《利率风险》PPT课件.pptx

1利率风险利率风险Interest rate risk孟生旺中国人民大学统计学院i=seq(0,0.3,0.01)A=5*(1-(1+i)(-5)/i+100*(1+i)(-5)B=5*(1-(1+i)(-10)/i+100*(1+i)(-10)C=5*(1-(1+i)(-25)/i+100*(1+i)(-25)plot(i,A,type=l,ylim=c(0,120),lty=1,col=1,xlab=市场利率,ylab=债券价格,main=面值均为100，息票率均为5%)lines(i,B,type=l,lty=2,col=2)lines(i,C,type=l,lty=3,col=4)legend(0.15,100,c(5 年期债券,10年期债券,25年期债券),bty=n,lty=c(1,2,3),col=c(1,2,4)3主要内容主要内容：久期（duration）：马考勒久期，久期，有效久期凸度（convexity）：马考勒凸度，凸度，有效凸度免疫（immunization）:久期和凸度的应用现金流配比（cashflowmatching）4马考勒久期马考勒久期（Macaulay duration）l假设资产未来的现金流为 Rt ，则资产的价格：5l马考勒久期马考勒久期：现金流到期时间的加权平均数。l马考勒久期越大，资产价格对利率越敏感，利率风险越高。l马考勒久期是一个时间概念。l使用等价的名义利率代替利息力，马考勒久期不变。6l马考勒久期的另一种表示：注：表示资产价格关于利息力的单位变化速率。7l利息力对马考勒久期的影响利息力对马考勒久期的影响 将马考勒久期对 求导可得（请检验）注：是利息力的减函数。如何直观解释？（t的方差）y=seq(0,1,by=0.01)t=1:10R=c(rep(5,9),105)P=D=C=NULLfor(iin1:length(y)d=yiPi=sum(R*exp(-d*t)Di=sum(t*R*exp(-d*t)/Pi#马考勒久期Ci=sum(t*(t+1)*R*(1+d)(-t-2)/Pi#凸度plot(y,D,type=l,col=2,lwd=3,xlab=利息力（连续收益率）,ylab=马考勒久期,main=面值为100，期限为10年，息票率为5%的债券)9 债券到期时间对马考勒久期的影响债券到期时间对马考勒久期的影响（一个反例）注：用债券的到期时间衡量利率风险可能出现误导。P=P1=rep(0,60)for(nin1:60)Pn=5*(1-(1+0.15)(-n)/0.15+100*(1+0.15)(-n)#价格P1n=sum(1:n*c(rep(5,n-1),105)*(1.15)(-(1:n)#价格的一阶导数plot(1:60,P1/P,pch=*,type=l,ylab=马考勒久期,xlab=债券到期时间,main=息票率=5%，收益率=15%,col=2)10（修正）久期（修正）久期 l修正久期（修正久期（modified duration）：）：名义收益率变化时资产价格的单位变化速率。ly 表示每年复利 m 次的年名义收益率l修正久期越大，价格波动幅度越大，利率风险越高。11l资产价格对名义收益率y（假设每年复利m次）求导可得：分子上除以价格P 就是到期时间的加权平均数，即马考勒久期注意：使用不同的名义收益率（即m不同），修正久期不同。12l修正久期与马考勒久期的关系：l当 m 时，l另一种解释：当m时，y，故有13l资产价格与修正久期的关系：注注：y 表示名义收益率的变化，用基点（base points）表示。一个基点为%。问题：资产价格与马考勒久期的关系？l例例：已知某债券的价格为元，到期收益率为7%，修正久期为。请计算当到期收益率上升为7.05%时，债券的价格为多少。l解解：当收益率上升时，债券价格下降的百分比为：l所以新的债券价格近似为：15资产资产价格随收益率变动的近似线性关系价格随收益率变动的近似线性关系y价格曲线越弯曲，误差越大16Exercise：lThecurrentpriceofabondis100.Thederivativeofthepricewithrespecttotheyieldtomaturityis700.Theyieldtomaturityis8%.lCalculatetheMacaulaydurationofthatbond.17Solution：18有效久期有效久期（effective duration）l如果现金流是确定的，可以计算资产价格对收益率的一阶导数P(y)，从而计算修正久期。l如果未来的现金流是不确定的（如可赎回债券），估计：l符号：P+收益率上升时的债券价格 P-收益率下降时的债券价格19资产价格资产价格随到期收益率随到期收益率变动的近似线性关系变动的近似线性关系注：对P(y)的估计是以割线AB的斜率来近似在 y0处的切线斜率。20l在修正久期中，P(y)用近似值代替，得有效久期：l即21例：例：已知一个6年期可赎回债券的现价为100元，当收益 率上升100个基点时，该债券的价格将降为元。当收益率下降100个基点时，该债券的价格将升至元。请计算该债券的有效久期。解解：22l 基于名义收益率的凸度C：凸度凸度(convexity)23资产价格对名义收益率求二阶导数：凸度的计算公式：可以证明，凸度是收益率y 的减函数（见下图，课后练习）。y=seq(0,1,by=0.01)t=1:10R=c(rep(5,9),105)P=D=C=NULLfor(iin1:length(y)d=yiPi=sum(R*exp(-d*t)Di=sum(t*R*exp(-d*t)/Pi#马考勒久期Ci=sum(t*(t+1)*R*(1+d)(-t-2)/Pi#凸度plot(y,D,type=l,col=2,lwd=3,xlab=利息力（连续收益率）,ylab=马考勒久期,main=面值为100，期限为10年，息票率为5%的债券)plot(y,C,type=l,col=2,lwd=3,xlab=利息力（连续收益率）,ylab=凸度,main=面值为100，期限为10年，息票率为5%的债券)25凸度对凸度对资产资产价格的影响价格的影响凸度是对资产价格曲线的弯曲程度的一种度量。凸度是对资产价格曲线的弯曲程度的一种度量。债券债券A的凸度大于债券的凸度大于债券B的凸度：的凸度：当利率下降时，当利率下降时，A的价格上升快的价格上升快 当利率上升时，当利率上升时，A的价格下降慢的价格下降慢PBAy26l 用连续收益率d 代替名义收益率 y，即得马考勒凸度：马考勒凸度马考勒凸度27l 马考勒久期与马考勒凸度的关系马考勒久期与马考勒凸度的关系 结论结论：现金流的时间越分散，马考勒凸度越大。现金流的时间越分散，马考勒凸度越大。28 有效凸度有效凸度 l的近似计算：29l有效凸度 是对凸度C的近似计算：l即 注注：上式也可以应用于马考勒凸度的近似计算30例（略）：例（略）：已知一个6年期可赎回债券的现价为100元，当收益率上升100个基点时，该债券的价格将降为元。当收益率下降100个基点时，该债券的价格将升至元。请计算该债券的有效凸度。解解：该债券的有效凸度为：31Exercise lA3-yearbondpaying8%couponssemiannuallyhasacurrentpriceof$97.4211andacurrentyieldof9%compoundedsemiannually.Ifthebondsyieldincreasesby100basispoints,thenthepricewillbe.ifthebondsyielddecreasesby100basispoints,thenthepricewillbe$100.calculatetheeffectiveconvexityofthebond.lSolution:32资产组合的久期和凸度资产组合的久期和凸度：计算组合中每种证券的久期和凸度。以每种证券的市场价值为权数计算久期和凸度的加权平均数。33例：例：假设某证券组合由 n 种债券构成，债券 k 的现值 Pk，久期Dk，则证券组合的价格为：该证券组合的久期为：类似地，假设债券 k 的凸度为Ck，则证券组合的凸度为：34例：例：一个债券组合由两种面值均为100的债券构成，两种债券到期后均按面值偿还，且到期年收益率均为5%。第一种债券的年息票率为6%，期限为5年。第二种债券为10年期的零息债券。请计算该债券组合的修正久期。解解：第一种债券的价格为马考勒久期是到期时间的加权平均数修正久期D1n=5v=(1+i)(-1)d=i/(1+i)a0=(1-vn)/ia1=(1-vn)/da11=(a1-n*vn)/iP1=6*a0+100*vnMD1=(6*a11+100*n*vn)/P1D1=MD1/(1+i)D2=10/(1+i)P2=100*v10P=P1+P2D=D1*P1/P+D2*P2/PD35第二种债券的价格为：该债券的马考勒久期：10（零息债券的到期时间）修正久期D2债券组合的价格为：债券组合的修正久期为：36Exercise:Youaremanagingabondportfolioof$1,000,000.YoudecidethattheMacaulaydurationofyourportfolioshouldbeexactly10.Youhaveonlytwosecuritiestochoosefromforyourinvestments:azero-couponbondofmaturity5years,andacontinuousperpetuitypayingattherateof$1peryear.Currentforceofinterestis5%.HowmuchwillyouinvestineachofthesesecuritiesinordertohavethedesiredMacaulayduration?38久期和凸度的比较久期和凸度的比较久期和凸度的关系（久期和凸度的关系（了解，令了解，令m=1，m不等于不等于1的情况参见教材的情况参见教材）两边分别除以资产价格P两边分别除以资产价格P两边关于再求导40久期和凸度的应用久期和凸度的应用 l债券价格的二阶泰勒近似：由此可得债券价格变化的近似公式：l 注意久注意久期和凸度期和凸度的配比：的配比：l 久期和凸度。l 马考勒久期和马考勒凸度。l 有效久期和有效凸度。41例：例：某债券的面值是1000元，期限为15年，年息票率为11%，到期时按面值偿还。如果到期年收益率为12%，请计算其价格、马考勒久期、修正久期和凸度。当到期年收益率上升至12.5%时，债券的价格将如何变化？解解：l 真实值：3.3674%。l用修正久期作近似计算：6.91840.5%=3.4592%l 考虑凸度的影响，凸度引起的价格变化为 l故市场利率上升50个基点所导致的价格变动幅度为利率上升利率上升50个基点所导致的价格变动幅度个基点所导致的价格变动幅度R=c(rep(110,14),1110)#债券的现金流t=1:15P=sum(R*(1+i)(-t)#债券价格macD=sum(t*R*(1+i)(-t)/P#马考勒久期D=macD/(1+i)#久期macC=sum(t2*R*(1+i)(-t)/P#马考勒凸度C=(macC+macD)*(1+i)(-2)#凸度di=0.5/100#收益率的变化dP1=-D*di#基于久期计算债券价格变化dP2=-D*0.5/100+0.5*C*(di)2#基于久期和凸度计算债券价格变化dP1;dP243回顾回顾44l假设未来的负债为 L1，L2，Ln，安排一系列资产A1，A2，An，以偿付未来到期的债务。l如何安排资产的结构，使得无论利率如何变化，盈余总是非负？盈余=资产 负债lRedington免疫的条件（下图）：免疫的条件（下图）：利率风险管理：免疫利率风险管理：免疫（immunization）45现值相等久期相等资产的凸度 负债的凸度负债资产利率价格利率无论如何变化，资产负债证明：证明：下页46l 盈余：l 对盈余求一阶导数：l 对盈余求二阶导数：l如果免疫的三个条件得以满足，就有47假设收益率的变化为y，应用级数展开，可得结论结论：收益率的微小变化，不会导致盈余减少。注注：上述三个条件只在特定时点上成立，随着时间的推移，资产和负债的久期（或凸度）会发生不同的变化。48例：例：某公司在10年末需要偿还一笔万元的债务，按当前的利率6%计算，这笔债务的现值为1000万元。为了防范利率风险，债务人希望购买价值1000万元的债券实施免疫策略，假设可供选择的债券有如下三种，面值均为1000元：A：10年期，息票率为6.7%。B：15年期，息票率为6.988%。C：30年期，息票率为5.9%。请问债务人应该如何选择上述三种债券？49l计算马考勒久期：计算马考勒久期：负债：10债券A：债券B：10（与负债相同）债券C：l计算马考勒凸度：计算马考勒凸度：负债：102=100债券A：债券B：债券C：51 结论结论：B的凸度大于负债，购买B可以实现免疫。问题问题：有更好的选择吗？资产和负债在第10年末的价格（累积值）。当前利率=6%52l免疫策略的另一种选择免疫策略的另一种选择：构造一个债券组合。l在A上的投资p，在C上的投资(1 p)。l组合的马考勒久期为p+14.6361(1 p)令其等于负债的马考勒久期 10，即可求得在债券A上的投资：66.509%在债券C上的投资：33.491%l组合的马考勒凸度为(大于B的马考勒凸度126.4996)：68.7346*66.59%+318.1085*l（见下图）53结论：结论：组合的凸度更大，免疫能力更强。在不同利率条件下，第10年末的价格（累积值）V=1000#债券AV=1000tA=1:10RA=c(rep(67,9),1067)PA=sum(RA*(1+i0)(-tA)#债券A的价格MDA=sum(tA*RA*(1+i0)(-tA)/PA#A的马考勒久期MCA=sum(tA2*RA*(1+i0)(-tA)/PA#A的马考勒凸度PA;MDA;MCAV0A=V/PA*sum(RA*(1+i0)(10-tA)#市场利率保持6%不变情况下购买债券A在第10年末的累计值V1A=V/PA*sum(RA*(1+i1)(10-tA)#市场利率变为5%情况下购买债券A在第10年末的累计值#债券BV=1000tB=1:15RB=c(rep(69.88,14),1069.88)PB=sum(RB*(1+i0)(-tB)#债券B的价格MDB=sum(tB*RB*(1+i0)(-tB)/PB#B的马考勒久期MCB=sum(tB2*RB*(1+i0)(-tB)/PB#B的马考勒凸度PB;MDB;MCBt1B=1:10t2B=1:5V0B=V/PB*(sum(RB1:10*(1+i0)(10-t1B)+sum(RB11:15*(1+i0)(-t2B)#市场利率保持6%不变情况下购买债券B在第10年末的累计值V1B=V/PB*(sum(RB1:10*(1+i1)(10-t1B)+sum(RB11:15*(1+i1)(-t2B)#市场利率变为5%情况下购买债券B在第10年末的累计值#债券CV=1000tC=1:30RC=c(rep(59,29),1059)PC=sum(RC*(1+i0)(-tC)#债券B的价格MDC=sum(tC*RC*(1+i0)(-tC)/PC#C的马考勒久期MCC=sum(tC2*RC*(1+i0)(-tC)/PC#C的马考勒凸度PC;MDC;MCCt1C=1:10t2C=1:20V0C=V/PC*(sum(RC1:10*(1+i0)(10-t1C)+sum(RC11:30*(1+i0)(-t2C)#市场利率保持6%不变情况下购买债券C在第10年末的累计值V1C=V/PC*(sum(RC1:10*(1+i1)(10-t1C)+sum(RC11:30*(1+i1)(-t2C)#市场利率变为5%情况下购买债券C在第10年末的累计值rbind(c(利率不变,利率下降),c(V0A,V1A),c(V0B,V1B),c(V0C,V1C)#负债的价格#绘图：利率变化对债券价格的影响V1A=V1B=V1C=NULLfor(iin1:20)V1Ai=V/PA*sum(RA*(1+i/100)(10-tA)V1Bi=V/PB*(sum(RB1:10*(1+i/100)(10-t1B)+sum(RB11:15*(1+i/100)(-t2B)V1Ci=V/PC*(sum(RC1:10*(1+i/100)(10-t1C)+sum(RC11:30*(1+i/100)(-t2C)x=(1:20)/100plot(c(x,x,x),c(V1A,V1B,V1C),type=n,xlab=利率,ylab=价格)lines(x,V1A,col=red,lty=1)lines(x,V1B,col=black,lty=2)lines(x,V1C,col=blue,lty=3)abline(h=1790.85,col=purple,lty=4)text(0.15,2300,A,col=red)text(0.15,2000,B,col=black)text(0.15,1700,C,col=blue)text(0.15,1850,负债,col=purple)#绘图：债券组合V1A=V1B=V1C=NULLfor(iin1:20)V1Ai=V/PA*sum(RA*(1+i/100)(10-tA)V1Bi=V/PB*(sum(RB1:10*(1+i/100)(10-t1B)+sum(RB11:15*(1+i/100)(-t2B)V1Ci=V/PC*(sum(RC1:10*(1+i/100)(10-t1C)+sum(RC11:30*(1+i/100)(-t2C)V1AC=0.66509*V1A+0.33491*V1Cx=(1:20)/100plot(c(x,x),c(V1B,V1AC),type=n,ylim=c(1700,2200),xlab=利率,ylab=价格)lines(x,V1AC,col=red,lty=1)lines(x,V1B,col=black,lty=2)abline(h=1790.85,col=purple,lty=3)text(0.15,2100,A+C,col=red)text(0.15,1940,B,col=black)text(0.15,1810,负债,col=purple)54完全免疫完全免疫lRedington免疫：只有当平坦的收益率曲线发生微小的平移时，才能保证盈余不会减少。l完全免疫完全免疫（full immunization）：在某些情况下，即使当平坦的收益率曲线发生较大的平移，盈余也不会减少。例：例：假设某机构在未来需要支付一笔负债 L，支付时间为 t，同时在未来有两笔资产现金流，金额分别为 A 和 B，到期时间分别为 t a 和 t+b。它们的关系如下图所示。55完全免疫完全免疫需要满足下述三个条件：（1）资产的现值负债的现值（2）资产的久期负债的久期（3）资产到期时间处于负债到期时间之前和之后，即：证明证明（课后（课后阅读教材）阅读教材）56结论：结论：满足完全免疫的条件时，必满足Redington免疫的条件。证明证明：资产和负债的马考勒久期都为 t对于负债：对于资产：即：57例：例：某保险公司在10年末需要支付一笔2000万元的债务，它现在拥有5年期的零息债券元（到期价值），15年期的零息债券16105100元（到期价值）。假设市场利率为10。请判断保险公司是否处于完全免疫状态？如果市场利率变为 20，保险公司的盈余将如何变化？解解：负债的现值:资产的现值:负债的马考勒久期:10资产的马考勒久期:完全免疫的第三个条件显然是满足的：5 10 1559如果收益率从10%变为20，则盈余为：可见，由于保险公司处于完全免疫状态，所以市场利率的较大变化仍然会导致盈余增加（参见下图）。60 x=seq(0.001,1,0.001)A=6209213.23/(1+x)5+16105100/(1+x)15plot(x,A,type=l,col=2,lty=1,ylab=价值,xlab=市场利率)#资产的价值curve(20000000/(1+x)10,col=1,lty=2,add=T)#负债的价值abline(v=0.1,col=3,lty=3)legend(topright,c(资产,负债),lty=c(1,2),col=c(2,1)61x=seq(0.001,1,0.001)S=6209213.23/(1+x)5+16105100/(1+x)15-20000000/(1+x)10plot(x,S,type=l,col=2,ylab=盈余,xlab=市场利率)62Exercise:Anactuarialdepartmentneedstoset-upaninvestmentprogramtopayforaloanof$20000duein2years.Theonlyavailableinvestmentsare:amoneymarketfundpayingthecurrentrateofinterest,5yearzerocouponbondsearning4%.Assumethatthecurrentrateofinterestis4%.Developaninvestmentprogramsatisfyingthetheoryofimmunization.Solution :64利率风险管理：利率风险管理：现金现金流配比（流配比（cash flow matching or Dedication）例例：假设某公司未来3年的现金流出和三种可投资资产的现金流如下。如果实施现金流匹配策略，投资在这三种资产上的资金分别应为多少？第1年末第2年末第3年末现金流出100010001000资产15050500 x资产2 100300y资产3200z令：投资比例为x、y、z，则有65l现金流匹配策略的特点：彻底消除了利率风险不容易实现：可能没有所需期限的资产（债券）可调空间小，一旦实施，就很难调整债券组合。66例例：某公司未来负债的现金流如下表所示：可投资的资产如下：（1）年息票率为20的2年期债券；（2）年息票率为10的4年期债券；（3）年息票率为5的5年期债券；每种债券的面值均为100元，到期年收益率为5。如果该公司打算通过现金流匹配策略管理利率风险，请计算应该如何购买这三种债券？年度12345负债的现金流40906790355036550525067年度123455年期债券55551054年期债券1010101102年期债券20120可投资债券的现金流：可投资债券的现金流：年度12345负债的现金流409067903550365505250负债的现金流：负债的现金流：68（1）年度12345（2）负债的现金流409067903550365505250（3）5年期债券的现金流2502502502505250（4）剩余负债的现金流384065403300363000（5）4年期债券的现金流330033003300363000（6）剩余负债的现金流5403240000（7）2年期债券的现金流540 3240000（8）剩余负债的现金流0 0000现金流匹配策略的计算过程现金流匹配策略的计算过程5年期债券到期时的本息之和为105元，故需购买：5250105=504年期债券到期时的本息之和为110元，故需购买：36300110=3302年期债券到期时的本息之和为120元，故需购买：3240120=27