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第4章 振动第1页，本讲稿共35页第第4章章 振振 动动2第2页，本讲稿共35页一个物理量的取值在某一数值附近作来回往复一个物理量的取值在某一数值附近作来回往复若物体离开某一位置的位移随时间按余弦函数规律若物体离开某一位置的位移随时间按余弦函数规律 振动在空间的传播。振动在空间的传播。波动波动 振动振动4.1 简谐振动简谐振动一、简谐振动的概念一、简谐振动的概念一、简谐振动的概念一、简谐振动的概念 特征参量特征参量特征参量特征参量的变化则称该物理量在振动。的变化则称该物理量在振动。变化，则称该物体作变化，则称该物体作简谐振动简谐振动。演示：演示：心跳心跳弹簧振子弹簧振子自然界的振动自然界的振动演示：演示：波的形成波的形成演示：演示：水平弹簧振子水平弹簧振子谐振动谐振动单摆单摆第3页，本讲稿共35页频率频率()单位时间内所作的全振动的次数单位时间内所作的全振动的次数周期周期(T)完成一次全振动所需的时间。完成一次全振动所需的时间。A(振幅振幅)离开平衡位置的最大位移离开平衡位置的最大位移;(圆频率圆频率)2 秒内所作的全振动次数秒内所作的全振动次数;A，简谐振动的特征参量。简谐振动的特征参量。.(初相位初相位)t=0的位相的位相;(t+)t时刻的位相。时刻的位相。第4页，本讲稿共35页t(s)x(m)00.020.51.0二、简谐振动的几何描述方法二、简谐振动的几何描述方法二、简谐振动的几何描述方法二、简谐振动的几何描述方法1.振动曲线法振动曲线法2.振幅矢量法振幅矢量法x t+AOx A 演示：演示：旋转矢量旋转矢量简谐振动简谐振动第5页，本讲稿共35页求振动方程。解 t=0:例 已知一弹簧振子，振幅为A，频率为,6第6页，本讲稿共35页解解:(1):(1)取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点,谐振动表达式写为：谐振动表达式写为：其中其中A=0.12m,T=2s,初始条件初始条件：t=0,x0=0.06m,可得可得(2)(2)由由(1)(1)求得的简谐振动表达式得求得的简谐振动表达式得:在在t=T/4=0.5s时时，代入所列的表达式可求代入所列的表达式可求!例例:一一物物体体沿沿x轴轴作作简简谐谐振振动动，振振幅幅A=0.12m,周周期期T=2s。当当t=0时时,物物体体的的位位移移x=0.06m,且且向向x轴轴正正向向运运动动。求求:(1):(1)简简谐谐振振动动表表达达式式;(2);(2)t=T/4时时物物体体的的位位置置、速速度度和和加加速速度度;(3);(3)物物体体从从x=-0.06m向向x轴轴负负方方向向运运动动，第第一一次次回回到平衡位置所需时间。到平衡位置所需时间。7第7页，本讲稿共35页(3)(3)当当x=-0.06m时时，该时刻设为该时刻设为t1 1,得得因该时刻速度为负因该时刻速度为负(向向x轴负方向运动轴负方向运动),),应舍去应舍去4 4/3/3，设物体在设物体在t2 2时刻第一次回到平衡位置时刻第一次回到平衡位置(x=0)=0)，相位是相位是3 3/2因此从因此从x=-0.06m处第一次回到平衡位置的时间处第一次回到平衡位置的时间：另解另解：从从t1 1时刻到时刻到t2 2时刻所对应的相差为时刻所对应的相差为：x10 x 振幅矢量的角速度振幅矢量的角速度，t=8第8页，本讲稿共35页整理得：整理得：xOf=-kx一、简谐振动实例一、简谐振动实例4.2 简谐振动的动力学问题简谐振动的动力学问题 例例1 弹簧振子弹簧振子 而而 f=ma fx令常量常量A和和 0由初始条件由初始条件确定；确定；根据初始条件：根据初始条件：t=0 时，时，x=x0,v=v0第9页，本讲稿共35页 lmmg重力的切向分力：重力的切向分力：所以：单摆作小角度摆动，也是谐振动（角谐振动）。所以：单摆作小角度摆动，也是谐振动（角谐振动）。通解为：通解为：例例2 单摆单摆10第10页，本讲稿共35页例例3 复摆复摆O整理得整理得:因此有：因此有：令令 cmg第11页，本讲稿共35页以弹簧振子为例以弹簧振子为例m 24.3 简谐振动的能量简谐振动的能量 第12页，本讲稿共35页谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线:0t0tx13第13页，本讲稿共35页简谐振动的动力学解法简谐振动的动力学解法1.由分析受力出发由分析受力出发(由牛顿定律列方程由牛顿定律列方程)2.由分析能量出发由分析能量出发(将能量守恒式对将能量守恒式对t 求导求导)14第14页，本讲稿共35页解：平衡时解：平衡时0 点为坐标原点。物体运动到点为坐标原点。物体运动到x 处时，处时，速度为速度为v.设此时弹簧的长度为设此时弹簧的长度为L,速度为：速度为：弹簧、物体的动能分别为：弹簧、物体的动能分别为：前提前提:弹簧各等长小段变形相同，位移是线性规律弹簧各等长小段变形相同，位移是线性规律弹簧元弹簧元dl的质量的质量位移为位移为xM0dll例：劲度系数为例：劲度系数为k、质量为质量为m 的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为M 的物体，的物体，在光滑水平面内作直线运动。求解其运动。在光滑水平面内作直线运动。求解其运动。(m 1合振动合振动 x=x1+x2随时间变化很慢可随时间变化很慢可看作合振动的振幅看作合振动的振幅随时间变化较快可随时间变化较快可看作简谐振动的部分看作简谐振动的部分角频率为角频率为(1+2)/2、振幅为、振幅为|2Acos(2-1)t/2|的简的简谐谐振动。振动。合振动可视为合振动可视为:第20页，本讲稿共35页同一直线上同一直线上 不同频率简谐振动合成旋转矢量不同频率简谐振动合成旋转矢量重合：重合：A=A1+A2反向：反向：A=|A1-A2|演示：演示：oxA,拍频拍频:=|2-1|几何法分析几何法分析 2 1 =2-1单位时间内强弱变化的次数。单位时间内强弱变化的次数。音叉拍频音叉拍频忽强忽弱的现象忽强忽弱的现象拍合振动拍合振动21第21页，本讲稿共35页1.两个同频率两个同频率 互相垂直的简谐振动的合成互相垂直的简谐振动的合成（1）三、相互垂直简谐振动的合成三、相互垂直简谐振动的合成xy两个分振动同相位，两个分振动同相位，在任一时刻离开坐标原点位移为：在任一时刻离开坐标原点位移为：第22页，本讲稿共35页（3）xyxyxy（2）（4）两个分运动反相位，两个分运动反相位，这是坐标轴为主轴的椭圆，这是坐标轴为主轴的椭圆，质点的轨迹是顺时针旋转。质点的轨迹是顺时针旋转。与与(3)相同，只是质点相同，只是质点的轨迹沿逆时针旋转。的轨迹沿逆时针旋转。演示：演示：垂直振动的合成垂直振动的合成1同频率垂直振动合成同频率垂直振动合成21同频率垂直振动合成同频率垂直振动合成23演示：演示：第23页，本讲稿共35页几种特殊情况几种特殊情况24第24页，本讲稿共35页两分振动频率相差很小两分振动频率相差很小可看作两频率相等而可看作两频率相等而 随随t缓慢变化，合运动轨迹将按缓慢变化，合运动轨迹将按两振动的频率成整数比、位相差恒定两振动的频率成整数比、位相差恒定轨迹称为轨迹称为2.两个互相垂直的不同频率的简谐振动的合成两个互相垂直的不同频率的简谐振动的合成上页图依次缓慢变化。上页图依次缓慢变化。演示：演示：李莎茹图李莎茹图2341李莎茹图李莎茹图1221演示：演示：李莎茹图李莎茹图1243演示：演示：李萨如图形李萨如图形。25第25页，本讲稿共35页无阻尼自由振动无阻尼自由振动物体在弹性力或准弹性力作用下产生的物体在弹性力或准弹性力作用下产生的阻尼振动阻尼振动:物体在弹性力（或准弹性力）和物体在弹性力（或准弹性力）和阻力阻力作用下产作用下产生的运动。生的运动。阻尼振动的种类：阻尼振动的种类：在阻尼振动中，振动系统所具有的能量将在振动过程中逐在阻尼振动中，振动系统所具有的能量将在振动过程中逐一种是由于介质对振动物体一种是由于介质对振动物体的摩擦阻力，使振动系统的的摩擦阻力，使振动系统的能量能量逐渐变为热运动的能量逐渐变为热运动的能量而而造成能量损失。这称造成能量损失。这称摩擦阻摩擦阻尼尼。另一种是由于振动物体引起邻近质点振另一种是由于振动物体引起邻近质点振动，使振动系统的能量逐渐向四周辐射动，使振动系统的能量逐渐向四周辐射出去，出去，转变为波动的能量转变为波动的能量，而造成系，而造成系统能量损失。这称统能量损失。这称辐射阻尼辐射阻尼。4.5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振 简谐运动。简谐运动。一、一、阻尼振动阻尼振动渐减少。能量损失的原因通常有两种：渐减少。能量损失的原因通常有两种：26第26页，本讲稿共35页弹性力和上述阻力作用下的动力学方程：弹性力和上述阻力作用下的动力学方程：在流体在流体(液体、气体液体、气体)中运动的物体，当物体速度较小时，中运动的物体，当物体速度较小时，阻力阻力 速度，速度，：阻力系数。：阻力系数。称称 0为振动系统的为振动系统的固有角频率固有角频率，称称 为为阻尼系数。阻尼系数。令：令：（1）阻尼较小时，此方程的解：阻尼较小时，此方程的解：第27页，本讲稿共35页这种情况称为这种情况称为欠阻尼欠阻尼。由初始条件决定由初始条件决定A和初相位和初相位 0，设设即有：即有：欠阻尼欠阻尼Otx(t)阻尼振荡阻尼振荡演示：演示：第28页，本讲稿共35页（2）阻尼较大时，方程的解：阻尼较大时，方程的解：其中其中C1,C2是积分常数是积分常数，由初始条件来决定由初始条件来决定，这种情况称这种情况称为为过阻尼过阻尼。欠阻尼下欠阻尼下1.振幅特点振幅特点振幅：振幅：A(t)=Ae-t振幅随振幅随t 衰减。衰减。2.周期特点周期特点严严格格讲讲，阻阻尼尼振振动动不不是是周周期期性性振振动动(更更不不是是简简谐谐振振动动)，但阻尼振动有某种重复性。但阻尼振动有某种重复性。因为位移因为位移x(t)不是不是t 的周期函数。的周期函数。第29页，本讲稿共35页临界阻尼临界阻尼（3），方程的解：，方程的解：其中其中C1,C2是积分常数是积分常数，由初始条件来决定由初始条件来决定，这种情况称这种情况称为为临界阻尼临界阻尼。tx(t)O无振动发生无振动发生。过阻尼过阻尼tx(t)O无振动发生无振动发生。第30页，本讲稿共35页1.谐振子的受迫振动谐振子的受迫振动二、谐振子的受迫振动二、谐振子的受迫振动 共振共振设强迫力设强迫力阻尼力：阻尼力：受迫振动受迫振动:物体在物体在周期性外力周期性外力的持续作用下发生的振动。的持续作用下发生的振动。第31页，本讲稿共35页其解为：其解为：稳态解：稳态解：稳定态时的振幅为：稳定态时的振幅为：第32页，本讲稿共35页满足条件：满足条件：共振的角频率。共振的角频率。共振的振幅。共振的振幅。振幅有极大值：振幅有极大值：2.共振共振求极值求极值第33页，本讲稿共35页 由于共振可能引起巨大的损坏，所以在工程技术由于共振可能引起巨大的损坏，所以在工程技术中防振和减振是一项十分重要的任务。中防振和减振是一项十分重要的任务。据据报报导导，我我国国某某城城市市有有三三栋栋新新建建的的十十一一层层居居民民楼楼经经常常摇摇晃晃，引引起起居居民民的的恐恐慌慌。后后来来发发现现距距居居民民楼楼800米米处处有有一一家家锯锯石石厂厂，四四台台大大功功率率锯锯石石机机的的工工作作频频率率为为 ，恰恰好好等等于于居居民民楼楼的的固有频率，楼的摇晃原来是一种共振现象。固有频率，楼的摇晃原来是一种共振现象。34第34页，本讲稿共35页1940年华盛顿的塔科曼大桥建成。年华盛顿的塔科曼大桥建成。同年同年7月的一场大风引起桥的共振月的一场大风引起桥的共振,桥被摧毁。桥被摧毁。35第35页，本讲稿共35页