复变函数-4-3-精品文档资料整理.PPT

第三节第三节 泰勒级数泰勒级数二、泰勒定理三、将函数展开成泰勒级数一、问题的引入四、典型例题五、小结与思考2一、问题的引入一、问题的引入问题问题:任一个解析函数能否用幂级数来表达？任一个解析函数能否用幂级数来表达？.内任意点内任意点如图如图:.K.3二、泰勒定理二、泰勒定理其中其中泰勒级数泰勒级数泰勒展开式泰勒展开式定理定理设设在区域在区域内解析内解析,为为 内的一内的一为为到到的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离,那么那么点点,时时,成立成立,当当泰勒介绍泰勒介绍4说明说明:3.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.5那末那末即即因此因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数泰勒级数,因而是唯一的因而是唯一的.6三、将函数展开成泰勒级数三、将函数展开成泰勒级数常用方法常用方法:直接法和间接法直接法和间接法.1.直接法直接法:由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数7例如，例如，故有故有8仿照上例仿照上例,92.间接展开法间接展开法:借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式,结合解析结合解析函数的性质函数的性质,幂级数运算性质幂级数运算性质(逐项求导逐项求导,逐项逐项积分等积分等)和其它数学技巧和其它数学技巧(代换等代换等),求函数的泰求函数的泰勒展开式勒展开式.间接法的优点间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直因而比直接展开更为简洁接展开更为简洁,使用范围也更为广泛使用范围也更为广泛.101112例如，例如，13例例1 1解解四、典型例题四、典型例题14上式两边逐项求导上式两边逐项求导,15例例2 2分析分析如图如图,16即即 将展开式两端沿将展开式两端沿 C 逐项积分逐项积分,得得解解17例例3 3 解解18例例4 4 解解19附附:常见函数在常见函数在Z=0的泰勒展开式的泰勒展开式(麦克劳林展开式麦克劳林展开式)2021例例5 5解解22五、小结与思考五、小结与思考 通过本课的学习通过本课的学习,应理解泰勒展开定理应理解泰勒展开定理,熟记熟记五个基本函数的泰勒展开式五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成掌握将函数展开成泰勒级数的方法泰勒级数的方法,能比较熟练的把一些解析函数能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数展开成泰勒级数.