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材料力学弯曲变形1本讲稿第一页，共三十一页例例1 1 钢质细长杆钢质细长杆(1)，两端铰支，长，两端铰支，长l=1.5m，横截面是矩，横截面是矩形截面，形截面，h=50 mm，b=30 mm，材料是，材料是A3钢，弹性模量钢，弹性模量E=200GPa；求临界力和临界应力。；求临界力和临界应力。解：解：(a)判断发生弯曲的方向。判断发生弯曲的方向。由于杆截面是矩形，杆在不同方向弯曲的难易程度由于杆截面是矩形，杆在不同方向弯曲的难易程度不同，即：不同，即：当约束条件相同的情况下，绕当约束条件相同的情况下，绕y轴的弯曲比绕轴的弯曲比绕z轴来的容易；轴来的容易；压杆最易在压杆最易在xz平面内平面内(最小刚度平面最小刚度平面)发生弯曲。发生弯曲。ybhzyPlxz2本讲稿第二页，共三十一页(b)判断欧拉公式的适用范围。因为是细长杆判断欧拉公式的适用范围。因为是细长杆所以可用欧拉公式所以可用欧拉公式(c)计算临界压力。由欧拉公式计算临界压力。由欧拉公式(d)计算临界应力。计算临界应力。对对A3钢钢p200MPa，细长压杆在失稳时，强度，细长压杆在失稳时，强度还是有余的；还是有余的；3本讲稿第三页，共三十一页例例2木柱长木柱长l=7m，横截面是矩形，横截面是矩形，h=200mm，b=120mm；当它在；当它在xz平平面面(最小刚度平面最小刚度平面)内弯曲时，两端视为固定内弯曲时，两端视为固定(=1/2)；当它在；当它在xy平面平面(最最大刚度平面大刚度平面)内弯曲时，两端视为铰支内弯曲时，两端视为铰支(=1)；木材的弹性模量；木材的弹性模量E=10Gpa，1=59；求临界力和临界应力。；求临界力和临界应力。解解:(a)求在求在xz平面内弯曲时的平面内弯曲时的柔度，柔度，两端固定两端固定=0.5bhzyyxz4本讲稿第四页，共三十一页(b)求在求在xy平面内弯曲时的柔度，平面内弯曲时的柔度，两端铰支两端铰支=1(c)判断杆件易在哪个平面内弯曲判断杆件易在哪个平面内弯曲所以易在所以易在xy平面内平面内(最大刚度平面内最大刚度平面内)发生弯曲。发生弯曲。说明绕说明绕z轴的弯曲比绕轴的弯曲比绕y更容易。更容易。bhzyyxz5本讲稿第五页，共三十一页(d)判断欧拉公式的适用范围判断欧拉公式的适用范围所以为大柔度杆，可用欧拉公式。所以为大柔度杆，可用欧拉公式。(e)求临界力和临界应力求临界力和临界应力6本讲稿第六页，共三十一页10.4.3 10.4.3 临界应力总图临界应力总图(各类压杆临界应力的计算各类压杆临界应力的计算)总结：对于总结：对于2的小柔度杆，应按强度问题计算，图中的小柔度杆，应按强度问题计算，图中AB线；线；对于对于1的大柔度杆，可按欧拉公式计算临界应力，图中的大柔度杆，可按欧拉公式计算临界应力，图中CD曲线；对于曲线；对于2 1的中柔度杆，应按经验公式计算临界的中柔度杆，应按经验公式计算临界应力，图中应力，图中BC线。线。DCBA小小柔柔度度杆杆中中柔柔度度杆杆大大柔柔度度杆杆7本讲稿第七页，共三十一页例例10.3两端铰支的压杆，长两端铰支的压杆，长l=1.5m，横截面直径，横截面直径d=50mm，材料是，材料是Q235钢钢(a=304MPa,b=1.12MPa,b=372,s=235)，弹性模量，弹性模量E=200GPa，p=190MPa；求压杆的临界力；如果：；求压杆的临界力；如果：(1)l1=0.75l；(2)l2=0.5l，材料选用优质碳钢，材料选用优质碳钢(s=306)；压杆的临界力变为多大；压杆的临界力变为多大?(2)判别压杆的性质并计算临界力判别压杆的性质并计算临界力:解：解：(1)计算压杆的柔度计算压杆的柔度8本讲稿第八页，共三十一页(a)当当l1=0.75l 时，时，=0.75120=90，而，而 压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力:压杆是大柔度杆，可用欧拉公式计算临界力；压杆是大柔度杆，可用欧拉公式计算临界力；9本讲稿第九页，共三十一页(b)当当l2=0.5l时，时，=0.5120=60，而，而 压杆是小柔度杆，临界应力就是屈服应力；压杆是小柔度杆，临界应力就是屈服应力；10本讲稿第十页，共三十一页习题习题10.6.三根圆截面压杆，直径均为三根圆截面压杆，直径均为d=160mm材料为材料为Q235钢，钢，E=200GPa，p=200MPa，s=240MPa。三杆均为两端铰支，长度。三杆均为两端铰支，长度分别为分别为l1、l2和和l3，且，且l1=2l2=4l3=5m。试求各杆的临界压力。试求各杆的临界压力Pcr。解：解：(1)求柔度极限值求柔度极限值查表得查表得Q235钢：钢：a=304MPa,b=1.12MPa(2)判断柔度，求各杆判断柔度，求各杆的临界压力的临界压力Pcr1杆：杆：可用欧拉公式可用欧拉公式11本讲稿第十一页，共三十一页2杆：杆：3杆：杆：应按强度问题计算应按强度问题计算属于中柔度杆属于中柔度杆12本讲稿第十二页，共三十一页 能够保持压杆在微小弯曲的状态下平衡的最小轴向能够保持压杆在微小弯曲的状态下平衡的最小轴向压力称为压力称为临界压力临界压力。所以，对细长压杆而言，讨论其稳定性的关键就是求所以，对细长压杆而言，讨论其稳定性的关键就是求出它的临界压力或临界压应力。出它的临界压力或临界压应力。对于不同柔度的压杆总可算出它的临界应力。将临对于不同柔度的压杆总可算出它的临界应力。将临界应力乘以压杆横截面面积，就可以得到临界压力。界应力乘以压杆横截面面积，就可以得到临界压力。而临界压力是由压杆的整体变形所确定的，局部削弱而临界压力是由压杆的整体变形所确定的，局部削弱(如螺钉孔等如螺钉孔等)对杆件整体变形影响很小；故无论是用对杆件整体变形影响很小；故无论是用欧拉公式还是经验公式计算时，都可采用未削弱的截欧拉公式还是经验公式计算时，都可采用未削弱的截面面积和惯性矩。面面积和惯性矩。第十章第十章 总总 结结13本讲稿第十三页，共三十一页压杆稳定计算压杆稳定计算1）根据压杆的约束条件确定长度系数）根据压杆的约束条件确定长度系数2）计算杆件自身的柔度）计算杆件自身的柔度(10.7)，判断发生弯曲的平面，判断发生弯曲的平面 （也可由惯性矩来判断最大、最小刚度平面）（也可由惯性矩来判断最大、最小刚度平面）3）通过比较）通过比较的大小，判断计算临界压力的公式的大小，判断计算临界压力的公式作为强度问题计算作为强度问题计算4）由由压杆稳定条件确定载荷或杆件尺寸压杆稳定条件确定载荷或杆件尺寸或或p p用用(10.9)(10.9)s s用用(10.12)(10.12)14本讲稿第十四页，共三十一页例例10.4图示结构中，图示结构中，AB为圆截面杆，直径为圆截面杆，直径d=80mm，A端固定，端固定，B端铰支；端铰支；BC是正方形截面杆，边长是正方形截面杆，边长a=70mm，C端也为铰支；端也为铰支；AB和和BC杆可以独自发生弯曲变形而互不影响；两杆的材料是杆可以独自发生弯曲变形而互不影响；两杆的材料是A3钢，其钢，其p=104，l=3m，稳定安全系数，稳定安全系数nst=2.5；求结构的许可载荷；求结构的许可载荷P。解：解：(1)计算计算AB和和BC杆的柔度杆的柔度AB为一端铰支他端固定，为一端铰支他端固定，BC为两为两端铰支；故柔度不同。应选择柔端铰支；故柔度不同。应选择柔度大，临界压力小的杆件计算。度大，临界压力小的杆件计算。15本讲稿第十五页，共三十一页(2)比较和确定计算的压杆比较和确定计算的压杆 因为因为ABBC，所以，所以AB杆的稳定性比杆的稳定性比BC杆杆差，选差，选AB杆计算；杆计算；(3)稳定性计算：稳定性计算：ABP，AB是细长压杆；是细长压杆；16本讲稿第十六页，共三十一页问题问题1.细长杆细长杆AB受轴向压力受轴向压力P作用，设杆的临界力为作用，设杆的临界力为Pcr，则下列结论中，则下列结论中_是正确的。是正确的。A.仅当仅当PPcr时，杆时，杆AB不可能保持平衡；不可能保持平衡；错误；杆件保持曲线平衡错误；杆件保持曲线平衡D.为保证杆为保证杆AB处于稳定平衡状态，应使处于稳定平衡状态，应使PPcr；错误；失去稳定也是一种平衡状态错误；失去稳定也是一种平衡状态17本讲稿第十七页，共三十一页问题问题2.两根细长压杆如图示，杆两根细长压杆如图示，杆1为正方形截面，杆为正方形截面，杆2为圆截面，两者材料相同，长度相同，且横截面积为圆截面，两者材料相同，长度相同，且横截面积相同，若其临界载荷分别用相同，若其临界载荷分别用Pcr和和P”cr表示，则下列表示，则下列结论中结论中_是正确的。是正确的。APcrP”cr；BPcr=P”cr；CPcrP；PP；P值完全取决于杆值完全取决于杆EF的稳定性；的稳定性；P值完全取决于杆值完全取决于杆CD的稳定性；的稳定性；解答解答:、；两根压杆中稳定性最差的是；两根压杆中稳定性最差的是EF；其所受的压力远大于其所受的压力远大于CD杆杆19本讲稿第十九页，共三十一页习题习题10.4.图示蒸汽机活塞杆图示蒸汽机活塞杆AB所受压力为所受压力为P=120kN，l=1.8m，截面为圆形，截面为圆形d=75mm。材料为。材料为Q275钢，钢，E=210GPa，s=240MP。规定。规定nst=8。试校核活塞杆的稳定性。试校核活塞杆的稳定性。解：解：(1)求柔度极限值求柔度极限值并判断杆件的类型并判断杆件的类型压杆的柔度压杆的柔度：压杆是大压杆是大柔度柔度 (2)压杆的临界压力压杆的临界压力(3)压杆的稳定性压杆的稳定性故稳定故稳定20本讲稿第二十页，共三十一页习题习题10.9有三根钢管构成的支架如图所示。钢管的长度为有三根钢管构成的支架如图所示。钢管的长度为l=2.5m，外径外径30mm，内径为，内径为22mm，E=210GPa，p=240MPa。在支架的顶点三杆铰。在支架的顶点三杆铰接接。若取若取nst=3，试校试校许可的载荷许可的载荷P。1201202mP所以所以压杆压杆为细长杆，欧拉公式适用为细长杆，欧拉公式适用解：解：(1)求柔度极限值并判断杆件的类型求柔度极限值并判断杆件的类型由于支架的对称性，可取其中任意由于支架的对称性，可取其中任意一根杆来研究。设其所受压力为一根杆来研究。设其所受压力为F21本讲稿第二十一页，共三十一页习题习题10.9有三根钢管构成的支架如图所示。钢管的长度为有三根钢管构成的支架如图所示。钢管的长度为l=2.5m，外径外径30mm，内径为，内径为22mm，E=210GPa，在支架的顶点三，在支架的顶点三杆铰接杆铰接。若取若取nst=3，试求许可载荷试求许可载荷P。于是有于是有1201202mP故许可载荷为故许可载荷为7.5kN7.5kN 22本讲稿第二十二页，共三十一页习题习题10.10在图示铰接杆系中，在图示铰接杆系中，AB和和BC皆为细长压杆，且截面相同，皆为细长压杆，且截面相同，材料一样。若杆系因在材料一样。若杆系因在ABC平面内丧失稳定而同时失效，并规定平面内丧失稳定而同时失效，并规定0 Iz也可判断也可判断)并且欧拉公式并且欧拉公式不适合不适合，需用经验公式。，需用经验公式。习题习题10.12蒸汽机车的连杆如图所示。截面蒸汽机车的连杆如图所示。截面为工字形，材料为为工字形，材料为Q235钢，钢，1=100，连杆承受的最大轴向压力为，连杆承受的最大轴向压力为465kN。连杆在摆动。连杆在摆动平面（平面（xy平面）内发生弯曲时，两端可认为铰支；而在与摆动平面平面）内发生弯曲时，两端可认为铰支；而在与摆动平面垂直的垂直的xz平面内发生弯曲时，两端可认为是固定支座。试确定其工作安平面内发生弯曲时，两端可认为是固定支座。试确定其工作安全系数。全系数。25本讲稿第二十五页，共三十一页x习题习题10.12蒸汽机车的连杆如图所示。截面蒸汽机车的连杆如图所示。截面为工字形，材料为为工字形，材料为Q235钢，钢，1=100，连杆承受的最大轴向压力为，连杆承受的最大轴向压力为465kN。连杆在摆动平面。连杆在摆动平面（xy平面）内发生弯曲时，两端可认为铰支；而在与摆动平面垂直的平面）内发生弯曲时，两端可认为铰支；而在与摆动平面垂直的xz平面内发生弯曲时，两端可认为是固定支座。试确定其工作安全系数。平面内发生弯曲时，两端可认为是固定支座。试确定其工作安全系数。对于对于Q235钢，钢，连杆为中柔度杆连杆为中柔度杆，应应用直线公式用直线公式计算压力计算压力工作安全系数为：工作安全系数为：26本讲稿第二十六页，共三十一页习题习题10.15某厂自制简易起重机如图所示。压杆某厂自制简易起重机如图所示。压杆BD为为20号槽钢，材号槽钢，材料为料为Q235钢，钢，1=100，2=62。起重机的最大起重量。起重机的最大起重量P=40kN。若规。若规定定nst=5，试校核，试校核BD杆的稳定性。杆的稳定性。解：解：（1）受力分析）受力分析(铰支座处无弯矩铰支座处无弯矩)以梁以梁AC为研究对象，由静力平衡为研究对象，由静力平衡方程可求得方程可求得（2）BD压杆的柔度压杆的柔度查型钢表，查型钢表，20号槽钢：号槽钢：27本讲稿第二十七页，共三十一页（3 3）计算临界压力）计算临界压力 习题习题10.15某厂自制简易起重机如图所示。压杆某厂自制简易起重机如图所示。压杆BD为为20号槽钢，材料号槽钢，材料为为Q235钢，钢，1=100，2=62。起重机的最大起重量。起重机的最大起重量P=40kN。若规定。若规定nst=5，试校核，试校核BD杆的稳定性。杆的稳定性。（4 4）稳定性校核）稳定性校核 28本讲稿第二十八页，共三十一页习题习题10.17图示图示结构中的杆结构中的杆AD和和AG材料均材料均为为Q235钢，钢，E=206GPa，p=200MPa，s=235MPa，a=304MPa，b=1.12MPa，=160MPa。两杆均为园截面，杆。两杆均为园截面，杆AD的直径为的直径为d1=40mm，杆，杆AG的的直径为直径为d2=25mm。横梁。横梁ABC可视为刚体，规定的稳定安全系数可视为刚体，规定的稳定安全系数nst=3，试求试求P的许可值的许可值。解解:(1)分析分析ABC受力受力AD受压，受压，AG受拉受拉由变形协调条件：由变形协调条件：29本讲稿第二十九页，共三十一页解方程组得：解方程组得：(2)杆杆AG受拉，考虑受拉，考虑强度强度条件条件(3)杆杆AD受压，考虑受压，考虑稳定稳定问题问题AD杆的柔度：杆的柔度：柔度极限：柔度极限：30本讲稿第三十页，共三十一页压杆是大柔度杆，欧拉公式适用压杆是大柔度杆，欧拉公式适用根据稳定性条件根据稳定性条件取最小值：取最小值：31本讲稿第三十一页，共三十一页