人大微积分课件重积分的应用精.ppt
人大微积分课件重积人大微积分课件重积分的应用分的应用第1页，本讲稿共29页二重积分的元素法二重积分的元素法.由定积分的元素法推广得到重积分的元素法由定积分的元素法推广得到重积分的元素法.若要计算的某个量若要计算的某个量对于闭区域对于闭区域具有可加性具有可加性(即当闭区域即当闭区域分成许多小闭区域时，所求量分成许多小闭区域时，所求量相相相应地分成许多相应地分成许多 部分量，且部分量，且等于部分量之和等于部分量之和)，并且在闭区域并且在闭区域内任取一个内任取一个直径很小的闭区域直径很小的闭区域时，相应地部分量可近似地时，相应地部分量可近似地 表示为表示为的形的形式，其中式，其中在在内这个内这个称为所求称为所求的元素，记为的元素，记为，所求量的积分表达式为，所求量的积分表达式为量量一 问题的提出第2页，本讲稿共29页三重积分的元素法三重积分的元素法.利用重积分的元素法可以讨论重积分在利用重积分的元素法可以讨论重积分在几何、物理上的一些应用几何、物理上的一些应用 若要计算的某个量若要计算的某个量 对于空间闭区域对于空间闭区域 具有可加性，并具有可加性，并且在闭区域且在闭区域 任取一个直径很小的任取一个直径很小的 闭区域闭区域 时时,，相，相 应地部应地部分量可近似地表示为分量可近似地表示为 的形式，其中的形式，其中 在在 内，这个内，这个 称为所求量称为所求量 的元素，记为的元素，记为 ，所求，所求量的积分表达式为量的积分表达式为第3页，本讲稿共29页 设曲面设曲面S的方程为：的方程为：下面通过微元素法来计算曲面下面通过微元素法来计算曲面S的面积的面积.二 曲面的面积第4页，本讲稿共29页如图，先在闭区域如图，先在闭区域D上任取一直径很小的闭区域，上任取一直径很小的闭区域，第5页，本讲稿共29页曲面曲面S的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：第6页，本讲稿共29页 设曲面的方程为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：同理可得同理可得第7页，本讲稿共29页解解第8页，本讲稿共29页第9页，本讲稿共29页卫星卫星第10页，本讲稿共29页卫星卫星解解如图建立坐标系如图建立坐标系通讯卫星覆盖的曲面通讯卫星覆盖的曲面 是上半是上半球面被半顶角为球面被半顶角为 的圆锥面所的圆锥面所截得的部分，其方程为截得的部分，其方程为第11页，本讲稿共29页通讯卫星的覆盖面积与地球的表面积的比为通讯卫星的覆盖面积与地球的表面积的比为第12页，本讲稿共29页力学中关于质心的计算公式最初是对质点给出的力学中关于质心的计算公式最初是对质点给出的:三 质心第13页，本讲稿共29页当薄片是均匀的，质心坐标为当薄片是均匀的，质心坐标为第14页，本讲稿共29页解解Oxy第15页，本讲稿共29页第16页，本讲稿共29页类似地，类似地，第17页，本讲稿共29页 解 取半球体的对称轴为取半球体的对称轴为 轴，原点取在轴，原点取在 球心上，设球的半径为球心上，设球的半径为 .第18页，本讲稿共29页力学中关于转动惯量的计算公式最初也是对力学中关于转动惯量的计算公式最初也是对质点给出的质点给出的.(1)平面薄片的转动惯量平面薄片的转动惯量四 转动惯量第19页，本讲稿共29页薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量薄片对于坐标原点的转动惯量薄片对于坐标原点的转动惯量第20页，本讲稿共29页()空间物体的转动惯量空间物体的转动惯量第21页，本讲稿共29页例例5 5 求均匀的半圆环形薄片求均匀的半圆环形薄片(面密度为面密度为 )对其直径边的转动惯量对其直径边的转动惯量 解 所求为所求为用极坐标计算用极坐标计算第22页，本讲稿共29页其中其中 为薄片质量为薄片质量 第23页，本讲稿共29页解 原点取在球心上，设球的半径为原点取在球心上，设球的半径为 .轴与轴与 轴重合，则球体占有空间闭区域轴重合，则球体占有空间闭区域第24页，本讲稿共29页第25页，本讲稿共29页 ,点点处的面密度为处的面密度为设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域面上的闭区域D在在),(yx),(yxr r，假定，假定),(yxr r在在D上连上连续，计算该平面薄片对位于续，计算该平面薄片对位于z轴上的点轴上的点),0,0(0aM处的单位质点的处的单位质点的引力引力)0(a 薄片对薄片对 轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力为引力常数为引力常数五五 引力引力第26页，本讲稿共29页由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知解解第27页，本讲稿共29页所求引力为所求引力为第28页，本讲稿共29页几何应用：曲面的面积几何应用：曲面的面积物理应用：质心、转动惯量、物理应用：质心、转动惯量、对质点的引力对质点的引力六六 小结与思考判断题小结与思考判断题第29页，本讲稿共29页
