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    高等数学(下)知识点总结(共12页).doc

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    高等数学(下)知识点总结(共12页).doc

    精选优质文档-倾情为你奉上主要公式总结第八章 空间解析几何与向量代数1、 二次曲面1) 椭圆锥面:2) 椭球面: 旋转椭球面:3) 单叶双曲面: 双叶双曲面:4) 椭圆抛物面: 双曲抛物面(马鞍面):5) 椭圆柱面: 双曲柱面:6) 抛物柱面:(二) 平面及其方程1、 点法式方程: 法向量:,过点2、 一般式方程:截距式方程:3、 两平面的夹角:, ; 4、 点到平面的距离:(三) 空间直线及其方程1、 一般式方程:2、 对称式(点向式)方程: 方向向量:,过点3、 两直线的夹角:, ; 4、 直线与平面的夹角:直线与它在平面上的投影的夹角, ; 第九章 多元函数微分法及其应用1、 连续:2、 偏导数: ;3、 方向导数: 其中为的方向角。4、 梯度:,则。5、 全微分:设,则(一) 性质1、 函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义122342、 微分法1) 复合函数求导:链式法则 若,则 ,(二) 应用1) 求函数的极值 解方程组 求出所有驻点,对于每一个驻点,令, 若,函数有极小值, 若,函数有极大值; 若,函数没有极值; 若,不定。2、 几何应用1) 曲线的切线与法平面曲线,则上一点(对应参数为)处的切线方程为:法平面方程为:2) 曲面的切平面与法线曲面,则上一点处的切平面方程为: 法线方程为:第十章 重积分(一) 二重积分 :几何意义:曲顶柱体的体积1、 定义:2、 计算:1) 直角坐标, , 2) 极坐标 , (二) 三重积分1、 定义: 2、 计算:1) 直角坐标 -“先一后二” -“先二后一”2) 柱面坐标,3) 球面坐标(三) 应用曲面的面积:第十一章 曲线积分与曲面积分(一) 对弧长的曲线积分1、 定义:2、 计算:设在曲线弧上有定义且连续,的参数方程为,其中在上具有一阶连续导数,且,则(二) 对坐标的曲线积分1、 定义:设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧,函数,在 L 上有界,定义,.向量形式:2、 计算:设在有向光滑弧上有定义且连续, 的参数方程为,其中在上具有一阶连续导数,且,则3、 两类曲线积分之间的关系:设平面有向曲线弧为,上点处的切向量的方向角为:,则.(三) 格林公式1、 格林公式:设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,函数在D 上具有连续一阶偏导数, 则有2、为一个单连通区域,函数在上具有连续一阶偏导数,则 曲线积分 在内与路径无关(四) 对面积的曲面积分1、 定义:设为光滑曲面,函数是定义在上的一个有界函数,定义 2、 计算:“一单二投三代入”,则(五) 对坐标的曲面积分1、 定义:设为有向光滑曲面,函数是定义在上的有界函数,定义 同理, ;2、 性质:1),则计算:“一投二代三定号”,在上具有一阶连续偏导数,在上连续,则,为上侧取“ + ”, 为下侧取“ - ”.3、 两类曲面积分之间的关系:其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。(六) 高斯公式1、 高斯公式:设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成, 的方向取外侧, 函数在上有连续的一阶偏导数, 则有或2、 通量与散度通量:向量场通过曲面指定侧的通量为:散度:(七) 斯托克斯公式1、 斯托克斯公式:设光滑曲面 S 的边界 G是分段光滑曲线, S 的侧与 G 的正向符合右手法则, 在包含å 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:2、 环流量与旋度环流量:向量场沿着有向闭曲线G的环流量为旋度:第十二章 无穷级数(一) 常数项级数1、 定义:1)无穷级数:部分和:,正项级数:,交错级数:,2)级数收敛:若存在,则称级数收敛,否则称级数发散3)条件收敛:收敛,而发散;绝对收敛:收敛。2、 性质:1) 改变有限项不影响级数的收敛性;2) 级数,收敛,则收敛;3) 级数收敛,则任意加括号后仍然收敛;4) 必要条件:级数收敛.(注意:不是充分条件!)3、 审敛法正项级数:,1) 定义:存在;2) 收敛有界;3) 比较审敛法:,为正项级数,且 若收敛,则收敛;若发散,则发散.4) 比较法的推论:,为正项级数,若存在正整数,当时,而收敛,则收敛;若存在正整数,当时,而发散,则发散. 5) 比较法的极限形式:,为正项级数,若,而收敛,则收敛;若或,而发散,则发散.6) 比值法:为正项级数,设,则当时,级数收敛;则当时,级数发散;当时,级数可能收敛也可能发散.7) 根值法:为正项级数,设,则当时,级数收敛;则当时,级数发散;当时,级数可能收敛也可能发散.8) 极限审敛法:为正项级数,若或,则级数发散;若存在,使得,则级数收敛.交错级数:莱布尼茨审敛法:交错级数:,满足:,且,则级数收敛。任意项级数:绝对收敛,则收敛。常见典型级数:几何级数: ; p -级数:(二) 函数项级数1、 定义:函数项级数,收敛域,收敛半径,和函数;2、 幂级数:3、 收敛半径的求法:,则收敛半径 4、 泰勒级数 展开步骤:(直接展开法)1) 求出;2) 求出;3) 写出;4) 验证是否成立。间接展开法:(利用已知函数的展开式)1);2);3);4);5)6)7)8)5、 傅里叶级数1) 定义:正交系:函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间上积分为零。傅里叶级数:系数: 2) 收敛定理:(展开定理)设 f (x) 是周期为2p的周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有3) 傅里叶展开:求出系数:;写出傅里叶级数;根据收敛定理判定收敛性。专心-专注-专业

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