二元一次方程组知识点汇总及练习(超详细).docx

二元一次方程组知识点梳理及经典练习【知识点梳理】知识点 1： 二元一次方程组的定义1.二元一次方程（1）定义：含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1 的方程叫做二元一次方程（2）三个条件：方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数.含有未知数的项的次数都是 1.！二元一次方程的左右两边都必须是等式.（3）含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数均为1。即若 ax +by =c 是二元一次方程，则 a0，b0 且 m=1,n=1mn2.二元一次方程组（1）定义：由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组。（2）三个条件：方程组中有且只有两个未知数。%方程组中含有未知数的项的次数为 1。方程组中每个方程均为整式方程。3.二元一次方程组的解（1）定义：使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解。（2）常考题型：根据定义判断已知方程组的解，求方程组待定系数。（将解代入方程）/列方程组求相关字母的值。知识点 2：解二元一次方程组1.代入消元法（1）定义：通过代入消去一个未知数，将方程组转化为一个一元一次方程来解，这种解法 叫做代入消元法。（2）用代入消元法解二元一次方程组的步骤：从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.)把中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.把所求得的一个未知数的值代入中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.2 x - 7 y = 8ìí3x - 8 y - 10 = 0例：解方程组：î2.加减消元法（1）定义：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程这种方法叫做加减消元法 ，简称加减法。（2）加减消元法解方程步骤：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，就用适当的整数乘方程两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；;把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；解这个一元一次方程；将求出的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解。 例 1：解方程组：|2m + 3n =1ìí5m + 3n = 4 中，n 的系数的特点是例2：方程组î，所以我们只要将两式，就可以消去未知数，化成一个一元一次方程，达到消元的目的3x + 4y =1ìíî2x -3y = 6 时，将方程两边乘以例 3：用加减法解，把方程两边乘以，可以比较简便地消去未知数*3.特殊方法（1）加减-代入混合使用方法例： 13x+14y=4114x+13y=40,（2）换元法例：(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4 （3）另类换元￥例 3：x:y=1:45x+6y=29知识点 3：二元一次方程组的实际应用1.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：“找、设、列、解、答”（五步），即：找：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，找出能够表示题意两个等量关系；设：分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；列：根据这两个等量关系列出必需的代数式，从而列出方程组；解：解这个方程组，求出两个未知数的值；答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.2.列方程组解应用题中常用的基本等量关系（1）行程问题：追击问题：行程问题重要的一种，特点是同向而行。这类问题较直观，画线段图便于理解和分析。基本等量关系：路程=速度×时间，速度=路程÷时间，时间=路程÷速度。直线追击:环形追击：相遇问题：行程问题重要的一种，特点是相向而行。这类问题较直观，画线段图可帮助理解与分析。等量关系：行船问题：船在静水中的速度+水速=船的顺水速度 船在静水中的速度-水速=船的逆水速度顺水速度-逆水速度=2×水速注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。（2）工程问题：工作效率×工作时间=工作量（3）商品销售利润问题：利润=售价-成本（进价）利润率=（售价-进价）÷进价×100%=利润÷进价×100%利润=成本（进价）×利润率标价=成本（进价）×（1+利润率）实际售价=标价×打折率（4）储蓄问题：利息=本金×利率×期数×（1-利息税率）本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期数×（1-利息税率）利息税=利息×利息税=本金×利率×期数×利息税率税后利息=利息×（1-利息税率）（5）配套问题：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例（6）增长率问题：原量×（1+增长率）=增长后的量；原量×（1-减少率）=减少后的量（7）和差倍份问题：较大量=较小量+多余量；总量=倍数×倍量（8）数字问题：自然数、奇数、偶数等。如当n 为整数时，奇数可表示为 2n+1（或 2n-1），偶数可表示为 2n 等。有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数×10+个位数。（9）优化方案问题：从几种方案中选择最佳方案。如买不同套餐的东西、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。【重点考点例析】考点 1：二元一次方程组的定义1.已知（a2）xby|a|15 是关于 x、y 的二元一次方程，则 a_，b_ 2.下列方程为二元一次方程的有_， ， ， ， ， ，3.下列方程组中，是二元一次方程组的是（）考点 2：二元一次方程组的解题型一：根据定义判断1.方程组A的解是（C）BD题型二：已知方程组的解，求方程组待定系数。（将解代入方程）2 3mx - 2y =1ìííîy =14x + ny + 7 = 2î1.已知是方程组的解，则 m n 的值为_22-ìí+ (2k -1)y = 6的 x、y 的值相等，则 k_îkx2. 若满足方程组题型三：列方程组求相关字母的值。1ïí01íy =ïy = -2 î3î1.若，都是关于 x、y 的方程 axby6 的解，则 ab 的值为1ìíîx = 2y = 1íy = -1î2.关于 x，y 的二元一次方程 axby 的两个解是方程是_， 则这个二元一次 考点 3：二元一次方程组的解法（代入消元法；加减消元法）1.方程-x + 4y = -15 用含 y 的代数式表示，x 是（）A-x = 4y -15Bx = -15+ 4yCx = 4y +15Dx = -4y +152.把方程7x - 2y =15写成用含 x 的代数式表示 y 的形式，得（ ）15- 7xB.x =C.y =D.y =7722Ax=ìíîx + 3y = 83.用代入法解方程组A先把变形较为简便的方法是（ ）B先把变形 C可先把变形，也可先把变形D把、同时变形3x + 2y = 6ìíî2x +3y =1 时，要使方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数，4.用加减法解方程组必须适当变形，以下四种变形正确的是（ ）9x + 6y = 64x + 6y = 29x + 6y =18ìí4x - 6y = 2î9x + 6y =18ìí4x + 6y = 2î6x + 4y =12ìí6x + 9y = 3îì(1)(2)(3)(4)íîA（1）（2）B（2）（3）C（3）（4）D（4）（1）ìí3x + 4y = 33 而言，你能设法让两个方程中 x 的系数相等吗？你的方法是5.对于方程组î_是；若让两个方程中 y 的系数互为相反数，你的方法2x -3y = 5ìíîx = 3y + 76.用加减消元法解方程组正确的方法是（ ）A+ 得2x = 5B+ 得3x =12+ 得3x + 7 = 5C D先将变为x -3y = 7，再 - 得x = -2考点 4：二元一次方程组的实际应用题型一：列二元一次方程组解决行程问题1.甲、乙两地相距 160 千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1 小时 20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留 1 小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？题型二：列二元一次方程组解决工程问题2.一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付两组费用共3520 元；若先请甲组单独做 6 天，再请乙组单独做 12 天可完成，需付两组费用共3480 元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需 12 天完成，乙组单独做需 24 天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？【题型三：列二元一次方程组解决商品销售利润问题3.有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为 5%,乙商品的利润率为 4%,共可获利 46 元。价格调整后，甲商品的利润率为 4%，乙商品的利润率为 5%，共可获利 44 元，则两件商品的进价分别是多少元？ 题型四：列二元一次方程组解决银行储蓄问题4.小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了 2000 元钱，一种是年利率为 2.25的教育储蓄，另一种是年利率为 2.25的一年定期存款，一年后可取出 2042.75 元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）题型五：列二元一次方程组解决生产中的配套问题5.某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每 2 米的某种布料可做上衣的衣身 3 个或衣袖 5只. 现计划用 132 米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？|题型六：列二元一次方程组解决增长率问题6.某工厂去年的利润（总产值总支出）为200 万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了 10%，今年的利润为 780 万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？( 题型七：列二元一次方程组解决和差倍分问题7.“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9 千顶，现某地震灾区急需帐篷14 千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6 倍、1.5 倍，恰好按时完成了这项任务求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？:题型八：列二元一次方程组解决数字问题8.一个两位数，减去它的各位数字之和的 3 倍，结果是 23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是 5，余数是 1，这个两位数是多少？!题型九：列二元一次方程组解决浓度问题9.现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是 37，乙种酒精溶液的酒精与水的比是 41，今要得到酒精与水的比为 32 的酒精溶液 50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？题型十：列二元一次方程组解决几何问题10.用长 48 厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉 3 厘米，补到较短边上去，则 得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？>题型十一：列二元一次方程组解决年龄问题11.今年父亲的年龄是儿子的 5 倍，6 年后父亲的年龄是儿子的 3 倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？题型十二：列二元一次方程组解决优化方案问题12.某商场计划拨款 9 万元从厂家购进 50 台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台 1500 元，乙种每台 2100 元，丙种每台 2500 元。(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机 50 台，用去 9 万元，请你研究一下商场的进货方案；(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利 150 元、200 元、250 元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？:【巩固练习】1.下列方程中是二元一次方程的是（）x 5y3 2xB + =1A3x-y2=0C - y=6D4xy=3 1y1yìx +x -= 3= 0ïìïx + y = 3ìíïíííîy = -2îy - z = 4- = 0îx yï2.已知下列方程组：（1）其中属于二元一次方程组的个数为（A1 B. 2 C 3，（2），（3）î，（4），）D 43.若x3m -1 + 5 y 3n-3m = 7是关于x、y二元一次方程，则m=_，n=_。>4.当x = m -1，y = m +1满足方程2x - y + m - 3 = 0，则m = _.5.下面几个数组中，哪个是方程 7x+2y=19 的一个解（）。x = 3ìx = 3ìx = -3íìx = -3íìííîy = -1îy =1îy =1îy = -1A、B、C、D、。ì2x - y = 36.若方程组í的解互为相反数，则 k 的值为î2kx + (k +1)y =103x + 4y = 2ììa- by = 4ïï x7.若方程组í与í3有相同的解，则 a=，b=。bax + y = 5ïï2x - y = 5î2î1ííy = 2bx - cy =1î8.如果î是方程组的解，那么，下列各式中成立的是 （ ）A、a4c2B、4ac2 C、a4c20 D、4ac20|9.甲、乙两人相距 36 千米，相向而行，如果甲比乙先走 2 小时，那么他们在乙出发 2.5 小时后相遇；如果乙比甲先走 2 小时，那么他们在甲出发 3 小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？ 10.两地相距 280 千米，一艘船在其间航行，顺流用 14 小时，逆流用 20 小时，求船在静水中的速度和水流速度。11.小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6 周完成需工钱 5.2 万元；若甲公司单独做 4 周后，剩下的由乙公司来做，还需 9 周完成，需工钱 4.8 万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.12.某商场用 36 万元购进 A、B 两种商品，销售完后共获利 6 万元，其进价和售价如下表：A·B进价（元/件）售价（元/件）1200138010001200<求该商场购进 A、B 两种商品各多少件。13.李明以两种形式分别储蓄了 2000 元和 1000 元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息 43.92 元.已知两种储蓄年利率的和为 3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额×20%）。 14.小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000 元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了 3 次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息 2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为 2.70%.三年后同时取出共得利息 303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？15.现有 190 张铁皮做盒子，每张铁皮做 8 个盒身或 22 个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？-16.某工厂有工人 60 人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14 个或螺母 20 个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。| 17.一张方桌由 1 个桌面、4 条桌腿组成，如果 1 立方米木料可以做桌面 50 个，或做桌腿 300条。现有 5 立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？18.某城市现有人口 42 万，估计一年后城镇人口增加 0.8%，农村人口增加 1.1%，这样全市人口增加 1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。）19.“地球一小时”是世界自然基金会在2007 年提出的一项倡议号召个人、社区、企业和政府在每年 3 月最后一个星期六 20 时 30 分21 时 30 分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活中国内地去年和今年共有119 个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的 3 倍少 13 个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动20.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大 5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？21.某三位数，中间数字为 0，其余两个数位上数字之和是 9，如果百位数字减 1，个位数字加 1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。 22.要配浓度是 45%的盐水 12 千克，现有 10%的盐水与 85%的盐水，这两种盐水各需多少？23.一种 35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克，才能配成 1.75%的农药 800 千克？24. 一块矩形草坪的长比宽的 2 倍多 10m，它的周长是 132m，则长和宽分别为多少？25.今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12 年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.26.某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000 元；经粗加工后销售，每吨利润可达 4500 元；经精加工后销售，每吨利润涨至 7500 元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜 140 吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工 16吨；如果进行细加工，每天可加工 6 吨. 但两种加工方式不能同时进行. 受季节条件的限制，公司必须在 15 天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案 方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15 天完成你认为选择哪种方案获利最多？为什么？