则多元函数微分学习题.ppt

多元函数微分学多元函数微分学 习题课习题课一、主要内容一、主要内容平面点集平面点集和区域和区域多元函数概念多元函数概念多元函数多元函数的极限的极限极极 限限 运运 算算多元函数多元函数连续的概念连续的概念多元连续函数多元连续函数的性质的性质全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念方向导数方向导数全微分全微分的应用的应用复合函数复合函数求导法则求导法则全微分形式全微分形式的不变性的不变性高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则微分法在微分法在几何上的应用几何上的应用多元函数的极值多元函数的极值1 1、多元函数的极限、多元函数的极限说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限运算法则与一元）二元函数的极限运算法则与一元函数类似函数类似存在性存在性定义，夹逼定理定义，夹逼定理不存在不存在特殊路径、两种方式特殊路径、两种方式求法求法运算法则、定义验证、夹逼定理运算法则、定义验证、夹逼定理 消去致零因子、化成一元极限等消去致零因子、化成一元极限等2 2、多元函数的连续性、多元函数的连续性3 3、偏导数概念、偏导数概念定义、求法定义、求法偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系高阶偏导数高阶偏导数纯偏导、混合偏导纯偏导、混合偏导4 4、全微分概念、全微分概念定义定义可微的必要条件可微的必要条件可微的充分条件可微的充分条件利用定义验证不可微利用定义验证不可微多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导5 5、复合函数求导法则、复合函数求导法则“分道相加，连线相分道相加，连线相乘乘”法则的推广法则的推广任意多个中间变量，任意多任意多个中间变量，任意多 个自变量个自变量如何求二阶偏导数如何求二阶偏导数6 6、全微分形式不变性、全微分形式不变性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.7 7、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则公式法公式法直接法直接法全微分法全微分法8 8、微分法在几何上的应用、微分法在几何上的应用(1)空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面()曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线求直线、平面的方程求直线、平面的方程定点（过点）、定向（方向向量、法向量）定点（过点）、定向（方向向量、法向量）曲线：参数式，一般式给出曲线：参数式，一般式给出曲面：隐式、显式给出曲面：隐式、显式给出求隐函数偏导数的方法求隐函数偏导数的方法1010、多元函数的极值、多元函数的极值9 9、方向导数与梯度、方向导数与梯度定义定义计算公式（注意使用公式的条件）计算公式（注意使用公式的条件）梯度的概念梯度的概念向量向量梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系极值、驻点、必要条件极值、驻点、必要条件充分条件充分条件最值最值条件极值，目标函数、约束条件条件极值，目标函数、约束条件 构造构造 Lagrange 函数函数二、典型例题二、典型例题例例1 1解解例例2 已知已知求求解解例例3 已知已知 求求解解例例4 4解解例例5 5解解于是可得于是可得,求求解一解一 记记则则解二解二 方程两边对方程两边对 x 求偏导求偏导 例例6 设设 由轮换对称性由轮换对称性两边取全微分两边取全微分 即即解三解三 设有方程组设有方程组求求解解两边对两边对 x 求导求导这是一个以这是一个以 为未知量的三元为未知量的三元一次方程组一次方程组若系数行列式若系数行列式 （Vandermond行列式）行列式）例例7 则有则有 在半径为在半径为R的圆的一切内接三角形中，的圆的一切内接三角形中，求其面积最大者求其面积最大者解解如图若以如图若以 x,y,z 表示三角形的表示三角形的三边所对的圆心角，则三边所对的圆心角，则三角形的面积三角形的面积例例8 问题就是求问题就是求A在条件在条件下的最大值下的最大值 xyz记记例例9 已知已知 满足方程满足方程 试选择参数试选择参数 通过变换通过变换使原方程变形所得新方程中没有使原方程变形所得新方程中没有 v 对对 x,y 的一阶偏导数的一阶偏导数解解代入方程代入方程 消去消去令令解得解得因因 故变换后的方程为故变换后的方程为 例例1010解解例例1111解解分析分析:得得试求曲面试求曲面 xyz=1上任一点上任一点 处的法线方程和切平面方程处的法线方程和切平面方程并证明切平面与三个坐标面所围成的并证明切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积是一个常量四面体的体积是一个常量证证设设法线法线切平面切平面即即例例12 切平面在三个坐标轴上的切平面在三个坐标轴上的截距截距分别为分别为故切平面与三个坐标面所围成的四面体的故切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积体积为为是一个常量是一个常量例例13 设设 y=f(x,t)而而 t 是由是由 F(x,y,t)确定的确定的 x,y 的函数的函数 ，试证明，试证明证一证一方程组方程组确定了两个一元隐函数确定了两个一元隐函数 y=y(x),t=t(x)两边分别对两边分别对 x 求导得求导得解得解得证二证二本题主要是弄清楚函数关系本题主要是弄清楚函数关系，具体求导则，具体求导则很简单，很简单，初看起来似乎初看起来似乎 y 是是 x 的显函数的显函数y=f(x,t)，但由但由F(x,y,t)=0 可得可得 t=t(x,y)，代入，代入y=f(x,t)得得 y=f x,t(x,y)这是这是y=y(x)的隐函数表示形式的隐函数表示形式 按题意按题意t=t(x,y)满足满足F(x,y,t)=0 故故由由t=t(x,y)得得又又t=t(x,y)满足满足y=f(x,t)，故，故从而从而解得解得证三证三两边取全微分并移项得两边取全微分并移项得消去消去 dt 得得解得解得证四证四曲面曲面 F(x,y,t)=0 及及 y=f(x,t)在（在（x,t,y)空间中的法向量分别为空间中的法向量分别为是两曲面的交线是两曲面的交线 L 的切向量的切向量L 的方程为的方程为故故L 的切向量为的切向量为即即解得解得