而且表示了一个正弦量，所以给它一个专有名称相量。代表正弦电流的相量称之为电流相量，用 表示。要注意相量 与正弦电流 i只存在对应关系对应关系,而不是相等关系，它们之间的对应关系由式(3-1)确定。幅值与初相位两个要素就足以表示各电压与电流之间的关系，因此我们约定：用式(3-1)中的复常数 表示正弦电流 ，并用下列记法 (3-2)(3-3)只要有第10页，本讲稿共47页求表示i，u的相量 ，及相位差 ，并作出相量图。例3-1 已知正弦电流、正弦电压分别为解：相量图如图3-8所示，在相量图上可以很直观地看出相互之间的相位关系。图3-8i超前u90度角第（21）页第11页，本讲稿共47页例3-2 已知频率为500Hz的两个正弦电流。表示它们的相量 分别为求电流的瞬时值表达式及画出相量图。解：该正弦电流的角频率为瞬时值表达式为相量图见图3-9，由相量图可以看出i2滞后i1弧度角。图3-9第12页，本讲稿共47页小结一、正弦量常用的表示方法:三角函数式,旋转矢量,复数表示。二、正弦量为什么必须用矢量或复数(即相量)表示?因为正弦交流量不仅有大小而且有相位参数,要同时表示出这二个参数必须采用矢量或复数。三、这种表示方法的优点是什么?可以简化正弦交流电路的分析第13页，本讲稿共47页R例题3333333213321Ii)cos(:i,ii:i:).(60cos(10i).(30cos(5i:jjwww及中的如何求可以写成形式因而一正弦波仍为两个同频率正弦波之和解电流求已知mmtIiiAtAt+=+=+=+=第14页，本讲稿共47页第（22）页第15页，本讲稿共47页Y0XBC14.6A105第16页，本讲稿共47页14.611.16+j9.33复平面第17页，本讲稿共47页第18页，本讲稿共47页3.3电阻元件、电感元件和电容元件本节所讨论的元件，假定都是理想的元件。在直流电路中，电压、电流、功率以及由此产生的电场或磁场都不变。电感元件不存在电动势，电容元件不能通过电流，因此，电感视作短路，电容视作开路。但在交流电路中却不然。电源是交变的，各电量是交变的，因此，电感元件上存在感应电动势，电容元件上将流过电流。一.电阻元件根据欧姆定律，线性电阻上的电压与电流成正比关系，即当电压和电流均用相量表示时，欧姆定律的相量表示式为图3-10第（23）页第19页，本讲稿共47页上式表明，电阻元件上电压和电流的相位相同，如图3-11所示。设电阻元件吸收的瞬时功率为在一个周期内吸收的平均功率为图3-11图3-12是0时,电阻上电压、电流与瞬时功率的波形。图3-12第20页，本讲稿共47页二.电感元件现在来分析一个线性电感元件与正弦电源连接后，这个电感元件电路中电压与电流之间的关系，并讨论该电路中能量的转换和功率问题。假定这个线圈只具有电感L,而电阻R极小，可以忽略不计。当电感线圈中通过交流i时，其中产生自感电动势。设电流i、电动势和电压u的正方向如图3-13(a)所示。根据楞次定律得出图3-13(3-3)设电流为则电压第21页，本讲稿共47页比较上列两式可知，在电感元件电路中，在相位上电流比电压滞后90(相位差90)。电压u为什么比电流I越前90？,这是因为u与i成导数的关系，可由数学推导而得。也可以根据式(3-3)和图3-13(b)这样来理解：电流变化率大，则电压u也大，小，则u也小；时，u为正，时，u为负。也是一个正弦量。表示电压u和电流i的正弦波形如图3-13(b)所示。我们规定：当电流比电压滞后时，其相位差为正；当电流比电压越前时，其相位差为负。(3-4)第22页，本讲稿共47页在式(3-4)中，（3-5）或由此可知，在电感元件电路中，电压的幅值(或有效值)与电流的幅值(或有效值)之比值为 。显然，它的单位为欧姆。当电压一定时，愈大，则电流愈小。可见它具有对交流电流起阻碍作用的物理性质，所以称为感抗，用XL表示，即感抗XL与电感L、频率f成正比。因此，电感线圈对高频电流的阻碍作用很大，而对直流则可视作短路，即对直流讲，XL=0(注意，不是L=0，而是f=0)。当U和L一定时，和I同f的关系表示在图3-14中。应该注意，感抗只是电压与电流的幅值或有效值之比，而不是它们的图3-14第（24）页第23页，本讲稿共47页瞬时值之比，即。与上述电阻电路关系不一样，在这里电压与电流之间成导数关系，而不是成正比关系。如用相量表示电压与电流的关系，则为或(3-7)式(3-7)表示电压的有效值等于电流的有效值与感抗的乘积，在相位上电压比电流越前90。因电流相量乘上算子j后，即向前(逆时针方向)旋转90。电压和电流的相量图如图3-13(c)所示。电感元件上瞬时功率为第24页，本讲稿共47页在电感元件电路中的平均功率由上式可见，p是一个幅值为UI、并以角频率2随时间而变化的交变量，其变化波形如图3-13(d)所示。说明：在电感元件的交流电路中，没有能量消耗，只有电源与电感之间的能量互换。瞬时功率的正负可以这样解释：在第一个和第三个 周期内，电流值在增大，即磁场在建立，电感线圈从电源取用电能，并转换为磁能而存储在线圈的磁场内；在第二个和第四个 周期内，电流值在减小，即磁场在消失，线圈放出原先储存的能量并转换为电能而归还给电源。这是一种可逆的能量转换过程。对于理想电感而言，线圈从电源取用的能量一定等于它归还给电源的能量，故平均功率为零。电源与第25页，本讲稿共47页应当指出，电感元件和后面要讲的电容元件都是储能元件,它们与电源间进行能量互换是工作所需。这对电源来说,也是一种负担。但对储能元件本身来说，没有消耗能量,故命名为无功功率。因此，平均功率也可称为有功功率。电感元件之间这种能量互换的规模，我们用无功功率Q来衡量。我们规定无功功率等于瞬时功率pL的幅值，即无功功率的单位是乏(var)或千乏(kvar)。第26页，本讲稿共47页例3-3把一个0.1H的电感元件接到频率为50Hz、电压有效值为10V的正弦电源上，问电流是多少？如保持电压值不变，而电源频率改变为5000Hz，这时电流为多少？解：当 f=50Hz时，当f=5000Hz时，第（25）页第27页，本讲稿共47页三.电容元件图3-15(a)是一个线性电容元件与正弦电源联结的电路，电路中的电流i和电容器两端的电压u的正方向如图中所示。当电压发生变化时，电容器极板上的电荷量也要随着变化，在电路中就引起电流 图3-15如果在电容器的两端加一正弦电压则电流(3-8)第28页，本讲稿共47页也是一个正弦量。比较上两式可知，在电容元件电路中，在相位上电流比电压越前90(=-90)。表示电压和电流的正弦波形如图3-15(b)所示。在式(3-8)中由此可知，在电容元件电路中，电压的幅值(或有效值)与电流的幅值(或有效值)之比值为,当电压一定时，愈大，则电流愈小。可见它具有对电流起阻碍作用的物理性质，所以称为容抗，用XC代表，即(3-10)容抗XC与电容C、频率f成反比。这是因为电容愈大时，在同样电压下，电容器所容纳的电荷量也就愈大，因而电流愈大。显然，它的单位是欧姆.或(3-9)第29页，本讲稿共47页当频率愈高时，电容器的充电与放电就进行得愈快，在同样电压下，单位时间内电荷的移动量就愈多，因而电流愈大。所以电容元件对高频电流所呈现的容抗很小，是一捷径，而对直流(f=0)所呈现的容抗XC，可视作开路。因此，电容元件有隔断直流的作用。当电压U和电容C一定时，容抗XC和电流I同频率f的关系表示在图3-16中。式(3-11)表示电压的有效值等于电流的有效值与容抗的乘积，而在相位上电压比电流滞后90。因为电流相量乘上算子(-j)后，即向后(顺时针方向)旋转90。电压和电流的相量图如图3-15(c)所示。如用相量表示电压与电流的关系，则为或(3-11)图3-16第30页，本讲稿共47页瞬时功率(3-12)由上式可见，p是一个以的角频率随时间而变化的交变量，它的幅值为UI。p的波形如图3-15(d)所示。在第一个和第三个周期内,电压值在增高，就是电容元件在充电。这时,电容元件从电源取用电能而储存在它的电场中，所以p是正的。在第二个和第四个周期内，电压值在降低，就是电容元件在放电。这时，电容元件放出在充电时所储存的能量，把它归还给电源，所以p是负的。在电容元件电路中，平均功率这说明电容元件是不消耗能量的，在电源与电容元件之间只发生能量的互换。能量互换的规模，用无功功率来衡量，它等于瞬时功率pc的幅值，即(3-13)第（26）页第31页，本讲稿共47页例3-4把一个的电容元件接到频率为50Hz、电压有效值为10V的正弦电源上，问电流是多少？如果保持电压值不变，而电源频率改为5000Hz，这时电流将为多少？可见，在电压值一定时，频率愈高，则通过电容元件的电流愈大。解：当f=50Hz时，当f=5000Hz时，第32页，本讲稿共47页图图3-63-6第33页，本讲稿共47页3.4电阻、电感与电容的串联电路如图3-17所示电路中各元件通过同一电流，电流与电压的正方向如图中所示。第34页，本讲稿共47页根据克希荷夫电压定律，可列出(3-14)(3-15)假设以电流为参考量，同频率的电压相加仍然为同频率的正弦量，故总电压u可以写成(3-16)第（27）页第35页，本讲稿共47页为了求出合成电压的幅值与相位，我们借助于相量法。与公式(3-14)及(3-15)对应的相量形式为或写成令称为该电路的复数阻抗(它不是一个相量，而是一个复数计算量)，则(3-18)(3-17)复数阻抗又可写成式中，复数阻抗的模及第36页，本讲稿共47页复数阻抗的辐角(3-19)式(3-18)又可写为由于以电流为相位参考，故总电压的有效值幅值以上相量关系表示于图3-17(b)。应该注意几点：1.在分析与计算交流电路时必须时刻具有交流的概念，特别是相位的概念。上述电阻、电容与电感的串联，总的电压应等于三个元件上电压的相量和，如果直接写成 那就不对了。第37页，本讲稿共47页2.式(3-18)表明,复数阻抗的实部为“阻”，虚部为“抗”，它表示了串联电路的电压与电流之间的关系，模|Z|反映大小关系，辐角反映相位关系。如果XLXC，电流i比电压u滞后角,这种电路是电感性的；如果XLXC，电流i比电压u超前角，这种电路是电容性的；如果XL=XC，电流i与电压u同相，这种电路是电阻性的。*下面讨论功率问题。瞬时功率这里，平均功率不为零的原因是电阻元件上要消耗电能。平均功率根据图1-17(b)相量图于是（3-20）第38页，本讲稿共47页无功功率上式中括号内取负号是考虑到平均功率又称“有功功率”，而式(3-20)称为“功率因数”。乘积UI称为“视在功率”，用符号S表示，即(3-22)解:(1)现将几种串联电路中交流电压与电流的关系列于表3-1。例3-5在电阻、电感、电容元件相串联的电路中，已知电源电压R=30,L=127mH,C=40F。(1)求感抗、容抗和阻抗；(2)求电流的有效值I与瞬时值i的表示式；(3)求各部分电压的有效值与瞬时值的表示式；(4)作相量图；(5)求功率P和Q。（3-21）相位相反.第（28）页第39页，本讲稿共47页(2)(3)第40页，本讲稿共47页(4)相量图如图3-18所示。图3-18(5)例3-6试用相量(复数)计算上例中的电流。解：显然第41页，本讲稿共47页例3-7有一RC电路图3-19(a)，R=2K，C=0.1F。输入端接正弦信号源，U1=1V,f=500Hz。(1)试求输出电压U2，并讨论输出电压与输入电压间的大小与相位关系;(2)当将电容C改为20F时求(1)中各项；(3)或将频率f改为4000Hz时，再求(1)中各项。解:(1)o58)6.1(22.354.0227.027.077.3177.32.32212222-=-=-=-=W=+=+=arctgarctgRXarctgVIRUmAZUIKXRZCCj图3-19电路图C=0.1ufF=500HZ时相量图第42页，本讲稿共47页(2)电压与电流的相量图如图3-19(c)所示。图3-19电压与电流的相量图如图3-19(b)所示，比越前58。C=20uff=500HZ时相量图C=0.1uff=4000HZ时相量图第（29）页第43页，本讲稿共47页(3)电压与电流的相量图如图电压与电流的相量图如图3-19(d)所示所示,比比 越前越前11.3。第44页，本讲稿共47页3.53.5阻抗的串联与并联阻抗的串联与并联一一.阻抗的串联阻抗的串联图图3-20根据克希荷夫电压定律的相量形式根据克希荷夫电压定律的相量形式式中式中称为串联电路的等效复数阻抗。称为串联电路的等效复数阻抗。第45页，本讲稿共47页其中其中，二二.阻抗的并联阻抗的并联图图3-21根据克希荷夫电流定律的相量形式根据克希荷夫电流定律的相量形式第46页，本讲稿共47页令称为等效复数导纳，式中(3-23)Z是并联电路的等效复数阻抗。则(3-24)式中称为电导，称为感纳，而对于电阻与电感串联的支路，如图3-22所示。称为该支路的导纳。图3-22第（30）页第47页，本讲稿共47页