信号分析的工程应用.ppt

信号分析与处理第五章 信号分析的工程应用讲授：谷立臣THE ANALYSIS AND PROCESS OF MECHANIC TEST SIGNAL 本章主要内容本章主要内容v 5.1 5.1 信号幅值域分析及工程应用信号幅值域分析及工程应用v 5.2 5.2 相关分析及应用相关分析及应用v 5.3 5.3 频谱分析及应用频谱分析及应用v 5.4 5.4 双信号分析及应用双信号分析及应用v 5.5 5.5 倒频谱分析及应用倒频谱分析及应用5.1.15.1.1信号的幅值特征参数信号的幅值特征参数 在通用机械中在通用机械中,机械设备的载荷变化大多属于低频性质机械设备的载荷变化大多属于低频性质,低频信号对机低频信号对机件损伤取决于载荷幅值大小及出现的次数件损伤取决于载荷幅值大小及出现的次数,而与载荷幅值变化的速率无关而与载荷幅值变化的速率无关.因此必须对信号的幅值特征参数进行研究因此必须对信号的幅值特征参数进行研究.信号的幅值特征参数：信号的幅值特征参数：1.1.载荷信号的峰值和谷值载荷信号的峰值和谷值 2.2.载荷信号幅值的平均值载荷信号幅值的平均值,方差和标准差方差和标准差图图5 51 1 最大值与平均值最大值与平均值5.1.25.1.2信号幅值的分布特性信号幅值的分布特性 概率密度和概率分布函数概率密度和概率分布函数 (a)(a)输入信号输入信号 (b)(b)信号幅值的概率密度函数信号幅值的概率密度函数 (c)(c)信号幅值的概率分布函数信号幅值的概率分布函数五个简型函数的概率密度函数图五个简型函数的概率密度函数图5.1.3 幅值域分析的工程应用幅值域分析的工程应用 1.1.利用振幅概率密度和累积该分布图进行产品质量控制利用振幅概率密度和累积该分布图进行产品质量控制,研究材料研究材料的强度和控制设备的工作稳定性的强度和控制设备的工作稳定性 振幅概率分布振幅概率分布,是随机信号中是随机信号中最基本又很重要的分析内容最基本又很重要的分析内容,它描它描述了信号瞬时值的概率述了信号瞬时值的概率,在随机信在随机信号分子中得到广泛应用号分子中得到广泛应用.图图57(b)57(b)是根据图是根据图57(a)57(a)所示的时间历程所示的时间历程分析出的各振幅出现的频率的结分析出的各振幅出现的频率的结果果.图图57(a)57(a)是相应的累计概率是相应的累计概率分布图分布图.图图5 57 7 振幅概率密度分布图振幅概率密度分布图 例例5.15.1 受随机力作用杠杆中的应力受随机力作用杠杆中的应力.图图5 58 8所示的腭式碎石机所示的腭式碎石机,腭板腭板DEDE在轧碎石块时在轧碎石块时,石块对腭板作用着随机力石块对腭板作用着随机力(即作用力的大小和位即作用力的大小和位置是随机的置是随机的),),因此因此D,ED,E铰的反力铰的反力,DE,DE杆上各点的应力和挠度都是随机的杆上各点的应力和挠度都是随机的,只有知道其应力的概率密度函数只有知道其应力的概率密度函数,才能计算应力概率统计的特征才能计算应力概率统计的特征(均值均值,方差等方差等),),从而进行可靠性设计从而进行可靠性设计.图图5 58 8 腭式碎石机腭式碎石机 例例5.25.2 精密仪器或易碎品的包装隔振精密仪器或易碎品的包装隔振.图图5 59 9所示精密仪器所示精密仪器,在用车辆运输时需要进行包装隔振在用车辆运输时需要进行包装隔振,以减轻冲击和振动的影响以减轻冲击和振动的影响.图59 精密仪器的运输 例例5.35.3 受随机载荷作用的梨杆设计受随机载荷作用的梨杆设计.图图5 51010所示为拖拉机牵引所示为拖拉机牵引的梨耙的梨耙.图图5 51111为简化以后的梨杆：为简化以后的梨杆：图图5 51010图图5 51111 2.2.利用信号幅值分布规律在机械故障诊断中的应用利用信号幅值分布规律在机械故障诊断中的应用.分布规律可以直接用于机械故障诊断分布规律可以直接用于机械故障诊断.图图5 513(a)13(a)与与(b)(b)是车床变速是车床变速箱的噪音概率分布曲线箱的噪音概率分布曲线.新旧两只变速箱的分布规律有着明显的差异新旧两只变速箱的分布规律有着明显的差异.图图5 513 13 车床变速箱噪音分布规律车床变速箱噪音分布规律 2.2.利用信号幅值分布规律研究产品的性能利用信号幅值分布规律研究产品的性能 图图5 51414所示所示,冲击式压路机采用多边形凸轮形状的碾轮冲击式压路机采用多边形凸轮形状的碾轮,在牵引下在牵引下,其其凸起的棱角抬起与落下对地面产生一个势能和动能联合冲击压实力凸起的棱角抬起与落下对地面产生一个势能和动能联合冲击压实力,同同时由于多边碾轮的蓄能器作用时由于多边碾轮的蓄能器作用,加大了对地面的冲击加大了对地面的冲击,碾轮每碾一周碾轮每碾一周,对对地面冲击三次地面冲击三次,在牵引车的连续牵引下在牵引车的连续牵引下,完成对路面的压实任务完成对路面的压实任务.1.1.被压实路面被压实路面 2.2.碾轮总成碾轮总成 3.3.摆架总成摆架总成 4.4.轮轴总成轮轴总成 5.5.机架总成机架总成 6.6.缓冲弹簧缓冲弹簧 7.7.拉压力传感器拉压力传感器 8.8.履带式牵引机履带式牵引机 图图5 514 14 冲击式压路机牵引性能实验原理图冲击式压路机牵引性能实验原理图 图图5 515(a)15(a)牵引力随速度变化曲线牵引力随速度变化曲线 图图5 515(b)15(b)牵引力幅值概率分布规律牵引力幅值概率分布规律图图5 515 15 牵引力幅值分布规律牵引力幅值分布规律表表5 51 1 概率密度分布信号特征及机械故障的关系概率密度分布信号特征及机械故障的关系续表续表5.2 5.2 相关分析及应用相关分析及应用 5.2.1 5.2.1 相关函数的物理意义相关函数的物理意义 相关函数可以描述两个信号之间的关系或其相似程度相关函数可以描述两个信号之间的关系或其相似程度;也可以描述也可以描述同一信号的现在值与过去值的关系同一信号的现在值与过去值的关系;或者根据过去值或者根据过去值,现在值来估计未来现在值来估计未来值值.图图5 51616表示了表示了x(t)x(t)与与y(t)y(t)的三组波形的相关程度分析的三组波形的相关程度分析图图5 516 16 波形的相关程度分析波形的相关程度分析 从直观上很难发现 与 之间的相似程度，但也不能说它们之间毫无关系，如何定量地测量信号之间的相关（或相似）程度？第4章已在统计的意义上得出：并指出：描述信号 与其自身延迟 的线性相关程度；描述信号 与另一信号 延迟的线性相关程度；如何定量地衡量 与 之间的相似程度，利用条件极值原理，使下式误差的能量最小：为使 最小，令 ，解出 并代入上式得：相对误差能量：称为自相关函数，由上式可以看出：越大，相对误差能量 越小，说明 在某时移时与 的波形越相似，因此可以用 或 作为信号 自身在时移中的相关性度量。连续自相关函数定义：离散自相关函数定义：实际应用中，定量的描述两个信号之间的相似性更为重要。两个信号之间可能产生时差 ,为了表示信号 在某时刻 的波形与信号 在未来某时刻 的波形的相似程度，就需要研究两个信号在时移中的相关性：称为互相关函数，用求自相关系数的方法，同样可以求出：5.2.2 5.2.2 相关函数的性质相关函数的性质 根据定义根据定义,相关函数有如下性质相关函数有如下性质:1)1)相关函数是相关函数是的偶函数的偶函数,满足下式满足下式:互相关函数不是互相关函数不是的偶函数的偶函数,也不是奇函数也不是奇函数,而满足下式而满足下式:2)2)当当=0=0时时,自相关函数具有最大值自相关函数具有最大值,对能量信号对能量信号:对功率信号对功率信号:显然显然,在在=0=0点点,功率信号的平均功率就等于自相关函数功率信号的平均功率就等于自相关函数,即即如果均值如果均值x x=0,=0,则根据式则根据式 ,此信号的平均功率此信号的平均功率,自相关函数自相关函数,方差都相符方差都相符,即即 .从相似性角度考虑从相似性角度考虑,=0,=0表示信号与其自表示信号与其自身的相似程度身的相似程度,显然应最大显然应最大.(5(513)13)(5(514)14)3)3)随机信号自相关函数当随机信号自相关函数当 时时,收敛到均值的平方收敛到均值的平方即即:当均值为零时当均值为零时,自相关函数收敛到零自相关函数收敛到零.4)4)周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号,不收不收敛敛,但不具有原信号的相位信息但不具有原信号的相位信息.例如例如:正弦信号正弦信号 的自相关函数为的自相关函数为:5)5)两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号,但保留了信号的相位差信息但保留了信号的相位差信息.6)6)互相关函数互相关函数 为有界函数为有界函数,其位界于其位界于在零均值情况下在零均值情况下:例例5.45.4 设有一线性系统设有一线性系统S,S,现测出系统的激励信号为现测出系统的激励信号为 ;输出信号为输出信号为 ,.,.其互相关函数为其互相关函数为:其中其中:如如 为负值为负值,说明信号说明信号 滞后滞后 ;如如 为正值为正值,说明信号说明信号 超前超前 ;由上式可见由上式可见:(1)(1)亦为周期函数亦为周期函数,其周期与其周期与 ,相同均为相同均为:(2)(2)两个周期信号有相同频率分量时则相关两个周期信号有相同频率分量时则相关,无相同频率分量时则无相同频率分量时则不相关不相关.(3)的图形峰值向左移的图形峰值向左移 而不在原点而不在原点 处处,包括了包括了 与与 的相位差信息的相位差信息(图图517),在这在这里，里，表示了周期信号表示了周期信号 通过系统通过系统S后产生的时间滞后后产生的时间滞后,我们由此得到我们由此得到启发启发:系统的时间滞后直接可用输入系统的时间滞后直接可用输入输出互相关图中峰值输出互相关图中峰值(最大值最大值)的时间的时间位移位移 来确定来确定.因为因为 是周期信是周期信号号,故故 的最大值具有周期性的最大值具有周期性.若若 是非周期信号是非周期信号,则则 的最大值只的最大值只有一个有一个,如图如图518 所示所示,图图517图图518 5.2.4 5.2.4 相关分析的工程应用相关分析的工程应用 图图5 520 20 是用自相关函数来检测混淆于随机信号中的周期信号是用自相关函数来检测混淆于随机信号中的周期信号图图520图图5 52424（a a）为为由置于坐椅上的加速由置于坐椅上的加速传传感器而感器而测测得的加速度得的加速度时间时间曲曲线线图图5 52424（b b）为为的自相关函数的自相关函数。图图5 52424（c c）所示所示说说明信号明信号中的周期成分已消除，其随机成分主要来自地面中的周期成分已消除，其随机成分主要来自地面图图524 图图5 52525为为 一典型相关函数图一典型相关函数图图图5 52626为比较家兔在注射催眠为比较家兔在注射催眠药前、后的脑电波总能量，在只有相药前、后的脑电波总能量，在只有相关仪的条件下，比较自相关图关仪的条件下，比较自相关图图图5 52525图图5 52626 .互相关函数的工程应用举例互相关函数的工程应用举例 1.1.用互相关函数测量两个信号之间的滞后时间用互相关函数测量两个信号之间的滞后时间 （1 1）要确定深埋地下的输油管裂缝）要确定深埋地下的输油管裂缝位置，可以在输油管的可疑区段任意开位置，可以在输油管的可疑区段任意开掘掘A A，B B两处两处(见图见图5-27(a)5-27(a)，若在若在A A处未处未找到渗漏点，则在管道上找到渗漏点，则在管道上A A点固结一只传点固结一只传感器，若在感器，若在B B处也未找到渗漏点，则再在处也未找到渗漏点，则再在B B点固结一只传感器。假定渗漏处为点固结一只传感器。假定渗漏处为k k，则则k k处可视为声源，由油液渗漏处不断发处可视为声源，由油液渗漏处不断发出声波。出声波。A A，B B处传感器接收到的声波信处传感器接收到的声波信号的区别，仅在于滞后时间的不同。号的区别，仅在于滞后时间的不同。图图5-275-27探测输油管裂缝位置探测输油管裂缝位置将两信号进行放大后，由信号处理机可得它们的互相关函数图如图将两信号进行放大后，由信号处理机可得它们的互相关函数图如图5-27(b)5-27(b)所示，从图上可见，所示，从图上可见，m m为为y1(t)y1(t)与与y2(t)y2(t)两信号的时差，假定渗漏点发出两信号的时差，假定渗漏点发出的声波传播速度为的声波传播速度为v(v(常数常数),),两传感器中点两传感器中点o o与渗漏处与渗漏处K K得距离为得距离为s s，则有则有 (1)(1)(2)(2)(3)(3)将将(1)(1)，(2)(2)代入代入(3)(3)，得，得 从而得到确定从而得到确定k k点位置点位置的计算公式为的计算公式为 (4)(4)若若m m为正值时，由为正值时，由(4)(4)式得到的式得到的s s也为正值，说明渗漏处也为正值，说明渗漏处k k离离A A较远而离较远而离A A较较近，距离近，距离s s应从应从o o点向左测量起。点向左测量起。(2)(2)用以评价或测定控制系统，用以评价或测定控制系统，(操纵机构、转向系统、闸门，操纵机构、转向系统、闸门，开关等开关等)的灵敏度。图的灵敏度。图5-285-28所示为某一控制系统所示为某一控制系统S S，x(t)x(t)为系统为系统输输入信号，入信号，y(t)y(t)为系统的输出信号。为系统的输出信号。d d为滞后时间，用为滞后时间，用d d来评价来评价系统的灵敏度，则可正确地反映系统控制性能的优劣程度。系统的灵敏度，则可正确地反映系统控制性能的优劣程度。图图5-285-28 (4)(4)用于地震探矿，确定矿层深度。用于地震探矿，确定矿层深度。图图5-30(a)5-30(a)为地层剖面，地震探矿时为地层剖面，地震探矿时由地面施加震源号由地面施加震源号x(t)x(t)经矿层经矿层1 1，2 2，3 3反射后，又被设置在地面的传感器接反射后，又被设置在地面的传感器接收。由收。由x(t)x(t)与与y(t)y(t)的互相关函数图中之三个峰值的互相关函数图中之三个峰值(图图5-30(b)5-30(b)的滞后时间的滞后时间1,1,2,2,3 3即可推知矿层埋藏的深度。即可推知矿层埋藏的深度。图图5-305-30 3.3.相关测速相关测速 这里讨论的速度，是指运动物体相对于参考坐标的相对速度。为了测这里讨论的速度，是指运动物体相对于参考坐标的相对速度。为了测定速度，必须设法利用运动物体去产生两个在时间上错开的相似波形测定定速度，必须设法利用运动物体去产生两个在时间上错开的相似波形测定这个错开的时间就可以计算出速度来。这个错开的时间就可以计算出速度来。(1)(1)轧钢机钢带速度的测定轧钢机钢带速度的测定 图图5-33(a)5-33(a)是测定轧钢机钢是测定轧钢机钢带速度的示意图，在钢带运动方带速度的示意图，在钢带运动方向的同一直线上，相距向的同一直线上，相距l l得两个得两个点上安装两个光源和两个光电管。点上安装两个光源和两个光电管。因而产生两个信号因而产生两个信号x1(t)x1(t)和和x2(t).x2(t).图图5-33(b)5-33(b)是测得的实际是测得的实际波形图。波形图。图图5-335-33 (2)(2)船舶航速的测定船舶航速的测定 图图5-34(a)5-34(a)是测定船舶航是测定船舶航速的示意图，在船舶测速中，速的示意图，在船舶测速中，两波形是用海底回声产生的，两波形是用海底回声产生的，如图所示。在船的前进方向如图所示。在船的前进方向的两点，安装两组超声发射的两点，安装两组超声发射机和接收传感器，以接收传机和接收传感器，以接收传感器纪录到的波形如图感器纪录到的波形如图5-5-34(b).34(b).图图5-345-34 (3)(3)飞机航速的测定飞机航速的测定 图图5-355-35是测量飞机航速的示意图及波形图。飞机的前后装有两个微波是测量飞机航速的示意图及波形图。飞机的前后装有两个微波号角接收天线，中间装有发射天线，从地面反射回来的信号与反射的地形号角接收天线，中间装有发射天线，从地面反射回来的信号与反射的地形有关，因而由两个接收天线所收到的反射信号对同一地点基本上相似的。有关，因而由两个接收天线所收到的反射信号对同一地点基本上相似的。图图5-355-35测量飞机航速测量飞机航速 (4)(4)管道中粉末流速的测定管道中粉末流速的测定 图图5-365-36是测量管道中粉末流速的示意图。在管道内放两个测量是测量管道中粉末流速的示意图。在管道内放两个测量粉末密度的传感器，例如对测定绝缘粉末可以用电容式传感器。如粉末密度的传感器，例如对测定绝缘粉末可以用电容式传感器。如果两个传感器的距离比较近，则可以认为果两个传感器的距离比较近，则可以认为t t0 0瞬间在瞬间在A A处的密度处的密度x x2 2(t(t0 0)与与(t(t0 0+l/v)+l/v)瞬间在瞬间在B B处的密度处的密度x x1 1(t(t0 0+l/v)+l/v)相近。也就是说，相近。也就是说，x x2 2(t)(t)与与x(t+l/v)x(t+l/v)是相似的。是相似的。图图5-365-36测量管道中粉末流速测量管道中粉末流速 (5)(5)汽车车速的测量汽车车速的测量 试验时，在汽车前后桥的一侧，各安装加速度传感器测定垂直振动的试验时，在汽车前后桥的一侧，各安装加速度传感器测定垂直振动的加速度。只要对其纪录结果进行互相关分析，即可得到准确地车速值。加速度。只要对其纪录结果进行互相关分析，即可得到准确地车速值。为了测定速度，我们只需把上面测得的两个信号为了测定速度，我们只需把上面测得的两个信号x x1 1(t)(t)和和x x2 2(t)(t)之间的之间的互相关函数作出，根据互相关图上出现第一个峰的时间互相关函数作出，根据互相关图上出现第一个峰的时间m m,(,(参见图参见图5-25)5-25)然后再按然后再按 的公式，即可计算出所需测量的速度来。的公式，即可计算出所需测量的速度来。5.2.55.2.5传递通道的测定传递通道的测定 (1)(1)在船上，振动或噪声可能经过船体结构物传输，也可能经过结构物在船上，振动或噪声可能经过船体结构物传输，也可能经过结构物间的空气传输。间的空气传输。(2)(2)车辆振动传递途径的测定车辆振动传递途径的测定 图图5-395-39所示测试框图用以检所示测试框图用以检查汽车司机座的振动是由发动机查汽车司机座的振动是由发动机引起的，还是有车轮引起的。引起的，还是有车轮引起的。测试方法：在发动机测试方法：在发动机、司机、司机座、后轮轴上布置加速度计，经座、后轮轴上布置加速度计，经分析，发现发动机与司机座之间分析，发现发动机与司机座之间的相关性较差，而司机座与后轮的相关性较差，而司机座与后轮之间的互相关函数出现明显的相之间的互相关函数出现明显的相关。因此，可以认为，司机座的关。因此，可以认为，司机座的振动主要是由后轮传递的。振动主要是由后轮传递的。(3)(3)复杂管路系统振动传递的复杂管路系统振动传递的测定测定图图5-395-39检查汽车司机座的振动检查汽车司机座的振动 (4)(4)利用户相关函数可以分析利用户相关函数可以分析、寻找几台运行的机器中对地面振动影响、寻找几台运行的机器中对地面振动影响最大的机器。最大的机器。图图5-41(b),(c)5-41(b),(c)分别表示分别表示x1(t),x2(t)x1(t),x2(t)和和y(t)y(t)的互相关函的互相关函数图。比较两图，可见机器数图。比较两图，可见机器1 1对地面测点振动所提供的比重为：对地面测点振动所提供的比重为：机器机器1 1对地面测点振动所提供的比重为：对地面测点振动所提供的比重为：图图5-415-41 (5)(5)利用互相关函数研究音乐厅的效果。利用互相关函数研究音乐厅的效果。图图5-425-42所示。测试设备所示。测试设备对接收到信号的互相关分析表明：对接收到信号的互相关分析表明：RxyRxy()图形中，第一峰值是原始图形中，第一峰值是原始信号信号x(t)x(t)和直接传送信号和直接传送信号y1(t)y1(t)的相关结果；第二个峰值是原始信号的相关结果；第二个峰值是原始信号x(t)x(t)和由墙壁反射的信号和由墙壁反射的信号y2(t)y2(t)的相关结果。由两个峰值的振幅比，的相关结果。由两个峰值的振幅比，可以确定墙壁的吸收系数。可以确定墙壁的吸收系数。图图5-425-425.3 频谱分析及应用 前已论述，一个随机信号的特征可以用前已论述，一个随机信号的特征可以用数学期望、方差、概率数学期望、方差、概率密度函数密度函数和和相关函数相关函数来描述，但这些都是在时间域里描述幅值的统来描述，但这些都是在时间域里描述幅值的统计特征。工程上所测的信号多为时域信号，计特征。工程上所测的信号多为时域信号，为了通过所测的时域信为了通过所测的时域信号了解观测对象的动态行为，往往还需要从频率域来描述一个随机号了解观测对象的动态行为，往往还需要从频率域来描述一个随机信号的特征，以便获得频域信息，这种把时域信号变换至频域加以信号的特征，以便获得频域信息，这种把时域信号变换至频域加以分析的方法称为频谱分析。分析的方法称为频谱分析。频谱分析的目的：频谱分析的目的：把复杂的时间历程波形，经过傅立叶变换分解成若干单一的谐把复杂的时间历程波形，经过傅立叶变换分解成若干单一的谐波分量，并研究各谐波分量的幅值和相位信息，从而获得信号的能波分量，并研究各谐波分量的幅值和相位信息，从而获得信号的能量沿频带的分布情况。量沿频带的分布情况。频谱分析的主要手段：频谱分析的主要手段：功率谱密度函数，它又分为自功率谱密度函数和互功率谱密度功率谱密度函数，它又分为自功率谱密度函数和互功率谱密度函数。函数。功率谱密度功率谱密度与与相关函数相关函数分别从分别从域频域频与与时频时频两个不同角度反映功两个不同角度反映功率同一个统计特征率同一个统计特征“平均功率平均功率”，两者相辅相承，在研究随机，两者相辅相承，在研究随机信号中，各有其作用。信号中，各有其作用。如果我们得到了某一振动系统输出信号的如果我们得到了某一振动系统输出信号的功率谱，功率谱，就知道了该振动过程的就知道了该振动过程的能量按频率的分布情况，通过对功率谱的分析研究，可以帮助我们了解振能量按频率的分布情况，通过对功率谱的分析研究，可以帮助我们了解振动系统的物理机理。动系统的物理机理。例如，例如，在研究汽车平顺性（舒适性）时，就需要知道路面的功率谱，在研究汽车平顺性（舒适性）时，就需要知道路面的功率谱，（及汽车的输入谱），该谱经过轮胎、弹簧、座椅、而给出一个输入谱，（及汽车的输入谱），该谱经过轮胎、弹簧、座椅、而给出一个输入谱，假若该车的平顺性较好，则这以输出功率谱假若该车的平顺性较好，则这以输出功率谱Gy()Gy()在人体敏感的频率范围在人体敏感的频率范围内应当非常平直，而幅值又很小，否则应对悬挂系统进行改进设计。内应当非常平直，而幅值又很小，否则应对悬挂系统进行改进设计。本节内容 自功率谱的定义及物理意义自功率谱的定义及物理意义 自功率谱的性质自功率谱的性质 自功率谱密度函数的工程应用自功率谱密度函数的工程应用 重重点点 5.3.15.3.1自谱密度函数的导出和定义自谱密度函数的导出和定义 由于随机信号样本函数的幅值在由于随机信号样本函数的幅值在t(-,)t(-,)区间内不会消失，因而区间内不会消失，因而不满足傅氏变换的绝对可积条件：不满足傅氏变换的绝对可积条件：但是这种样本函数的自相关函数但是这种样本函数的自相关函数 Rx()Rx()则是可以进行傅氏变换的。则是可以进行傅氏变换的。因为因为 Rx()Rx()是有界函数，即是有界函数，即:而且。而且。设随机信号设随机信号x(t)x(t)为零均值信号（为零均值信号（x =0 x =0）,其自相关函为其自相关函为Rx()Rx()，根据自相关函数的性质：根据自相关函数的性质：故知故知 Rx()Rx()必然满足绝对可积条件必然满足绝对可积条件:从理论上可以证明从理论上可以证明:零均值随机信号的自相关函数具有确定的函数关零均值随机信号的自相关函数具有确定的函数关系且满足绝对可积条件。因此可以进行傅立叶变换。以下就以系且满足绝对可积条件。因此可以进行傅立叶变换。以下就以FourierFourier变换变换为手段，以自相关函数为桥梁将随机信号从时域变换到频域中去。为手段，以自相关函数为桥梁将随机信号从时域变换到频域中去。用符号用符号 记作记作 的的FourierFourier变换，则有：变换，则有：相应的逆变换为相应的逆变换为其中其中 就被定义为随机信号就被定义为随机信号x(t)x(t)的自功率普密度函数。的自功率普密度函数。式（式（5-215-21）和（）和（5-225-22）通常叫做维纳）通常叫做维纳辛钦（辛钦（Wiener-KhinthineWiener-Khinthine）公式，是信号分析论中著名的公式之一。公式，是信号分析论中著名的公式之一。若我们令（若我们令（5-225-22）中）中=0=0，则可得则可得 :表示信号能量在频域的分布密度函数，或成为一个样本信号的表示信号能量在频域的分布密度函数，或成为一个样本信号的自功率谱密度函数。自功率谱密度函数。若将尤拉公式：若将尤拉公式：e ej2f=cos2fj2f=cos2fjsin2fjsin2f 分别代入式分别代入式(5-21)(5-21)及及(5-22)(5-22)经化简后可得经化简后可得Winener-KhinthineWinener-Khinthine公式公式的另一种形式的另一种形式:为了使自功率谱密度函数为了使自功率谱密度函数 具有更加明显的物理意义，以下导具有更加明显的物理意义，以下导出出 的另一种形式的定义。在的另一种形式的定义。在这种定义中使这种定义中使 与有限长随机与有限长随机信号信号 的的FourierFourier变换变换X(f)X(f)具具有某种联系。其中有某种联系。其中 为将随为将随机信号机信号x(t)x(t)经过截断处理后所得的经过截断处理后所得的值。截断区间为值。截断区间为t-T0/2,T0/2t-T0/2,T0/2如图如图5-435-43所示。所示。图图5 54343截断后的随机信号截断后的随机信号观察上式，显然观察上式，显然 满足绝对可积条件满足绝对可积条件设其设其FourierFourier变换为变换为：被称为被称为的频谱或称为的频谱或称为x(t)x(t)的有限的有限FourierFourier变换，当变换，当为实函数时为实函数时X(f)X(f)一般为复函数。一般为复函数。考虑到工程实际应用，考虑到工程实际应用，测取的样本长度无论多么长，均不可能为无测取的样本长度无论多么长，均不可能为无限长，因此可令限长，因此可令 ，并考虑到并考虑到X XT T0 0(t)=0(t)=0，当，当|t|T0/2|t|T0/2 时，故时，故Rx()可写为代入（代入（5-215-21）式中得：）式中得：交换积分限，并注意到：交换积分限，并注意到：其中其中X*(f)=X(-f)X*(f)=X(-f)称为称为X(f)X(f)的共轭复函数。的共轭复函数。根据复数的性质可知根据复数的性质可知 故得故得自功率谱密度函数的另一定义自功率谱密度函数的另一定义表达式为：表达式为：其中其中X(f)X(f)为为X(t)X(t)的有限的有限FourierFourier变换，而变换，而|x(f)|x(f)|2 2则为则为X(f)X(f)的幅值谱的幅值谱的平方值。的平方值。按照第一种定义来计算自谱按照第一种定义来计算自谱 的步骤是的步骤是 而按照第二种定义计算而按照第二种定义计算 的步骤则为的步骤则为 前者称为前者称为相关图法（相关图法（Correlatogram MethodCorrelatogram Method），），而后者称为而后者称为周期周期图法（图法（Periodogram MethodPeriodogram Method），），其间的关系如图其间的关系如图5-445-44所示。所示。相关图法在理论上具有严密的相关图法在理论上具有严密的意义，常用于理论探讨中，但它必意义，常用于理论探讨中，但它必须先计算相关函数在计算自谱，因须先计算相关函数在计算自谱，因此不便于实用计算。而周期图法则此不便于实用计算。而周期图法则直接从随机信号样本计算自谱，其直接从随机信号样本计算自谱，其计算速度比相关图快，因而是各种计算速度比相关图快，因而是各种信号处理机所采用的实用方法。信号处理机所采用的实用方法。图图5 54444自谱函数计算步骤自谱函数计算步骤5.3.25.3.2双边和单边自功率谱密度函数双边和单边自功率谱密度函数 上述（上述（5-215-21）及（）及（5-285-28）式定义的自功率谱密度函数：）式定义的自功率谱密度函数：其频率其频率f f 的定义域的定义域(-,)(-,)，因此称，因此称S SX X(f)(f)为双边谱，但在实际问为双边谱，但在实际问题中负频率是毫无意义的，因此实用上将只用单边谱。题中负频率是毫无意义的，因此实用上将只用单边谱。单边自功率谱单边自功率谱密度函数密度函数的定义如下：的定义如下：则称则称G Gx x(f)(f)为单边自功率谱密度函数。为单边自功率谱密度函数。图图5-455-45为单边谱与双边谱的为单边谱与双边谱的比较。比较。以后双边谱主要用于理论以后双边谱主要用于理论研究中，而单边谱则主要用于实研究中，而单边谱则主要用于实际问题中。际问题中。由单边谱的定义由单边谱的定义可导出以单可导出以单边谱表示的边谱表示的Wiener-Wiener-KhintchineKhintchine公式：公式：图图5 54545双边与单边谱密度函数双边与单边谱密度函数5.3.3 5.3.3 自功率谱密度函数的物理意义自功率谱密度函数的物理意义 观察（5-23）式，请注意自谱密度函数Sx(f)下面的图形面积表示随机信号x(t)的均方值 ，它是代表信号总能量（或平均功率）的大小。若若 表示信号的总能量，则式中自谱密度函数表示信号的总能量，则式中自谱密度函数S Sx x(f)(f)将表示单位频带宽度上将表示单位频带宽度上所含能量（功率）的大小，而自谱密度函数的图形就表示能量（功率）按所含能量（功率）的大小，而自谱密度函数的图形就表示能量（功率）按频率分布的情况，因此频率分布的情况，因此S Sx x(f)(f)或或G Gx x(f)(f)具有密度的含义。具有密度的含义。对功率信号，如周期信号、随机信号等，它们在区间（对功率信号，如周期信号、随机信号等，它们在区间（-,-,）内能）内能量不是有限值，在这种情况下用功率密度函数研究它们的频率结构更为合量不是有限值，在这种情况下用功率密度函数研究它们的频率结构更为合适。而对能量信号，像矩形脉冲、减幅正弦波、衰减指数这样的瞬态信号，适。而对能量信号，像矩形脉冲、减幅正弦波、衰减指数这样的瞬态信号，则用能量谱密度研究其频率结构。对测试信号功率谱密度具有单位则用能量谱密度研究其频率结构。对测试信号功率谱密度具有单位 V2V2（伏伏特特 2 2 ）/Hz/Hz或或V2sV2s。因此功率谱密度曲线下面的面积为因此功率谱密度曲线下面的面积为V2 V2，它与功率呈它与功率呈正比（及电功率正比（及电功率V2V2）。）。这样，因为能量等于功率乘时间能量谱密度具有单这样，因为能量等于功率乘时间能量谱密度具有单位为位为V2s/HzV2s/Hz能量谱曲线下地面积单位为能量谱曲线下地面积单位为V2s-1V2s-1HzHz。因此，对于观察时间为因此，对于观察时间为T T的瞬态信号的瞬态信号x(t)x(t)，能量谱密度能量谱密度P Ps s(f)(f)为为P Ps s(f)=TG(f)=TGx x(f)(f)即能量谱密度等于功即能量谱密度等于功率谱密度乘上观察时间。率谱密度乘上观察时间。有些特殊情况下，为使频率轴及自谱密度函数轴的值包括的范围更加宽有些特殊情况下，为使频率轴及自谱密度函数轴的值包括的范围更加宽广，广，工程上常采用对数坐标，工程上常采用对数坐标，其单位为分贝（其单位为分贝（dBdB）（）（decibeldecibel）5.3.45.3.4自功率谱密度函数的性质自功率谱密度函数的性质 1 1）自功率谱密度函数为非负函数）自功率谱密度函数为非负函数由（由（5-285-28）式）式:可见，因可见，因|X(f)|2|X(f)|2 为正值，故为正值，故S Sx x(f)(f)必为非负函数。必为非负函数。2 2）随机信号为实函数，则其自功率谱密度函数为实偶函数随机信号为实函数，则其自功率谱密度函数为实偶函数由（由（5-245-24）式）式:其中其中R Rx x(t)cos2f(t)cos2f为实偶函数，故积分后所得的为实偶函数，故积分后所得的S Sx x(f)(f)必为实偶函数。必为实偶函数。3 3）自谱密度函数不包含原始信号的相位信息）自谱密度函数不包含原始信号的相位信息 由自相关函数性质，由自相关函数性质，R Rx x()()包含原有信号的全部频率信息，但丢失了相位信包含原有信号的全部频率信息，但丢失了相位信息。所以由息。所以由R Rx x()()计算出的计算出的S Sx x(f)(f)不包含原始信号的相位信息。不包含原始信号的相位信息。4)4)设随机信号设随机信号x(t)x(t)自谱密度函数为自谱密度函数为Sx(f),Sx(f),而而x(t)x(t)的自谱密度函数为的自谱密度函数为S Sx x(f)(f)，则则:推广得：推广得：这是一个重要的结果，由此这是一个重要的结果，由此可根据振动位移的自谱密度函数导出振动速度和可根据振动位移的自谱密度函数导出振动速度和加速度的自谱密度函数。加速度的自谱密度函数。5.3.55.3.5几种典型信号的自谱密度函数几种典型信号的自谱密度函数 1 1）正弦函数的自谱密度函数）正弦函数的自谱密度函数设设 则则化简后得：化简后得：可见，正弦函数的自谱密度函数为一脉冲函数（图可见，正弦函数的自谱密度函数为一脉冲函数（图5-465-46），），我们我们知道脉冲函数是一种理想情况下的函数，它可以对许多周期现象的谱密知道脉冲函数是一种理想情况下的函数，它可以对许多周期现象的谱密度函数（如旋转机械的振动信号，风扇的噪声等）提供很好的近似值。度函数（如旋转机械的振动信号，风扇的噪声等）提供很好的近似值。图图546正弦函数的自谱图正弦函数的自谱图 2 2）窄带随机噪声）窄带随机噪声 窄带随机噪声是当信号的能量（均方值）分布在较窄的频带窄带随机噪声是当信号的能量（均方值）分布在较窄的频带宽度内的情况。宽度内的情况。理想的窄带随机噪声理想的窄带随机噪声可用下式表示之：可用下式表示之：其中：其中：B B为带宽，为带宽，f f0 0为带宽的中心频率。为带宽的中心频率。其图形如图（其图形如图（5-475-47）所示：）所示：对于这种理想窄带随机信号，对于这种理想窄带随机信号，利利用傅氏可变换用傅氏可变换可求出其自相关函数为：可求出其自相关函数为：化简后得：化简后得：上式之图形如表上式之图形如表5-35-3（c c）所示。所示。图图5 54747窄带噪声的自谱图窄带噪声的自谱图 3 3）宽带随机噪声）宽带随机噪声 理想的宽带随机噪声理想的宽带随机噪声的自谱密度函数可用下式表示：的自谱密度函数可用下式表示：其中其中B B为自谱的带宽。图为自谱的带宽。图5 54848宽宽带噪声的自谱图带噪声的自谱图 其图形如图（其图形如图（5-485-48）所示，与上）所示，与上述述G Gx x(f)(f)相对应的自相关函数为：相对应的自相关函数为：其图形如表其图形如表5-35-3（d d）所示。所示。图图5 54848宽带噪声的自谱图宽带噪声的自谱图 4 4）正弦波加随机噪声）正弦波加随机噪声 这种情况的谱密度函数可表示为：这种情况的谱密度函数可表示为：其图形如图其图形如图5-495-49所示，其相应的自相关函数则