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第第3 3章章 基本立体的投影基本立体的投影3.1 3.1 平面立体投影平面立体投影3.2 3.2 曲面立体投影曲面立体投影3.3 3.3 基本几何体投影小结基本几何体投影小结3.4 3.4 平面与立体表面相交平面与立体表面相交3.5 3.5 两回转体表面相交两回转体表面相交1 由由若若干干个个平平面面围围成成的的几几何何体体称称为为平平面面立立体体，围围成成平平面面立立体体的的平平面面称称棱棱面面，两两个个相相邻邻棱棱面面的的交交线线称称为为棱棱线线。常常见见的的平平面面体体有棱柱、棱锥、棱台等。有棱柱、棱锥、棱台等。3.1 3.1 平面立体投影平面立体投影1.1.平平面立体基本概念面立体基本概念2(1)(1)将将立立体体向向投投影影面面投投射射所所得得的的图图形称为形称为视图。视图。2.2.视视图的基本概念图的基本概念(2)(2)在在三三面面投投影影体体系系中中，立立体体的的三三面面投影称为投影称为三视图三视图。主主视视图图：立立体体的的正正面面投投影影，通通常常 用用来表示立体的主要形状特征来表示立体的主要形状特征俯视图俯视图：立体的水平投影：立体的水平投影左视图左视图：立体的侧面投影：立体的侧面投影(3)(3)三三面面投投影影展展开开后后得得到到平平面面体体的的三三视视图图:投影轴可以省略不画。投影轴可以省略不画。视图的名称也不必标出。视图的名称也不必标出。具具有有“长长对对正正、高高平平齐齐、宽宽相相等等”特特性。性。33.3.棱棱柱柱正棱柱是最常见的正棱柱是最常见的平面立体。平面立体。其表面组成其表面组成:互相平行的上、下互相平行的上、下两两底面底面与底面垂直的与底面垂直的若干个若干个棱面棱面棱面与棱面的交线称为棱面与棱面的交线称为棱线棱线(1)(1)正正棱柱表面的组成棱柱表面的组成在三面投影体系中，正棱柱一般按如下位置放置：在三面投影体系中，正棱柱一般按如下位置放置：上、下底面为投影面平行面。上、下底面为投影面平行面。其它的棱面则为投影面垂直面或投影面平行面。其它的棱面则为投影面垂直面或投影面平行面。常见的棱柱有正三棱柱、正四棱柱、正五棱柱等。常见的棱柱有正三棱柱、正四棱柱、正五棱柱等。4正棱柱的投影分析正棱柱的投影分析 图中正图中正六棱柱，上六棱柱，上下底面为下底面为水平面水平面。前后棱面为前后棱面为正平面正平面。棱柱的其他四个侧棱柱的其他四个侧棱面都为棱面都为铅垂面铅垂面。(2)(2)正正棱柱的投影分析及画法棱柱的投影分析及画法5正棱柱正棱柱的画法的画法 画画积聚的水平投影积聚的水平投影多边形多边形。画画其他两投影，其他两投影，先画先画上下两平行面，再求出上下两平行面，再求出顶点，连棱线。顶点，连棱线。画图规律：画图规律：可不画投影轴，但各点可不画投影轴，但各点的三面投影仍遵守点的的三面投影仍遵守点的三个三个投影规律投影规律。长长对正对正 高高平齐平齐 宽宽相等相等高高平平齐齐1 12 23 34 45 56 61 12 2(6 6)4 43 3(5 5)2(3)1(4)6(5)宽宽相相等等宽相等宽相等yy注意注意:当图形当图形对称对称时，应用时，应用细点画线细点画线画出其画出其对称中心线。对称中心线。长对正长对正64.4.棱棱锥锥棱锥表面组成棱锥表面组成:一底面一底面,为多边形为多边形若干个棱面组成若干个棱面组成,为三角形为三角形所有的侧棱线都交所有的侧棱线都交于一点于一点(1)(1)棱棱锥表面的组成锥表面的组成在三面投影体系中，棱锥一般按如下位置放置：在三面投影体系中，棱锥一般按如下位置放置：底面为投影面平行面。底面为投影面平行面。其它的棱面则为投影面垂直面或其它的棱面则为投影面垂直面或一般位置平面一般位置平面。7 b (c)s a a c b bcs ba(2)(2)正正棱锥的投影分析及画法棱锥的投影分析及画法 图图中中正三棱锥底正三棱锥底面面ABCABC为水平面为水平面，SABSAB、SACSAC为一般为一般位置平面位置平面，SBCSBC为为侧垂面。侧垂面。s8ABCSacb正棱锥的画法：正棱锥的画法：作底面作底面ABCABC的三面投影的三面投影。确定顶点确定顶点S S的三面投影。的三面投影。完成棱线完成棱线SASA、SBSB、SCSC的三面的三面投影投影,即得三棱锥的投影。即得三棱锥的投影。acbsss(c)ba9(2)(3)(3)三棱锥表面上取点三棱锥表面上取点1.21.2（棱线的点与特殊位置平面）（棱线的点与特殊位置平面）直接得到直接得到s(c)saBacbbcsbCASa211211210R333rr32.2.三棱锥表面上取点三棱锥表面上取点3 3（一般位置平面）（一般位置平面）作辅助线作辅助线/底边的线或底边的线或者过锥顶的直线。者过锥顶的直线。求点时求点时注意点所在面的位置注意点所在面的位置s(c)saBa cbbcsbCASa11 由由曲曲面面或或平平面面与与曲曲面面围围成成的的立立体体称称为为曲曲面面立立体体，常常见见的的曲曲面面立立体体为为回转体回转体，如圆柱如圆柱、圆锥和圆球等。、圆锥和圆球等。3.2 3.2 曲面立体投影曲面立体投影1.1.曲曲面立体基本概念面立体基本概念素线素线直母线直母线回转体回转体 一动一动线绕一线绕一定线回转定线回转 一周后一周后形成形成的曲面。的曲面。轴轴 线线 形成形成回转回转面的定线。面的定线。母母 线线 形成形成回转面的回转面的动线。动线。素素 线线 母线母线在回转面在回转面上的任上的任 意位置线。意位置线。12圆柱面由一直线绕与它相平行的圆柱面由一直线绕与它相平行的 轴线旋转一周而成。轴线旋转一周而成。圆柱表面有圆柱表面有:圆柱面圆柱面顶面顶面底面底面(1)(1)圆圆柱的形成柱的形成在在三三面面投投影影体体系系中中一一般般将将圆圆柱柱的的上、下两底面置为投影面平行面。上、下两底面置为投影面平行面。2.2.圆圆柱柱13圆柱的投影分析圆柱的投影分析 圆柱圆柱轴线为铅垂线，圆柱的顶轴线为铅垂线，圆柱的顶面和底面为水平面。面和底面为水平面。H面投影面投影 整个整个圆柱面积聚成一圆柱面积聚成一个个圆圆，与底面的水平投影重合。，与底面的水平投影重合。V面投影面投影 前前、后两半圆柱面、后两半圆柱面的投影重合为一的投影重合为一矩形矩形，矩形的两，矩形的两条竖线是圆柱面条竖线是圆柱面的的V面转向面转向轮廓轮廓线的投影。线的投影。(2)(2)圆圆柱的投影分析及画法柱的投影分析及画法 W面投影面投影 左左、右两半圆柱面的、右两半圆柱面的投影重合为一投影重合为一矩形矩形，矩形的两条，矩形的两条竖线是圆柱面竖线是圆柱面的的W面转向面转向轮廓线的轮廓线的投影。投影。14最左边最左边的素线的素线最前边最前边的素线的素线 圆柱圆柱的画法的画法画出圆的对称中心线和圆柱轴线画出圆的对称中心线和圆柱轴线的投影。的投影。画出投影为圆的视图。画出投影为圆的视图。画出其它视图。画出其它视图。注意注意:应用应用细点画细点画线线画出其画出其对称中心对称中心线线和圆柱和圆柱轴线。轴线。最右边最右边的素线的素线最后边最后边的素线的素线15a(a)abbb(3)(3)圆圆柱表面取点柱表面取点曲面上确定点和线曲面上确定点和线:确定要取的点、线在曲确定要取的点、线在曲面的哪一部分。面的哪一部分。判断点、线的可见性。判断点、线的可见性。注意：注意：点、点、线投影可见线投影可见性与曲面部位的可见性性与曲面部位的可见性相同相同。cc(c)例例3.1 3.1 已知圆柱面上的点已知圆柱面上的点A、B、C的的V面投影面投影a、b、c ,求作它们的求作它们的H、W 面的面的投影。投影。16 圆锥圆锥面由直线绕与它相交的轴线旋转一周而成。面由直线绕与它相交的轴线旋转一周而成。该斜直该斜直线为圆锥的线为圆锥的母母线。线。圆圆锥锥顶顶点点和和底底边边圆圆上上任任意意一一点点的的连连线线为为圆圆锥锥的的素素线。线。即母线在回转面上的任意位置。即母线在回转面上的任意位置。(1)(1)圆圆锥的形成锥的形成 在在三三面面投投影影体体系系中中圆圆锥锥的的底底面一般为投影面平行面。面一般为投影面平行面。3.3.圆圆锥锥sA直母线直母线 素线素线17圆锥的投影分析圆锥的投影分析 圆锥圆锥轴线为铅垂线，底轴线为铅垂线，底面为水面为水平面。平面。V面面投影投影为为等腰三角形等腰三角形，三，三角形的两腰分别是圆锥最左、角形的两腰分别是圆锥最左、最右素线即圆锥面前后分界最右素线即圆锥面前后分界的转向轮廓线的投影。的转向轮廓线的投影。(2)(2)圆圆锥的投影分析及画法锥的投影分析及画法 W面面投影投影为为等腰三角形等腰三角形，三，三角形的两腰分别是圆锥最前、角形的两腰分别是圆锥最前、最后素线即圆锥面左右分界最后素线即圆锥面左右分界的转向轮廓线的投影。的转向轮廓线的投影。圆锥面的三个投影都没有圆锥面的三个投影都没有积聚积聚，其，其H面面投影与底面的投影与底面的H面面投影投影重合。重合。最左边素最左边素线的投影线的投影最后面素最后面素线的投影线的投影最右边素最右边素线的投影线的投影最前面素最前面素线的投影线的投影18ca 圆锥的画法圆锥的画法画画俯视图俯视图的对称中的对称中心线及轴线的正面、侧面投影（细点画线）。心线及轴线的正面、侧面投影（细点画线）。画画俯视图的圆和底面的其他投影。俯视图的圆和底面的其他投影。按按圆锥体的高度确定顶点圆锥体的高度确定顶点S S的三面投影。的三面投影。sabsdbdsc19(3)(3)锥锥面上面上取点取点素线法素线法求求点点A的的两两面投影。面投影。直接求得特殊直接求得特殊位位置点置点B。例例3.2 3.2 已知点已知点A、B的的V面投影，求另两面投影。面投影，求另两面投影。(a)ab（a）ccbsssb20纬圆法纬圆法求点求点A的两面的两面投影投影例例3.3 3.3 已知点已知点A的的V面面投影，求另两面投影。投影，求另两面投影。(a)a（a）sss21 球球面面由圆母线绕由圆母线绕其直径为其直径为轴线旋轴线旋转而转而成。成。(1)(1)圆圆球的形成球的形成4.4.圆圆球球圆圆球的投影分析球的投影分析(2)(2)圆圆球的投影分析及画法球的投影分析及画法圆球的三个投影均为大小圆球的三个投影均为大小相等的圆相等的圆。22H面投影的轮廓圆是上、下面投影的轮廓圆是上、下两半球面可见与不可见的分两半球面可见与不可见的分界界圆圆的投影，的投影，在球的上下对在球的上下对称面上称面上。W面投影的轮廓圆是左、面投影的轮廓圆是左、右右两半球面可见与不可见的分两半球面可见与不可见的分界圆的投影界圆的投影，在球的左右对在球的左右对称面上称面上。V面投影的轮廓圆是前、面投影的轮廓圆是前、后半后半球面可见与不可见分界线的投球面可见与不可见分界线的投影影，在球的前后对称面上在球的前后对称面上。23圆球圆球的画法的画法分别用细点画线画出对称中心线，确定球心的三面投影。分别用细点画线画出对称中心线，确定球心的三面投影。画画出三个与球等直径的圆。出三个与球等直径的圆。24(3)(3)圆圆球面上的点球面上的点A、C两点在两点在转向轮廓线上转向轮廓线上可直接求得。可直接求得。点点B用用纬圆纬圆法作法作水平圆求水平圆求得。得。例例3.4 3.4 已知圆球面上点已知圆球面上点A、B、C的的V面投影，面投影，求其另两面投求其另两面投影。影。ca(c)baca(b)b253.3 3.3 基本几何体投影小结基本几何体投影小结1.1.几几种常见的平面立体种常见的平面立体四棱柱四棱锥四棱台三视图立体图262.2.几几种常见的曲面立体种常见的曲面立体圆柱圆锥圆球三视图立体图273.3.基基本体投影画法要点本体投影画法要点(1)(1)平面立体平面立体的投影的投影 平面平面立体是由平面所围成立体是由平面所围成的立体的立体，画平面立，画平面立体的三视图就是画这些平面的投影。体的三视图就是画这些平面的投影。(2)(2)回回转体的投影转体的投影回回转面的外形转向轮廓线是回转面上可见与转面的外形转向轮廓线是回转面上可见与不可见的分界线，其投影用粗实线画出。不可见的分界线，其投影用粗实线画出。回回转轴的投影用细点画线绘制，回转轴的积转轴的投影用细点画线绘制，回转轴的积聚性投影用垂直和水平的细点画线的交点表聚性投影用垂直和水平的细点画线的交点表示。示。283.4 3.4 平面与立体表面相交平面与立体表面相交1.1.平平面与立体表面相交的基本概念面与立体表面相交的基本概念平面与立体表面相交，即立体被平面截切，该平面称为平面与立体表面相交，即立体被平面截切，该平面称为截平面。截平面。立体表面产生的交线称为立体表面产生的交线称为截交线。截交线。截交线围成的图形称为截交线围成的图形称为截面截面或或截断面截断面。截平面截平面截交线截交线截断面截断面292.2.平平面与平面立体表面相交面与平面立体表面相交截交线的构成截交线的构成：平面多边形平面多边形，边边是截平是截平面与立面与立体表面的体表面的交线交线，或两截平面交线；边或两截平面交线；边的的两端点两端点是棱线与截平面的是棱线与截平面的交点，交点，或或两截两截平面交线与立体表面的平面交线与立体表面的交点交点。求平面立体截交线的一般步骤：求平面立体截交线的一般步骤：分析分析 平面平面立体表面性质及投影特性，分析截平面数目（注立体表面性质及投影特性，分析截平面数目（注意相邻两截面所产生的交线）与哪些棱线相交。意相邻两截面所产生的交线）与哪些棱线相交。求求截交线截交线 用用线面交点法求出截交线各端点，连成截交线。线面交点法求出截交线各端点，连成截交线。判断可见性判断可见性 截截交线段的可见性与棱面的可见性相同。交线段的可见性与棱面的可见性相同。完成截后立体投影。完成截后立体投影。30分析分析 P与五棱柱的四个棱面及与五棱柱的四个棱面及顶面相交，故截交线为五顶面相交，故截交线为五边形，其边形，其V面投影与平面面投影与平面P的积聚投影重合的积聚投影重合。H、W面面投影仍为五投影仍为五边边形。（正垂形。（正垂面：面：一斜两类似一斜两类似）作图作图 确确定截交线的定截交线的V 面面投影投影。求求截交线的截交线的H 面面投影投影。求求截交线的截交线的W 面面投影投影。判断可见性判断可见性,完成完成投影。投影。求求断面断面实形。实形。例例3.5 3.5 正垂面正垂面P切五棱柱，求切五棱柱，求作截切作截切后的三面投影。后的三面投影。1(2)45(3)P43215yyyy2135421311151413134例例3.6 3.6 已已知正三棱锥知正三棱锥SABC及水平面及水平面P、正垂面、正垂面Q，求作三棱锥，求作三棱锥被被P、Q两平面截切后的三面投影。两平面截切后的三面投影。分析分析ABC是水平面，是水平面，SAC是侧垂面。是侧垂面。P、Q 分别与三个棱面、分别与三个棱面、两条棱线两条棱线相交，截交线为两相交，截交线为两个四边形；个四边形；P、Q均均垂直于垂直于V面，故截交线面，故截交线的的V投影与切投影与切口的积聚投影口的积聚投影重合。重合。作图作图 作作出三棱锥的出三棱锥的W面面投影投影。定定出截交线各顶点的出截交线各顶点的V面投影。面投影。求求P面面的的截交截交线。线。求求Q面面的的截交线。截交线。处处理轮廓线，完成全图。理轮廓线，完成全图。77 QPs cb a sabcsba(c)1 2 3(4)5 6 321(4)565126323.3.平平面与曲面立体表面相交面与曲面立体表面相交截交线的构成截交线的构成：曲面截交线上的点：曲面截交线上的点是素线与截平面是素线与截平面的交点。的交点。分析分析 回转回转体的表体的表面投面投影特性；确影特性；确定截平面数目（注意相邻两截面所产生的定截平面数目（注意相邻两截面所产生的交线）和空间位置。交线）和空间位置。求截交线求截交线 用用线面交点法，求出截交线线面交点法，求出截交线一系列点，连成截交线。一系列点，连成截交线。确确定定特殊点特殊点 控制控制曲线形状的点、轮廓线曲线形状的点、轮廓线上的点、截交线的极值点。上的点、截交线的极值点。插插补补中间点中间点 特殊特殊点之间的点。点之间的点。判断可见性判断可见性 截截交线段可见性与所属回交线段可见性与所属回转面部位的可见性相同。转面部位的可见性相同。完完成截后成截后立体投影。立体投影。截交线共有点素 线截平面求曲面立体截交线的一般步骤：求曲面立体截交线的一般步骤：33(1)(1)平平面截切圆柱面截切圆柱投影图投影图截平面的位置截平面的位置圆柱表面截交圆柱表面截交线的形状线的形状立体图立体图垂直于圆柱轴线垂直于圆柱轴线平行于圆柱轴线平行于圆柱轴线两平行直线两平行直线圆圆倾斜于圆柱轴线倾斜于圆柱轴线椭圆椭圆341 6(7)分析分析 P是正垂面是正垂面,截交线的空间截交线的空间形状是椭圆，其形状是椭圆，其V面投影面投影与与P P面的投影重合面的投影重合，其，其H 面面投投影影与与圆柱面的积聚圆柱面的积聚投影投影圆重圆重合合,只需求作截交线椭圆的只需求作截交线椭圆的W 面面投影投影。作图作图 求求特殊点（特殊点（椭圆长、短轴椭圆长、短轴端端点及点及转向轮廓线上点转向轮廓线上点）。）。求求一般点。一般点。判判断可见性，连线。断可见性，连线。整整理轮廓线。理轮廓线。例例3.7 3.7 已知圆柱及截平面已知圆柱及截平面P P的投影，求截交线的投影。的投影，求截交线的投影。平面与圆柱相交平面与圆柱相交1 3 3242(4)132455(8)567868735两两种常见的圆柱切口的投影图：种常见的圆柱切口的投影图：VV36(2)(2)平平面截切圆锥面截切圆锥相交两直线相交两直线抛物线抛物线圆圆椭圆椭圆双曲线双曲线通过锥顶通过锥顶的位置的位置截平面截平面平行于一条素线平行于一条素线=垂直于圆锥轴线垂直于圆锥轴线与所有素线相交与所有素线相交 平行于两条素线平行于两条素线=0投影图投影图立体图立体图圆锥面截圆锥面截交线形状交线形状37分析分析 截截交线是一椭圆交线是一椭圆,V面投面投影积聚成直线，影积聚成直线，W、H面投面投影为椭圆。影为椭圆。圆圆锥最左、最右素线与锥最左、最右素线与截平面的交点，是椭圆长截平面的交点，是椭圆长轴的端点，椭圆的短轴垂轴的端点，椭圆的短轴垂直且平分长轴。直且平分长轴。作图作图 求求特殊点（特殊点（椭圆长、短轴椭圆长、短轴端点及端点及转向轮廓线上点转向轮廓线上点）。）。求求一般点。一般点。判判断可见性，连线。断可见性，连线。整整理轮廓线。理轮廓线。例例3.8 3.8 已知圆锥及截平面已知圆锥及截平面P P 的投影，求截交线的投影。的投影，求截交线的投影。积聚线中点积聚线中点为短轴端点为短轴端点1 1 111 12 2 2 2 223 3 (4 4 )334 4 3 34 45 5 (6(6 )6 65 5556 6 38P分析分析 P是水平面，是水平面，平行于圆锥平行于圆锥轴线轴线，截交线是双曲线。截交线是双曲线。截截交线：在交线：在V面的投影与面的投影与P的投影重合，其的投影重合，其W面的投面的投影也与影也与P重合，仅需求重合，仅需求H面面的投影。的投影。作图作图 求求特殊点（特殊点（底底圆及圆及转向转向轮廓线上点轮廓线上点）。）。求求一般点。一般点。判判断可见性，连线。断可见性，连线。整整理轮廓线。理轮廓线。例例3.9 3.9 已知圆锥及截平面已知圆锥及截平面P的投影，求截交线的投影。的投影，求截交线的投影。adb(c)caddabbc39平面与球面的截交线是圆平面与球面的截交线是圆,表现为以下三种形式：表现为以下三种形式：当截平面当截平面平行平行于投影面时，截交线的投影为于投影面时，截交线的投影为圆圆当截平面当截平面垂直垂直于投影面时，截交线的投影为于投影面时，截交线的投影为直线直线当截平面当截平面倾斜倾斜于投影面时，截交线的投影为于投影面时，截交线的投影为椭圆椭圆(4)(4)平平面截切圆球面截切圆球40PVagg(k)yyy1y1yybekbac (d)cdafefbkcdg分析分析 正正垂面垂面P切圆球，截交切圆球，截交线的线的V面投影积聚面投影积聚在在P PV V上上。在在H、W面上投影为椭圆。面上投影为椭圆。作图作图 求求特殊点（特殊点（椭圆长、短轴椭圆长、短轴端端点及点及轴线上的轴线上的点点）。）。判判断可见性，断可见性，连线。连线。整整理理轮廓线。轮廓线。例例3.10 3.10 圆球被圆球被正垂面截取左上角，补正垂面截取左上角，补全圆球全圆球被被截切后截切后的的H、W面投影面投影。e (f)41分析分析 P面面H，球面，球面上的截交线上的截交线是是水平圆弧。水平圆弧。Q面面W，球面上的截交线是侧，球面上的截交线是侧平圆弧。平圆弧。两两条截交线的各投影均为直线段条截交线的各投影均为直线段或圆或圆 弧弧，不必求一般点。，不必求一般点。作图作图 求求Q面的面的截交线截交线;求求P面的面的截交线截交线;整整理轮廓线。理轮廓线。Q QV Vb(d)cadcb(a”)acbdP PV Ve(f)ef”e”f例例3.11 3.11 已知带切口半球已知带切口半球的的V面面投影投影，求截交线并完成半，求截交线并完成半球的三面投影。球的三面投影。42相贯相贯线线 立体相交后立体相交后表面产表面产生的交线。生的交线。性质性质：(表面性、共有性、封闭性表面性、共有性、封闭性)相相贯线是相交两回转体表面的共有贯线是相交两回转体表面的共有线。相贯线上的点是两回转体表面线。相贯线上的点是两回转体表面的共有点。的共有点。一般一般情况下相情况下相贯线是贯线是一条封闭一条封闭的空间的空间曲线，特殊情况下是平面曲线或直线。曲线，特殊情况下是平面曲线或直线。画法画法：相贯线相贯线共有线共有线一系列共有点一系列共有点1)1)利用积聚性取利用积聚性取点法。点法。2)2)辅助平面法。辅助平面法。3.5 3.5 两回转体表面相交两回转体表面相交圆台圆台圆柱圆柱相贯线相贯线1.1.相相贯线的基本概念贯线的基本概念43相贯相贯线线 立体相交后立体相交后表面产生的交线。表面产生的交线。柱柱相贯柱锥相贯柱球相贯柱环相贯44求正交两圆柱的相贯线求正交两圆柱的相贯线 相贯线的水平相贯线的水平投影投影重合在直立圆柱积聚重合在直立圆柱积聚性投影性投影圆圆上。上。？柱与柱柱与柱根据两圆柱面具有积聚性，得相贯线的根据两圆柱面具有积聚性，得相贯线的两个投影，只需求另一投影（求一系列共有点）。两个投影，只需求另一投影（求一系列共有点）。相贯线相贯线的侧的侧面投影面投影重合在水平圆柱积聚重合在水平圆柱积聚性投影的性投影的圆弧圆弧上，上，只只有正面投影需要求。有正面投影需要求。分析分析 直径不同的两圆柱直径不同的两圆柱轴线垂直相交，相贯轴线垂直相交，相贯线线为前后、左右对称为前后、左右对称的空间曲线。的空间曲线。例例3.123.12 补全两正交圆柱相贯线的补全两正交圆柱相贯线的三三面投影。面投影。45求正交两圆柱的相贯线求正交两圆柱的相贯线 求特殊点求特殊点 作图步骤作图步骤1342131(3)242（4）求出求出相贯线的最左点相贯线的最左点 和最右点和最右点的三的三面投影。面投影。求出相求出相贯线的最前点贯线的最前点和最后点和最后点的三面投影。的三面投影。46求正交两圆柱的相贯线求正交两圆柱的相贯线12341 31（3）242（4）求一般点求一般点 在在已知相贯线的侧面已知相贯线的侧面投影上任投影上任取取55、66求得求得5 5、6 6，55、66。5656 5（6）判判别可见性，光滑连接别可见性，光滑连接相贯线相贯线的投影的投影 相相贯线的正面投影左右、贯线的正面投影左右、前后对称，后面与前面的相前后对称，后面与前面的相贯线重影，只需按顺序光滑贯线重影，只需按顺序光滑连接前面各点的投影。连接前面各点的投影。47 正交正交两圆柱相贯，立体表面相交有三种形式：一种是立体两圆柱相贯，立体表面相交有三种形式：一种是立体的的外表面外表面相交相交;一种是一种是外表面与内表面外表面与内表面相交相交;一种是一种是内表面与内表面与内内表面表面相交。相交。实实相贯实实相贯实虚相贯实虚相贯虚虚相贯虚虚相贯484123568 7例例3.133.13 已知圆柱与已知圆柱与圆锥正交圆锥正交，完成其完成其H面投影。面投影。作图作图:求求特殊特殊点点1 1、2 2、3 3、4 4。求一般点求一般点5 5、6 6、7 7、8 8。判断可见性，依次光滑连接判断可见性，依次光滑连接各点。各点。补补画画H面投影。面投影。49 28(9)例例3.14 3.14 求求两两曲曲面面立立体体的的相相贯贯线线，并并求出所有的特殊点。求出所有的特殊点。1 2(3)4(5)6(7)1 10 7 6 8 9作图作图:求求特殊点（前后特殊点（前后锥面）。锥面）。求一般点。求一般点。判判断可见性，依次光滑连接断可见性，依次光滑连接各点。各点。补补画画H面投影。面投影。410 5 350 圆柱与半球的相贯线圆柱与半球的相贯线辅助平面辅助平面P P 辅助平面法辅助平面法 作作一辅助平面一辅助平面P，使它与两回转体都相交，使它与两回转体都相交，求出求出P面面与两回转体的截交线，而两回转体表面截交线的交与两回转体的截交线，而两回转体表面截交线的交点点（三面共点）（三面共点）即为相贯线上的点。利用即为相贯线上的点。利用一系列一系列辅助平面求辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点，出两回转体表面上的若干共有点，从而求出从而求出相贯线的投影。相贯线的投影。2.2.辅辅助平面法助平面法求相贯线求相贯线51例例3.153.15 求圆台求圆台和半球的相贯线，补和半球的相贯线，补全其全其W面投影。面投影。圆台和半球相贯作图作图:特特殊殊点点1 1、2 2、3 3、4 4。一一般般点点5 5、6 6。判判断可见性，依次光断可见性，依次光滑连接滑连接各点。各点。补补画画W面投影。面投影。523.3.相相贯线的特殊情况贯线的特殊情况(1)(1)两两回转体具有公共轴线时回转体具有公共轴线时(过球心过球心),),其相贯线为垂直其相贯线为垂直轴线的圆。轴线的圆。53(2)(2)两两曲面立体相交，一般情况下相贯线为空间曲线，曲面立体相交，一般情况下相贯线为空间曲线，但特殊情况下可能是平面曲线或直线。但特殊情况下可能是平面曲线或直线。当两回转体相交并公切于一球时，相贯线为平当两回转体相交并公切于一球时，相贯线为平面曲线（椭圆）。面曲线（椭圆）。54(2)(2)两两曲面立体相交，一般情况下相贯线为空间曲线，曲面立体相交，一般情况下相贯线为空间曲线，但特殊情况下可能是平面曲线或直线。但特殊情况下可能是平面曲线或直线。当当两圆锥共锥顶时，相贯线为直线；两圆柱轴线两圆锥共锥顶时，相贯线为直线；两圆柱轴线平行时，相贯线是直线和圆弧。平行时，相贯线是直线和圆弧。55
