181勾股定理1 (2).ppt

123 相相传传两两千千多多年年前前，一一次次毕毕达达哥哥拉拉斯斯去去朋朋友友家家作作客客，发发现现朋朋友友家家用用砖砖铺铺成成的的地地面面反反映映直直角角三三角角形形三三边边的的某某种种数数量量关关系系，同同学学们们，我我们们也也来来观观察察下下面面的的图图案案，看看看看你你能能发发现现什什么么？看看一一看看ABCABC（图中每个小方格代表一个单位（图中每个小方格代表一个单位面积）面积）图图2-1图2-2（1 1）观察图）观察图2-12-1 正方形正方形A A中含中含有有 个小方个小方格，即它的面积格，即它的面积是是 个单位面个单位面积。正方形积。正方形B B的面的面积是积是 个单个单位面积。正方形位面积。正方形C C的面积是的面积是 个个单位面积。单位面积。99918你是怎样得到上面的结你是怎样得到上面的结果的？与同伴交流交流。果的？与同伴交流交流。ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1-1图1-2分割成若干个直角边分割成若干个直角边为整数的三角形为整数的三角形（单位面积）（单位面积）ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1-1图1-2（单位面积）（单位面积）把把C看成边长为看成边长为6的正方形面积的一半的正方形面积的一半 ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图2-1图2-2（2 2）在图）在图2-22-2中，正中，正方形方形A A，B B，C C中各含中各含有多少个小方格？它有多少个小方格？它们的面积各是多少？们的面积各是多少？（3 3）你能发现两图）你能发现两图中三个正方形中三个正方形A A，B B，C C的面积之间有什么的面积之间有什么关系吗？关系吗？SA+SB=SC等腰直角三角形三边有什么关系？等腰直角三角形三边有什么关系？a+b=cP PQ QC C R R 如图，每个小方格的边长也均为如图，每个小方格的边长也均为1.1.你能求出你能求出正方形正方形R的面积吗？的面积吗？(1)(1)用了用了“补补”的方法的方法P PQQC C R R用了用了“割割”的方法的方法QQ 等腰三角形有上述性质，其他的直角等腰三角形有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗？三角形也有这个性质吗？P PQ QR Ra ac cb bS SP P+S+SQ Q=S=SR R 观察所得到的各组数据，你有什么发现？观察所得到的各组数据，你有什么发现？猜想猜想:两直角边两直角边a、b与斜边与斜边c之间的关系？之间的关系？a a2 2+b+b2 2=c=c2 216 169 92525a ac cb bS SP P+S+SQ Q=S=SR R 观察所得到的各组数据，你有什么发现？观察所得到的各组数据，你有什么发现？猜想两直角边猜想两直角边a、b与斜边与斜边c之间的关系？之间的关系？a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b命题命题1 1：直角三角形两直角边的平方和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方.我们如何证明这个命题？我们如何证明这个命题？下面我们用拼图法来证明这个猜想：下面我们用拼图法来证明这个猜想：用用4 4个两直角边长分别为个两直角边长分别为a a、b b，斜边长为，斜边长为c c的的直角三角形和一个边长为直角三角形和一个边长为c c的正方形拼成一个边的正方形拼成一个边长为长为a+ba+b的大正方形如下图的大正方形如下图:ababababccccCCCC证法一：证法一：a aa aa aa ab bb bb bb bc cc cc cc c又又 S S大正方形大正方形=4S=4S直角三角形直角三角形+S+S小正方形小正方形 =4ab+c=4ab+c2 2 =c=c2 2+2ab+2ab整理得：整理得：a2+b2=c2 a a2 2+b+b2 2+2ab+2abc c2 2+2ab+2abSS大正方形大正方形=(a+b)=(a+b)2 2=a=a2 2+b+b2 2+2ab+2ab用赵爽弦图证明用赵爽弦图证明证法二：证法二：abca2 2+b2 2=c2 2aabbcc证法三、美国第证法三、美国第20任总统任总统伽菲尔德伽菲尔德证法：证法：s s梯形梯形=(a+b)(a+b)=(a=(a+b)(a+b)=(a2 2+2ab+b+2ab+b2 2)s s梯形梯形=2=2 ab+c ab+c2 2=ab+c=ab+c2 2 a a2 2+ab+b+ab+b2 2=ab+c=ab+c2 2 aa2 2+b+b2 2=c=c2 2=a=a2 2+ab+b+ab+b2 2证法四：毕达哥拉斯证法证法四：毕达哥拉斯证法:abcaabbc大正方形大正方形=4=4 ab+a ab+a2 2+b+b2 2=2ab+a=2ab+a2 2+b+b2 2大正方形大正方形=4=4 ab+c ab+c2 2 =2ab+c =2ab+c2 2大正方形大正方形=大正方形大正方形2ab+a2ab+a2 2+b+b2 2=2ab+c=2ab+c2 2aa2 2+b+b2 2=c=c2 2a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b 直角三角形两直角边的直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方平方和等于斜边的平方.勾勾股股弦弦 勾股定理：勾股定理：我国古代把直角三角形中较短的直角边称为我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾勾，较长的直角边称为，较长的直角边称为股股，斜边称为，斜边称为弦弦结论变形：结论变形：c2=a2 +b2abcABCa2=c2b2b2=c2a2勾勾 股股 世世 界界毕达哥拉斯毕达哥拉斯(公元前公元前572-前前492年年),古希腊著名的哲学家、古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。数学家、天文学家。两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。希腊曾经发行了一枚纪念邮票。在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为上半部分称为“勾勾”，下半部分称为，下半部分称为“股股”所以古代学者把直角三角形较短的直角边所以古代学者把直角三角形较短的直角边称为称为“勾勾”，较长的直角边称为，较长的直角边称为“股股”，斜，斜边称为边称为“弦弦”因此就把这一定理称为因此就把这一定理称为勾股勾股定理定理.勾勾股股勾勾股股弦弦 我国是最早了解勾我国是最早了解勾股定理的国家之一。早股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，四，那么弦就等于五，即即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古，它被记载于我国古代著名的数学著作周代著名的数学著作周髀算经中。髀算经中。周髀算经中还记载了公元前六、七世周髀算经中还记载了公元前六、七世纪的荣方与陈子的对话，再次提到勾股理。纪的荣方与陈子的对话，再次提到勾股理。陈子定理陈子定理 古巴比仑人在公元前古巴比仑人在公元前1919世纪也发现此定理。世纪也发现此定理。具调查在公元前具调查在公元前19001900年的一块巴比伦上午泥板年的一块巴比伦上午泥板中，记载了中，记载了1515组勾股数。所以古巴比伦人才是组勾股数。所以古巴比伦人才是勾股定理最先的发现人。勾股定理最先的发现人。定理从提出到现在的两千多年中，已经找定理从提出到现在的两千多年中，已经找到证明到证明400400多种，由鲁密斯搜集整理的多种，由鲁密斯搜集整理的毕达哥毕达哥拉斯拉斯一书中就给出一书中就给出370370种不同证法。种不同证法。勾股定理又称商高定理、毕达哥拉斯定理勾股定理又称商高定理、毕达哥拉斯定理 百牛定理、百牛定理、驴桥定理、驴桥定理、埃及三角形定理埃及三角形定理 学以致用学以致用：1.求图中字母所代表的正方形的面求图中字母所代表的正方形的面积。积。2480ABB400625 81144A22522522522556568080结论结论:S1+S2+S3+S4=S5+S6=S7=10S5=s1+s2=4S6=s3+s4=62 2、3 3、求出下列直角三角形中未知的边、求出下列直角三角形中未知的边610ACB8A15CB302245在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？直角三角形哪条边最长？直角三角形哪条边最长？8 817 171 1两个条件两个条件斜边斜边方法小结方法小结:可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.4、在在ABCABC中中,C=90,C=90，a=6,b=8,a=6,b=8,则则c=c=6 6、在一个直角三角形中、在一个直角三角形中,两边长分别为两边长分别为6 6、8,8,则则第三边的长为第三边的长为_1010或或5 5、一直角三角形的一直角边长为、一直角三角形的一直角边长为6 6，斜边长比，斜边长比另一直角边长大另一直角边长大2 2，则斜边的长为，则斜边的长为_。10 107 7、在、在RtABCRtABC中，中，C=90C=90，若若a=5a=5，b=12b=12，则，则c=_c=_；若若a=15a=15，c=25c=25，则，则b=_b=_；若若c=61c=61，b=60b=60，则，则a=_a=_；若若ab=34ab=34，c=10c=10则则 a=_,b=_a=_,b=_。1313202011116 68 8补充：如图补充：如图,分别以直角三角形的三边为分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆直径作三个半圆,这三个半圆的面积之间这三个半圆的面积之间有什么关系有什么关系?为什么为什么?S1=（c）S2=（b）S3=（a）a+b=c S1=S2+S3c cb ba aS1S2S3说说这节课你有什么收获？说说这节课你有什么收获？收获与反思想一想我们这一节课有哪些收获？这棵树漂亮吗？如果在树上挂上这棵树漂亮吗？如果在树上挂上几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不是更像一棵圣诞树是更像一棵圣诞树 也许有人会问：也许有人会问：“它与勾股定理它与勾股定理有什么关系吗？有什么关系吗？”仔细看看，你会发现，奥妙在树仔细看看，你会发现，奥妙在树干和树枝上，整棵树都是由下方的这干和树枝上，整棵树都是由下方的这个基本图形组成的：个基本图形组成的：一个直角三角形一个直角三角形以及分别以它的每边为一边向外所作以及分别以它的每边为一边向外所作的正方形的正方形 这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理 刘徽在九章算术中对勾股定理的证明：刘徽在九章算术中对勾股定理的证明：勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也合成弦方之幂，开从其类，因就其余不移动也合成弦方之幂，开方除之，即弦也方除之，即弦也令正方形令正方形ABCD为朱方，正方为朱方，正方形形BEFG为青方在为青方在BG间取一点间取一点H，使，使AH=BG，裁下，裁下ADH，移至，移至CDI，裁下，裁下HGF，移至，移至IEF，是为，是为“出入相补，各从其类出入相补，各从其类”，其余不动，则形成弦方正方形其余不动，则形成弦方正方形DHFI勾股定理由此得证勾股定理由此得证 刘徽的证法刘徽的证法返回 abc证法二证法二无字证明无字证明青出青出朱入朱入朱朱出出朱方朱方青方青方青入青入青青入入青出青出青青出出证法三、青证法三、青朱朱出入图出入图朱入朱入朱朱出出证法六、拼图游戏又又这两个正方形的边长都是这两个正方形的边长都是a ab b，所以，所以面积相等，即面积相等，即证明证明:图图1 1的大正方形的面积为：的大正方形的面积为：图图2 2的大正方形的面积为：的大正方形的面积为：