MATLAB作业2参考答案.doc
MATLAB作业二参考答案1、 试求出如下极限。（1），（2）， （3）【求解】极限问题可以由下面语句直接求解。>> syms x; f=(x+2)(x+2)*(x+3)(x+3)/(x+5)(2*x+5);limit(f,x,inf)ans =exp(-5)>> syms x yfa=(x2*y+x*y3)/(x+y)3; limit(limit(fa,x,-1),y,2)ans =-6>> fc=(1-cos(x2+y2)*exp(x2+y2)/(x2+y2);limit(limit(fc,x,0),y,0)ans =02、 试求出下面函数的导数。（1）, (2)【求解】由求导函数diff() 可以直接得出如下结果，其中(2) 为隐函数，故需要用隐函数求导公式得出导数。>> syms x;f=sqrt(x*sin(x)*sqrt(1-exp(x); simple(diff(f)ans =1/2/(x*sin(x)*(1-exp(x)(1/2)(1/2)*(sin(x)*(1-exp(x)(1/2)+x*cos(x)*(1-exp(x)(1/2)-1/2*x*sin(x)/(1-exp(x)(1/2)*exp(x)>> syms x,y; f=atan(y/x)-log(x2+y2);f1=simple(-diff(f,x)/diff(f,y)f1 =(y+2*x)/(x-2*y)3、 假设，试验证。【求解】证明二者相等亦可以由二者之差为零来证明，故由下面的语句直接证明。>> syms x y; u=acos(x/y);diff(diff(u,x),y)-diff(diff(u,y),x)ans =04、 假设，试求。【求解】由下面的命令可以得出所需结果。>> syms x y tf=int(exp(-t2),t,0,x*y);x/y*diff(f,x,2)-2*diff(diff(f,x),y)+diff(f,y,2)simple(ans)ans =-2*exp(-x2*y2)*(-x2*y2+1+x3*y)5、 假设已知函数矩阵，试求出其Jacobi矩阵。【求解】Jacobi 矩阵可以由下面的语句直接得出。>> syms x y zF=3*x+exp(y)*z; x3+y2*sin(z);jacobian(F,x,y,z)ans = 3, exp(y)*z, exp(y) 3*x2, 2*y*sin(z), y2*cos(z)6、 试求解下面的不定积分问题。（1）， （2）【求解】（1）可以用下面的语句求出问题的解>> syms x; f=sqrt(x*(x+1)/(sqrt(x)+sqrt(x+1);int(f,x)（2）可以求出下面的结果>> syms a b xf=x*exp(a*x)*cos(b*x); int(f,x)7、试求解下面的定积分或无穷积分。（1）， （2）【求解】 可以直接求解>> syms x; int(cos(x)/sqrt(x),x,0,inf)ans =1/2*2(1/2)*pi(1/2) 可以得出>> syms x; int(1+x2)/(1+x4),x,0,1)ans =1/4*2(1/2)*pi8、假设，试求出积分函数。【求解】定义了x 的函数，则可以由subs() 函数定义出t +x 的函数，这样由下面的语句可以直接得出R 函数。>> syms x t; f=exp(-5*x)*sin(3*x+sym(pi)/3);R=int(f*subs(f,x,t+x),x,0,t); simple(R)ans =1/1360*(15*exp(t)10*3(1/2)*cos(3*t)-25*cos(9*t)+25*exp(t)10*3(1/2)*sin(3*t)-68*cos(3*t)-15*3(1/2)*cos(9*t)-25*3(1/2)*sin(9*t)-15*exp(t)10*sin(3*t)+15*sin(9*t)+93*exp(t)10*cos(3*t)/exp(t)159、试对下面函数进行Fourier幂级数展开。（1） （2）【求解】 可以立即由下面的语句求出。function A,B,F=fseries(f,x,n,a,b)if nargin=3, a=-pi; b=pi; endL=(b-a)/2; if a+b, f=subs(f,x,x+L+a); endA=int(f,x,-L,L)/L; B=; F=A/2; %¼ÆËãa0for i=1:n an=int(f*cos(i*pi*x/L),x,-L,L)/L; bn=int(f*sin(i*pi*x/L),x,-L,L)/L; A=A, an; B=B,bn; F=F+an*cos(i*pi*x/L)+bn*sin(i*pi*x/L);endif a+b, F=subs(F,x,x-L-a); end >> syms x; f=(sym(pi)-abs(x)*sin(x);A,B,F=fseries(f,x,10,-pi,pi); FF =1/2*pi*sin(x)+16/9/pi*sin(2*x)+32/225/pi*sin(4*x)+48/1225/pi*sin(6*x)+64/3969/pi*sin(8*x)+80/9801/pi*sin(10*x) 可以由下面语句求解，并得出数学公式为>> syms x; f=exp(abs(x);A,B,F=fseries(f,x,10,-pi,pi); F>> vpa(F,10)ans =7.047601355-7.684221126*cos(x)+2.819040541*cos(2.*x)-1.536844225*cos(3.*x)+.8291295709*cos(4.*x)-.5910939328*cos(5.*x)+.3809514246*cos(6.*x)-.3073688450*cos(7.*x)+.2168492724*cos(8.*x)-.1874200274*cos(9.*x)+.1395564625*cos(10.*x)10、试求出下面函数的Taylor幂级数展开。（1） （2）（3）分别关于、的幂级数展开。（4）对关于、进行二维Taylor幂级数展开。【求解】由下面的语句可以分别求出各个函数的幂级数展开，>> syms t x; f=int(sin(t)/t,t,0,x);taylor(f,x,15)>> syms x; f=log(x+sqrt(1+x2); taylor(f,x,15) 该函数的前4 项展开>> syms x a; f=exp(-5*x)*sin(3*x+sym(pi)/3);taylor(f,x,4,a) 该函数需要使用Maple 的展开函数。>> syms x y; f=(1-cos(x2+y2)/(x2+y2)*exp(x2+y2); F=maple('mtaylor',f,'x=1,y',4)11、求级数的前项及无穷项的和。【求解】下面的语句可以直接求解级数的和。>> syms n k; symsum(1/2k+1/3k,k,1,n)ans =-2*(1/2)(n+1)-3/2*(1/3)(n+1)+3/2>> symsum(1/2k+1/3k,k,1,inf)ans =3/2当然，无穷级数的和还可以通过极限的方式求出。12、试求出下面的极限。 （1）， （2）。【求解】 可以用下面两种方法求解。>> syms k n; symsum(1/(2*k)2-1),k,1,inf)ans =1/2>> limit( symsum(1/(2*k)2-1),k,1,n),n,inf)ans =1/2 可以由下面的语句直接求解。>> syms k nlimit(n*symsum(1/(n2+k*pi),k,1,n),n,inf)ans =113、试对下面数值描述的函数求取各阶（<5）数值微分，并用梯形法求取定积分。00.10.20.30.40.50.60.70.80.911.11.202.2083.2063.4443.2412.8162.3111.811.360.9820.6790.4470.277【求解】可以由下面的语句得出函数的各阶导数，得出的曲线如图3-2 所示。function dy,dx=diff_ctr(y, Dt, n) yx1=y 0 0 0 0 0; yx2=0 y 0 0 0 0; yx3=0 0 y 0 0 0; yx4=0 0 0 y 0 0; yx5=0 0 0 0 y 0; yx6=0 0 0 0 0 y; switch n case 1 dy = (-diff(yx1)+7*diff(yx2)+7*diff(yx3)- diff(yx4)/(12*Dt); L0=3; case 2 dy=(-diff(yx1)+15*diff(yx2)- 15*diff(yx3) +diff(yx4)/(12*Dt2);L0=3; case 3 dy=(-diff(yx1)+7*diff(yx2)-6*diff(yx3)-6*diff(yx4)+7*diff(yx5)-diff(yx6)/(8*Dt3); L0=5; case 4 dy = (-diff(yx1)+11*diff(yx2)-28*diff(yx3)+28* diff(yx4)-11*diff(yx5)+diff(yx6)/(6*Dt4); L0=5; end dy=dy(L0+1:end-L0); dx=(1:length(dy)+L0-2-(n>2)*Dt;>> x=0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1,1.1,1.2;y=0,2.208,3.206,3.444,3.241,2.816,2.311,1.81, 1.36,0.982,0.679,0.447,0.277;dy1,dx1=diff_ctr(y,x(2)-x(1),1);dy2,dx2=diff_ctr(y,x(2)-x(1),2);dy3,dx3=diff_ctr(y,x(2)-x(1),3);dy4,dx4=diff_ctr(y,x(2)-x(1),4);plot(dx1+x(1),dy1,'-',dx2+x(1),dy2,'- -',dx3+x(1),dy3,':',dx4+x(1),dy4,'-.')另一方法dy1,dx1=diff_ctr(y,x(2)-x(1),1);subplot(221), plot(dx1,dy1,'-')dy2,dx2=diff_ctr(y,x(2)-x(1),2);subplot(222), plot(dx2,dy2,'-')dy3,dx3=diff_ctr(y,x(2)-x(1),3);subplot(223),plot(dx3,dy3,':')dy4,dx4=diff_ctr(y,x(2)-x(1),4);subplot(224),plot(dx4,dy4,'-.')
