2015北大自主招生数学试题.doc
2015北大自主招生数学试题一.选择题1.整数x,y,z满足xy+yz+zx=1，则(1+)(1+)(1+)可能取到的值为（ ）A16900 B17900 C18900 D前三个答案都不对2.在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100这50个数的和可能等于（ ）A3524 B3624 C3724 D前三个答案都不对3.已知x0,，对任意实数a，函数y= 2acosx+1的最小值记为g(a)，则当a取遍所有实数时，g(a)的最大值为（ ）A1 B2 C3 D前三个答案都不对4.已知是的整数倍，则正整数n的最大值为（ ）A21 B22 C23 D前三个答案都不对5.在凸四边形ABCD中，BC=4，ADC=60，BAD=90，四边形ABCD的面积等于，则CD的长（精确到小数点后1位）为（ ）A6.9 B7.1 C7.3 D前三个答案都不对二.填空题6.满足等式的整数x的个数是_7.已知a,b,c,d2,4，则 的最大值与最小值的和为_8.对于任意实数x1,5,|+px+q|2,不超过的最大整数是_9.设x=,y=,z=,且x+y+z=1，则的值为_10.设都是9元集合1,2,3,9的子集，已知|为奇数，1in,|为偶数，1ijn，则n的最大值为_三解答题11.已知数列为正项等比数列，且=5,求的最小值12.已知f(x)为二次函数，且a,f(a),f(f(a),f(f(f(a)成正项等比数列，求证：f(a)=a13.称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。若锐角ABC的三边满足a>b>c， 求证：这个三角形内接正方形边长的最小值为14.从O出发的两条射线，已知直线交于A、B两点，且=c(c为定值),记AB的中点为X，求证：X的轨迹为双曲线15.已知(i=1,2,3,10)满足：=30，<21，求证：，使得<1#Answer#11+=xy+yz+zx+=(x+y)(x+z)，同理1+=(y+z)(y+x),1+=(z+x)(z+y)(1+)(1+)(1+)=，对照前三个答案，只有A是一个完全平方数检验，不妨取x+y=2,y+z=5,z+x=13,有解x=5,y=3,z=8.选A2.考虑将1,2,99这99个正整数分成如下50组 (1,99),(2,98),(47,53),(48,52),(49,51),(50).若选出的50个不同的正整数中没有50，则必有2个数位于 (1,99),(2,98),(47,53),(48,52),(49,51)中的同一组，不合题意所以这50个不同的正整数中必有50，而 (1,99),(2,98),(47,53),(48,52),(49,51)中，每组有且只有一个数被选中因为50+49=99，所以(49,51)中选51；因为51+48=99，所以(48,52)中选52；以此类推，可得50,51,52,98,99是唯一可能的选法经检验，选50,51,52,98,99满足题意，此时50+51+98+99=3725。故选D3.令t=cosx，令h(t)=2at+1,t0,1,g(a)=作图象知最大值为1，选A4. =(-1)=(+1)(-1)=(+1)(+1)(5-1)(+5+1), +5+1是奇数，5-1=4是，+1=+1被4除余数为2，同理+1被4除余数也是2，于是n的最大值为24，选D5.设四边形ABCD的面积为S，直线AC,BD的夹角为，则S= ACBDsin（ABCD+BCAD）sin（ABCD+BCAD）,由已知两个等号成立，于是 于是ACBD，BCCD。用坐标法解得CD=46.9。选A6.x>0时，=>,无解x<0时,x为负整数，设x=-n, =是n的单调函数n-1=2015x=-2016。填17.设=(a,d),=(b,c)，二者夹角为，则所求为=，如图0AOB1coscosAOB=1。填 8.设y=f(x)=+px+q,x1,5，它可以由y=,x-2,2平移得到，y=最值之差为4，根据|+px+q|2，只能平移到顶点在(3,-2)处，有；同理也满足条件，=，不超过它的最大整数为9.填99.x+y+z=1(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)=0不妨设abc，则c=a+b，于是x=1，同理y=1,z=-1，于是=1，填110.每个元素当做一个子集，就满足要求；填911.设数列的公比为q,由已知=>0,则=()=5(t+2)5×(2)=20，等号成立当且仅当t=t=1q=,故的最小值为2012.(方法一)设f(x)=m+nx+t(m0), a,f(a),f(f(a),f(f(f(a)公比为q(q>0)则-并化简得到：ma(1-)+n(1-q)=q(1-q),-并化简得到：maq(1-)+n(1-q)=q(1-q)从而q=1,f(a)=a(方法二)由已知=，假设f(a)a则=A(a,f(a),B(f(a),f(f(a),C(f(f(a),f(f(f(a)，=A,B,C三点共线一条直线与抛物线交于三个点，矛盾故f(a)=a13.证明：设正方形的边长为x，ABC外接圆半径为R，当内接正方形如图所示时=同理其他情况，内接正方形的边长分别为=，=-=-=<0<,同理<于是最小，从而这个三角形内接正方形边长的最小值为14.证明：设2为的夹角，以O为原点，的角平分线为x轴，建立直角坐标系，如图设X(x,y),|OA|=a,|OB|=b，则A(acos,asin),B(bcos,-bsin)，于是=ab因=absin2=c,于是ab=，X的轨迹方程为=,轨迹是双曲线15.(反证法)假设，1，设=1+(0), =30=20=1+()+21与<21矛盾故，使得<1第 5 页 共 5 页
