《差分方程》PPT课件.ppt

NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用主要内容主要内容差分方程建模实例差分方程建模实例一、差分方程的概念一、差分方程的概念二、差分方程的建立二、差分方程的建立三、差分方程的求解三、差分方程的求解五、一阶非线性方程五、一阶非线性方程四、发生函数方法四、发生函数方法NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用差分方程是一种离散变化的数学模型。现实世界和社会经差分方程是一种离散变化的数学模型。现实世界和社会经济生活中，离散变化的现象与过程随处可见；而且，在某济生活中，离散变化的现象与过程随处可见；而且，在某些场合，用离散变化来刻画连续变化，能使问题便于处理些场合，用离散变化来刻画连续变化，能使问题便于处理和研究。和研究。一阶差分方程一阶差分方程n 阶差分方程阶差分方程NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用修正模型修正模型差分方程建模实例差分方程建模实例例例1 1 种种群群生生态态学学中中的的虫虫口口模模型型。在在种种群群生生态态学学中中考考虑虑象象蚕蚕、蝉蝉这这种种类类型型的的昆昆虫虫数数目目（即即“虫虫口口”）的的变变化化，注注意意这这种种虫虫口口一一代代一一代代之之间间是是不不交交叠叠的的，每每年年夏夏季季这这种种昆昆虫虫成成虫虫产产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。第第n 年的虫口数年的虫口数成虫平均产卵数成虫平均产卵数阻滞系数阻滞系数标准形式（标准形式（Logistic方程）方程）NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用影响虫口的因素影响虫口的因素周围环境提供的空间和食物有限周围环境提供的空间和食物有限虫子之间为了生存互相竞争而咬斗虫子之间为了生存互相竞争而咬斗传染病及天敌对虫子生存的威胁传染病及天敌对虫子生存的威胁简化简化规律规律咬斗和接触是发生在两只虫子之间的事件咬斗和接触是发生在两只虫子之间的事件 只虫子配对的事件总数只虫子配对的事件总数影响虫口的因素量化影响虫口的因素量化NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用例例2 2 鲨鱼和小杂鱼的捕食与被捕食问题的模型。鲨鱼和小杂鱼的捕食与被捕食问题的模型。n 单位时间鲨鱼和小杂鱼的数量单位时间鲨鱼和小杂鱼的数量鲨鱼和小杂鱼的繁殖率鲨鱼和小杂鱼的繁殖率（1）不考虑它们相互之间的影响）不考虑它们相互之间的影响（2）考虑它们相互之间的影响）考虑它们相互之间的影响小杂鱼量的增加引起鲨鱼量的增加，因子为小杂鱼量的增加引起鲨鱼量的增加，因子为鲨鱼量的增加引起小杂鱼量的减少，因子为鲨鱼量的增加引起小杂鱼量的减少，因子为NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用用差分方程解决实际问题的步骤：用差分方程解决实际问题的步骤：第第一一步步 设设定定好好实实际际问问题题中中的的未未知知函函数数（数数列列），按按照照已已知知相相关关领领域域的的物物理理、力力学学、经经济济的的学学科科的的规规律律建建立立相相邻邻的的自自变变量量值值（一一般般就就是是相相邻邻的的时时间间）的的未未知知函函数数取取值值间间的的依依赖关系，建立差分方程模型。赖关系，建立差分方程模型。第第二二步步 对对已已建建立立的的差差分分方方程程模模型型，若若能能直直接接求求解解的的则则求求出出其其解解，若若不不能能求求解解或或直直接接求求解解比比较较困困难难的的，则则用用定定性性的的方法讨论其解的变化趋势及性质。方法讨论其解的变化趋势及性质。第第三三步步 将将数数学学讨讨论论得得到到的的结结果果与与实实际际情情形形加加以以对对照照，然然后给实际问题一个满意的答复。后给实际问题一个满意的答复。NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用一、差分方程的概念一、差分方程的概念1.差分的概念及简单性质差分的概念及简单性质实数序列实数序列二阶差分二阶差分一阶差分一阶差分差分算子差分算子例例 求序列求序列 的一阶差分与二阶差分。的一阶差分与二阶差分。MATHEMATICANUDT差分方程及其应用差分方程及其应用定理定理1 1 若序列若序列 的通项公式是的通项公式是 的一次函数，则其一阶差的一次函数，则其一阶差分为常数，二阶差分为零。反之依然。分为常数，二阶差分为零。反之依然。序列图形（点列）与差分间的关系序列图形（点列）与差分间的关系NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用0.3826030.3826030.9101950.9101950.6009570.600957-0.260798-0.260798-0.882776-0.882776-0.693134-0.6931340.1337720.1337720.8376890.8376890.7714380.771438-0.004068-0.004068NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用数列与函数增减性和凹凸性判别方法比较数列与函数增减性和凹凸性判别方法比较增减性增减性凹凸性凹凸性函数数列NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用2.差分方程差分方程由由方方程程的的迭迭代代关关系系可可得得方方程程的的任任意意有有限限项项（方方程程的的数数值值解），特殊情形能得到序列的通项公式。解），特殊情形能得到序列的通项公式。定定义义 含含有有序序列列的的任任意意项项 且且含含有有其其差差分分的的方方程程称称为为差差分分方程。称序列的一个或几个已知项为方程的初始条件。方程。称序列的一个或几个已知项为方程的初始条件。定定义义 差差分分方方程程的的一一个个解解析析解解是是指指序序列列 的的一一个个通通项项公公式式，把把它它代代入入差差分分方方程程，就就得得到到一一个个恒恒等等式式。若若解解中中不不含含任任意意常常数数，称称这这样样的的解解为为方方程程的的特特解解，若若解解中中含含有有任任意意常常数，称这样的解为方程的通解。数，称这样的解为方程的通解。NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用二、差分方程的建立二、差分方程的建立例例1 1 某种真菌培养物的增长，从实验中采集到如下数据：某种真菌培养物的增长，从实验中采集到如下数据：时间（小时）时间（小时）时间（小时）时间（小时）真菌生物量真菌生物量真菌生物量真菌生物量p pn n真菌的变化真菌的变化真菌的变化真菌的变化 p pn n0 09.69.65.85.81 115.415.49.29.22 224.624.614.714.73 339.339.323.623.64 463.063.037.737.75 5100.7100.7建立方程建立方程NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用例例2 2 某人在银行贷款，打算每月还款某人在银行贷款，打算每月还款200元。假定贷款年元。假定贷款年利率为利率为12%（月利率为（月利率为1%），设），设 为第为第 个月开始时的个月开始时的欠款，建立还款模型。欠款，建立还款模型。（一阶线性常系数非齐次差分方程）（一阶线性常系数非齐次差分方程）MATHEMATICANUDT差分方程及其应用差分方程及其应用贷款分别为贷款分别为5000，20000，25000的还款情况比较的还款情况比较NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用例例3 3 冰冰箱箱冷冷藏藏室室的的温温度度调调节节在在50C。饮饮料料放放在在冷冷藏藏室室后后每每分分钟钟温温度度的的变变化化与与冰冰箱箱温温度度和和饮饮料料温温度度的的差差成成正正比比，通通过过实实验验知知比比例例系系数数约约为为。设设饮饮料料放放入入冷冷藏藏室室n分分钟钟后后为为tn，求其温度变化遵循的差分方程。求其温度变化遵循的差分方程。NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用例例4 4 Fibonaccii问问题题。考考虑虑家家兔兔的的繁繁殖殖，假假定定现现有有一一对对幼幼兔兔（一一雌雌一一雄雄），在在它它们们成成长长成成一一对对成成兔兔后后每每月月生生一一对对幼幼兔兔，而而每每对对幼幼兔兔在在一一个个月月后后变变成成成成兔兔。如如果果一一代代一一代代繁繁殖殖下去，问在下去，问在n个月后将有多少对家兔？个月后将有多少对家兔？第第0个月个月第第1个月个月第第2个月个月第第3个月个月第第4个月个月11235幼兔幼兔成兔成兔NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用第第n个月家兔的对数个月家兔的对数成兔对数成兔对数幼兔对数幼兔对数第第n+1个月家兔的对数个月家兔的对数成兔对数成兔对数幼兔对数幼兔对数Fibonaccii数列数列NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用例例5 5 硬硬币币喷喷泉泉问问题题（n个个硬硬币币的的一一种种多多行行排排列列）。第第一一行行是是k个个硬硬币币两两两两相相邻邻，任任何何更更高高行行的的每每个个硬硬币币恰恰好好与与其其下下面一行的两个硬币接触，称其为（面一行的两个硬币接触，称其为（n,k）喷泉。喷泉。两个（两个（17，8）喷泉喷泉喷泉块：每一行的硬币邻接喷泉块：每一行的硬币邻接问题问题 有多少个喷泉块它的第一行恰好是有多少个喷泉块它的第一行恰好是k个硬币？个硬币？喷泉块喷泉块非喷泉块非喷泉块NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用递推公式递推公式一般情形一般情形NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用三、差分方程的求解三、差分方程的求解一阶线性方程一阶线性方程一阶线性差分方程一阶线性差分方程对应齐次方程对应齐次方程齐次方程（齐次方程（2）的通解为）的通解为设设 为常数，为常数，方程（方程（1）有常值解）有常值解，则，则此时，方程（此时，方程（1）有通解）有通解（特解）（特解）NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用二阶线性方程二阶线性方程二阶线性齐次差分方程二阶线性齐次差分方程设设 满足方程（满足方程（3），），则则（特征方程）（特征方程）则得通解则得通解1）若方程（）若方程（4）有两个不同的实根）有两个不同的实根 和和 ，（其中其中 为任意常数）为任意常数）2）若方程（）若方程（4）有两相同的实根）有两相同的实根 ，则得通解则得通解（其中其中 为任意常数）为任意常数）3）若方程（）若方程（4）有两复数根）有两复数根 ，则得通解则得通解（其中其中 为任意常数）为任意常数）NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用例例1 求解求解（一阶非线性差分方程）（一阶非线性差分方程）解得解得（原方程的解）（原方程的解）NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用例例2 求解求解Fibonaccii方程方程对应的特征方程为对应的特征方程为 ，解得解得因此方程的通解为因此方程的通解为试用试用Mathematica求出在所给初始条件下的求出在所给初始条件下的 和和 ，并利用该公式求并利用该公式求NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用四、发生函数方法四、发生函数方法硬币喷泉问题硬币喷泉问题发生函数或母函数（发生函数或母函数（generating function）因此，只要求出发生函数因此，只要求出发生函数 ，通过求该函数的幂级数展开，通过求该函数的幂级数展开，便可得到便可得到NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用法则法则NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用五、一阶非线性方程五、一阶非线性方程没没有有求求非非线线性性差差分分方方程程解解析析解解的的一一般般理理论论，可可以以就就合合理理的的n，用用迭迭代代产产生生数数值值解解和和图图形形解解，由由此此分分析析非非线线性性差分方程解的长期性态。差分方程解的长期性态。NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用当当代代计计算算机机科科学学的的发发展展，特特别别是是图图象象显显示示系系统统的的发发展展，赋赋予予差差分分方方程程这这个个传传统统数数学学分分支支以以新新的的内内容容和和方方法法，使使之之在在科科学学的的各各个个部部门门、在在人人类类活活动动的的各各个个领领域域、也也在在数数学自身得到广泛和卓有成效的应用。学自身得到广泛和卓有成效的应用。例例 就不同的初值就不同的初值 和参数和参数 ，讨论方程，讨论方程 的解的性态的解的性态.