定积分学习指导书.doc

第五章 定积分本章的教学与考试基本要求1 理解定积分的概念、性质、几何意义；2 理解积分上限函数及其性质，微积分基本定理；3 会用定积分的换元法与分部积分法求定积分；4 会求积分区间为无穷区间的广义积分；5 会用微元法求有关的面积和体积51定积分的概念与性质一、 主要内容回顾表定积分的概念定义设在上有界，将区间任意分成段：记，在每一小区间上任取一点作乘积并作和式记，如果对的任意分法以及的任意取法，极限总有确定的值，则称函数在区间上可积,并称该极限为在区间上的定积分记为，即几何意义（1）当时，表示由曲线，直线以及轴围成的曲边梯形的面积（）当时，表示相应的曲边梯形面积的负值可积函数类(1) 若在上连续,则在上可积(2) 若在上有界,且只有有限个间断点,则在上可积(3) 若在上单调有界,则在上可积性质1定积分只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的记法无关即性质2(1)(2)线性运算(1)(2) (为常数)区间可加性其中为任意大小关系有序性若在上满足，则估值不等式设在上有最大值和最小值，则积分中值定理若在上连续,则至少存在一点,使二、本节基本题型及例题题型I 用定积分的定义，求的值解 将区间分成段 其中 在每一个小区间取右端点作积分和式然后取极限得 又故题型II估计下列各积分的值：(1)； (2)解 (1)设则 故在上单调增加,其最大与最小值分别为, 于是，由估值不等式得 ， 即 (2) 当 时 ， ，得 故 即题型III比较下列各对积分的大小 (1) 与； (2)与解 (1) 当时，则 (2) 令，则（） 故当 时 即 从而 三、习题选解1 利用定积分定义计算：（）；（2）（是常数）；（）解（） 因为被积函数在上连续,故函数可积,将等份,每个小区间的长度为,分点将取在小区间的右端点,即；于是和式 所以 （2）因为被积函数在上连续，故函数可积将等份每个小区间的长度为，分点将取在小区间的右端点即；于是和式所以（）因为被积函数在上连续,可知函数可积,将等份,每个小区间的长度为,分点将取在小区间的右端点,即；于是和式 所以 令，则时则上式利用定积分的几何意义说明下列等式：（）；（）；（）解（）由直线，轴所围成的面积为图中阴影部分， 图而该部分的大小为，故有（）由曲线所围成的面积为图中阴影部分， 图而该部分的大小为故有（）由曲线与轴所围成的面积为图中阴影部分，其中I、II两部分的大小相等，符号相反故为零 图故有根据定积分的性质，说明下列每组积分哪一个的值大：（）与；（）与；（）与；（）与解（）令因为，故即，有（）令则故单调上升又，所以即则有（）令则，故单调上升又，所以即故有（）令，则，故单调上升，又，所以即故有估计下列各积分的值（）；（）；（）解（）因为在上连续，所以在该区间上有最大值和最小值，且，所以有，即（）因为在上连续，所以在该区间上有最大值和最小值，且，所以有，即（）因为在上连续，所以在该区间上有最大值和最小值，且，所以有即5.2微积分学的基本公式一、主要内容回顾表5.2微积分学的基本公式积分上限函数及其导数(原函数存在定理)(1) 在上连续，则积分上限函数在上可导，且(2) 若在上连续，在上可导，且则在上可导，且(3) 若在上连续，在上可导，且则在上可导，且牛顿莱布尼兹公式若在上连续，且，则二、基本题型及例题题型I计算题1求下列函数的导数（1）； （2）解（1） （2）；由参数方程求导法则，得2求由所确定的隐函数对的导数解 两边对求导，故题型II求下列极限：（1） ； （2）解（1）方法一 由中值定理，其中在与之间 当时， 则 方法二 由洛必达法则，得 （2）由洛必达法则及无穷小的替代法，得题型III求下列定积分（）； （）解（） （） 三、习题选解.求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）解（）（）（） （） .求由参数表达式所确定的函数对的导数解 .求由所决定的隐函数对的导数解 上式两边同时对求导，有 得 .计算下列定积分：（1）； (2)；（3）；（4）；(5)； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；解（）（）（） （）(5) .（6）.(7) .（8）.（9）.(10) .5.设为正整数，试证下列各题：（1）； （2）；（3）； （4）.证（1）. （2）. （3）. （4）.6.设及为正整数，且，试证下列各题：(1)； (2)；(3).证 （1） .（2） .（3） .5.3 定积分的换元法一、主要内容回顾表5.4定积分的换元法换元法设函数在上连续，函数满足（1），；（2）在（或）上具有连续导数，且.则.二、基本题型及例题题型I 计算题(1)求；(2)求；(3) 求,求；(4)已知,求.解 (1)令,则,.当时,当时. 则. (2)令,则,当时,当时. 则 .(3)令,则,当时,当时.则 .(4)令，即，则.由，得.则.题型II 证明题（1）证明；（2）证明.其中为连续函数.证 （1）左边. 令，即. 则 左边右边.（2）因为 令 ，则 .三、习题选解1计算下列定积分(1)； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) ；(9) ； (10) ；(11) ； (12)；(13) ； (14) ；(15) ； (16) ；(17) ； (18) ；(19) ； (20) .解 (1).(2) .(3) .(4) .(5) .(6) . . 令,则当时,当时. . 又. 令,则当时,当时. .故.(7) . 令,则,当时,当时. .(8) 令,则,当时，；当时，. .(9)令,则,当时,当时.(10)令,则,当时,当时. .(11).(12)令,则,当时，；当时. .(13) .(14)令,则,当时，；当时，. .(15) .(16).(17)令,有. 所以，得,.从而.(18) .令，有.所以 得.(19) .(20) .2.利用被积函数的奇偶性,计算下列积分：(1)； (2) (3)； (4) .解 (1)因为为奇函数，所以.(2) 因为 为偶函数，所以 .(3) 因为 为偶函数，所以 .(4) 因为为奇函数,所以.3.试证明下述各式：(1)； (2) ；(3) ； (4) .证 (1) .对,令,则.从而 .(2) . 对,令,则. . .(3)令，则. 所以.(4)对,令,则.4.证明 设是以为周期的连续函数,则. 证 . 对,令,则,当时，；当时，. 即. 故.54 定积分的分部积分法一、主要内容回顾分部积分法设和在上具有连续导数，则 或 二、基本题型及例题题形I 计算题 （1） （2） （3） （4）求解（1） （2） （3） 则 （4） 由于则 题形II 利用递推公式计算积分求 （n为正整数） 解 又 由以上两等式可知所以同理而故三 习题选解计算下列定积分的值（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）(11) （n为正自然数） (12) 解（1） （2）（3） （4） （5） （6） （7） （8）（9） （10） 于是： （11） （n为正自然数） 解：已知 (其中第一式是为偶数的情况，第二式是为大于1的奇数的情况)其中当时，而（12） 5.5 积分区间为广义区间的广义积分一、主要内容回顾表5.5积分区间为广义区间的广义积分广义区间上的广义积分（1） 设在上连续，则.（2） 设在上连续，则 .（3） 设在上连续，则.若以上极限存在，则称广义积分收敛，否则发散.二、基本题型及例题题型I 填空题.(1) 的敛散性是_.(2) 的敛散性是_.解（1），所以发散. （2），所以收敛.题型II计算题.（1） ； (2) 解 （1）. （2） .三、习题选解1判定下列各积分的敛散性，如果收敛，则计算.（1） ； （2）；（3）； （4）（n为正整数）.解（1）因为.而.所以广义积分收敛，且.（2）.而 .所以广义积分收敛，且.（3） 任选一实数 c. . .从而有 .所以广义积分收敛.（4） .所以广义积分收敛.2讨论 的敛散性.解 .而.因此，当 时，广义积分收敛；当时，广义积分发散.5.6 定积分的几何应用一、主要内容回顾表5.6定积分的几何应用定积分的微元法一般地,若所求量与变量的变化区间有关，当划分成小区间时，所求量等于各小区间上找出所求量的部分量的近似值，然后以它作为被积表达式而得所求量的积分表达式.平面图形的面积（直角坐标系）（1）由曲线，（），轴所围的平面图形的面积为： （2）由曲线，（），（）轴所围成图形的面积为： 平面图形的面积极坐标系由曲线及射线围成的图形的面积为.旋转体的体积（1）由曲线与直线及轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的体积为，（2）由围成的曲边梯形绕轴旋转而成的立体体积为平行截面为已知的立体体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体垂直与一定轴的各个截面的面积为，则该立体可表示为，为立体在轴上的投影区间.二、基本题型及例题题型I计算题（1）求，轴及直线 所围成的图形的面积；（2）求所围成的图形的面积.解（1）如右图，以为积分变量，曲线. 则. （2） .（3）求由所围成的图形，分别绕轴及轴旋转而成立体的体积.解 . .习题选解1.求由所围成图形的面积.解 所围成图形的面积为.2.求由所围成的图形面积.解 .3.求由所围成图形的面积.解 解方程组：得交点为与. 其所围成的图形的面积为 .4.求两圆与的公共部分面积.解 解联立方程得两圆的交点，射线及极轴将图形分为四个部分由对称性有 .5.求三叶玫瑰线所围成的面积.解 所求图形的面积为 .6.求心形线所围成的面积.解 所求图形的面积为 .7.求由所围成的图形绕轴及轴旋转所产生的旋转体体积.解 平面图形绕轴旋转而产生的旋转体的体积为 . 其绕轴旋转而产生的旋转体的体积为 .8.用微元法证明：球缺的体积，其中为球缺的高，为球半径.证 如图，该球面可看作平面上的圆绕轴旋转而得，以为积分变量.对缺的体积为 .9.将抛物线在横坐标为与之间弧段与直线及轴所围成的图形（图5-25）绕轴旋转，问值等于多少时，旋转体的体积等于以绕轴旋转所生成的椎体体积.解 绕轴旋转所生成的椎体体积为 . 弧段在横坐标与之间的弧段与直线及轴围成的图形绕 轴旋转所的的体积为 .当即时，两者的体积相等.解方程得 .10.计算以半径为的圆为底，以行与底且长度等于该圆直径的线段为顶，高为的正劈椎体体积.解 如图，底圆的方程为，过轴上的点，而垂直于轴的截面是三角形，其底面边长为，高为，故截面面积为.由对称性，所求的体积为 .11.计算底面是半径的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积.解 如图，底圆的方程为，过轴上的点，而垂直于轴的截面是正三角形，其边长为，高为，故截面面积为由对称性知，所求体积为5.7 定积分在物理中的应用举例1.闸门的形状为等腰梯形，竖直地挡住水，闸门的两水平面的边长分别为200和50，高为10，且较长的上底与水面相齐，试计算水对闸门压力的大小.解 如图建立坐标系：轴取水平面并与上底处同一位置，轴垂直向下，则梯形腰的方程为 在区间的一段闸门条上，所受到水的静压力.从而总压力.2.洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，尺寸如下图5-30所示，当水箱装满水时，求水箱一个端面所受的压力.解 如图，取椭圆中心为原点建立坐标系，椭圆方程为 ， .位于区间上的压力微元为所求总压力为 （用奇偶性） （令） .3. 水坝中有一直立的矩形闸门，宽20，高16，试求下述情况下闸门所受的压力， 闸门的上边与水面平齐时； 水面在闸门的顶上8时.解 闸门的上边与水面平齐时， 如图建立坐标系，位于微区间的一段闸门条上，所受到的水的静压力 . 从而总压力 . 水面在闸门的顶上8时， 如图建立坐标系，位于微区间的薄片所受的微压力为 从而总压力 .4. 一圆台形水池，深15，上下面分别为20和10，如果将其中的水全部抽尽，需作多少功？解 如图建立坐标系，考察微区间的薄层水，将它看作圆柱形薄片，有 .体积微元.设水的高度为1，重力加速度为，则将这薄层水吸出地面所做的微元功为 .于是将池水吸尽所做的功为 .5.今有一弹簧，在弹性限度内，已知每拉长1需要用2的力，试求将此弹簧由平衡位置拉长50时，弹性力所要作的功。解 弹簧在拉伸过程中，需要的力与伸长量成正比，即 （为反比例常数）. 已知，解得：.则将此弹簧由平衡位置拉长50时，弹簧力所做的功为 .6. 有一横截面为，深为的圆柱形水池，现要将池中盛满的水全部抽到高为的水塔口来，需作多少功？解 如图建立坐标系，考察微区间的薄层水，其体积微元. 设水的密度为1，重力加速度为，则将这薄层水吸出池面所作的微元功为 . 于是将池水吸尽所做的功为 .7.半径为的球沉入水中，它与水面相切，球的密度为1，现将球从水中取出到水面要做多少功？解 如图建立坐标系，故欲将位于区间的球提升到的位置，其前一段位于水中时不需作功（重力与浮力相同），而作功从离开水面时才开始，由于圆周方程为 ， .于是.复习题五选解 三、 计算 （1）求极限，其中是连续函数； （2）求由方程所确定的隐函数的微分.解 (1) .(2) . .四、求定积分（1）； （2） ；（3） ； （4）.解 （1）.（2）令. .（3）令 .（4） .五、 求函数在上的最的植和最小值.解 的驻点.计算加以比较.所以最大植为,最小值为.六、 求位于曲线下方，该曲线过原点的切线的左方及x轴上方之间的图形的面积.解 由于时，所以x轴是的水平渐近线.设的过原点的切线为切点为.则.切线 .将代入和. 有.从而.七、求由与所围成的封闭平面图形分别绕x轴， y轴旋转一周得到的旋转体体积.解 .八、 设连续函数 ，证明.证 设 .则 .即 ，故.