《微积分专题讲座》word版.doc

微积分专题讲座（下）一、 向量代数和空间解析几何向量代数1、 设为，为单位向量，且+=，则+=_。（）2、 设（）=2，则(+) (+)(+)=_。（4）3、 若=1，=4，且（）=3，则与的夹角=_。（arccos）4、 若=，=1，且与的夹角=，求：（1）+与的夹角；【arccos】；（2）以+2与3为邻边的平行四边形的面积。【】；5、 设（+3）（75），（4）（72），求与的夹角。【=】空间解析几何6、 设有直线：=，：=，求过且平行于的平面方程。7、 求经过点P（2，-3,1）并且与直线L：=垂直相交的直线方程。8、 求直线L：=在平面：x-y+2z-1=0上的投影直线的方程，并求绕y轴旋转一周所成的曲面方程。二、多元微分学概念及其关系函数z=f（x，y）在点（，）（极限存在）（连续）（可微）（偏导数连续） （可偏导）（方向导数存在）1、 讨论f（x，y）=在点（0,0）处的连续性、可导性。2、 讨论f（x，y）=在点（0,0）处的连续性、可导性和可微性。3、 讨论f（x，y）=在点（0,0）处连续性、可导性和可微性。4、 设函数f（x,y）在点（）的两个偏导数都存在，则（ ）【C】（A）f（x，y）在点（）连续； （B）f（x，y）在点（）可微；（C）f（x，）与f（，y）都存在； （D）f（x，y）存在。5、 二元函数f（x，y）在点（0,0）处可微的一个充分条件是（ ）【C】（A）f(x,y)-f(0,0)=0; ( B) 且；（C）；（D）(x,0)(0,0)=0,且(0,y)（0,0）=0。偏导数与全微分6、 设z=（+），求与。7、 设z=，u=ln，v=arctan，求。8、 设f（u，v）有二阶连续偏导数，g（u）有二阶连续导数，且z=f（xy，）+g（），求。9、有连续偏导数，函数z=z（x，y）由方程=0所确定，证明+=。10、 设函数有连续偏导数，函数，分别由方程，所确定，求。11、 设函数有连续偏导数，函数由方程所确定，求。12、 设，由方程和确定，有一阶连续导数，F有一阶连续偏导数，求。13、 若函数满足，则称为n次齐次函数，设n次齐次函数具有二阶连续偏导数，证明：（1）；（2）。14、 设具有二阶连续偏导数，且，是由方程确定的隐函数，证明：。15、 设在点处可微分，且，求。【51】16、 设函数在内具有二阶导数，且满足等式，若，求函数的表达式。17、设具有二阶连续导数，满足，求。18、设具有二阶连续偏导数，且满足，求所满足的一阶微分方程，并求其通解。方向导数和梯度19、设是曲面在点处指向外侧的法向量，求在点沿方向的偏导数。20、设一礼堂顶部为一个半椭球面，其方程为，求下雨时过屋顶上点处的雨水留下的路线方程。21、曲面与平面平行的切平面方程为_.【，关键是切点、法向量】22、曲线在处的切线方程为_，法平面方程为_。极值、条件极值与最值23、设是由确定的函数，求的极值点和极值。24、已知曲线，求曲线上距离最远的点和最近的点。【】25、已知函数的全微分，并且，求在上的最大值和最小值。【最大值为3，最小值为-2】26、求椭球面的内接长方体的最大体积。【建立函数关系，化为函数的最值问题】三、重积分二重积分1、 二重积分的概念、性质（类似定积分）2、 二重积分计算公式若果积分区域D为x型区域：则如果积分区域D为y型区域：则如果积分区域D：，则3、 利用对称性计算二重积分(1) 若区域D关于x（或者y）轴对称，f（x，y）关于y（或者x）是奇函数，则(2) 若区域D关于x（或者y）轴对称，f(x,y)关于y（或者x）是偶函数，则(3) 若区域D关于x轴和y轴都对称，f(x,y)关于y和x都是偶函数，则(4) 若区域D关于直线y=x对称，则，特别地，4、 计算二重积分的步骤（1） 画出积分区域D；考察对称性、选择坐标系、积分次序并确定积分限（关键）；（2） 表为二次积分并计算二次积分； 注意：（1）选择坐标系、积分次序的依据是被积函数和积分区域：当积分区域为圆域、环域及其部分域，被积函数含时，可以考虑采用极坐标计算二重积分。（2）计算二重积分的关键是确定积分限，要熟练的掌握确定积分限的方法。（直角坐标：投影找区间，穿刺找线段；极坐标：旋转找区间，穿刺找线段）例题1、设D是由y=x,y=在第一象限所围区域，求.【】2、求，D是由围成的第一象限区域。【】3、计算。【】4、求，D由，围成。5、求，其中D是由圆和所围成的平面区域。6、求。【】7、设函数，区域，求。8、求的值，其中D由围成。【】9、设，f（x）为D上的正值连续函数，a，b为常数，求。【】10、交换积分次序，=_.【】11、表位直角坐标下的二次积分，=_.【】12、表位极坐标下的二次积分，=_.13、设闭区间，为D上的连续函数，且，求。【】14、设为连续函数，求。【】15、设在上连续，且满足，求。16、设D是平面有界区域，与都在D上连续，且在D上不变号，证明：存在，使得。三重积分1、三重积分的概念、性质（类似定积分）；2、三重积分的计算方法一：坐标面投影法（先一后二法）若是型区域，即，且则三重积分可化为如下三次积分：坐标面投影法是计算三重积分的基本方法，计算步骤如下：（1）画出的图形（至少要画出投影域的图形）；（2）表为三次积分（关键是确定积分限，方法是：投影找区域，穿刺找底面）；（3）计算三次积分。方法二：坐标轴投影法（截面法、先二后一法）设空间闭区域，其中是竖标为的平面截闭区域所得到的一个平面闭区域（截面），则特别，当时，其中为的面积。方法三：用柱面坐标计算若的投影域为圆域、环域及其部分域，被积函数含有，常用柱面坐标计算。方法四：用球面坐标计算若为球域及其部分域，被积函数含有，常用球面坐标计算。3、利用对称性简化三重积分的计算若关于面对称，关于市奇函数，则；若关于面对称，关于是偶函数，则。若关于x，y对称（即x，y互换，不变），则1、求，由，围成。【】2、求，由，围成。【】3、连续，求及。4、设区域，则=_.四、曲线积分与曲面积分第一类曲线积分利用曲线的参数方程将第一类曲线积分化为定积分是计算第一类曲线积分的基本方法，计算步骤如下：（1）写出曲线的参数方程：；（2）根据计算公式将曲线积分表为定积分（把依次化为、，并注意积分下限小于积分上限）：（3）计算定积分注意1、将曲线积分化为定积分的关键是写出曲线的参数方程，读者应熟悉曲线的直角坐标方程、极坐标方程、面交式方程化为参数方程的方法。2、计算第一类曲线积分时，还可以（1）利用曲线的方程简化被积函数（此方法仅仅适用于曲线、曲面积分），（2）利用对称性（类似二重积分）简化第一类曲线积分的计算：例题1、设为下半圆周，则=_.【】2、求，其中为圆周，直线，轴在第一象限所围成的扇形的整个边界。3、求，其中为。【】4、求，其中为圆周。【8】5、设为椭圆，其周长记为，则=_.【12a】6、设为球面与平面的交线，求。【】第二类曲线积分计算第二类曲线积分的方法有：1、利用曲线的参数方程化为定积分，其步骤如下：（1）写出曲线的参数方程：，从到；（2）根据计算公式将曲线积分表为定积分（注意积分下限对应起点，积分上限对应终点）：（3）计算定积分2、利用格林公式化为二重积分注意（1）验证格林公式的条件以及条件不满足时的处理办法（封闭化、连续化）（2）方向性 环形区域的正向边界曲线：外边界为逆时针方向，内边界为顺时针方向。3、利用斯托克斯公式化为第二类曲面积分注意（1）方向性：曲线的方向与曲面的侧符合右手规则。（2）当曲线为平面与曲面的交线（截交线）时，可考虑用斯托克斯公式，这是，通常取曲面为，其单位法向量，前面的正负号由的侧确定。4、利用曲线积分与路径无关计算第二类曲线积分计算第二类积分时，还可以（1）利用曲线的方程简化被积函数：（2）利用垂直性简化第二类曲线积分的计算：若曲线垂直于x轴，则x型积分；若曲线垂直于y轴，则y型积分。例题1、设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为_.【】2、求，其中为，取逆时针方向。3、求，为单位圆的正向到点的弧。4、已知平面区域，为D的正向边界。试证：（1）（2）5、求，为从点沿到点的弧。6、求，是以为中心，为半径的圆周，取逆时针方向。【】7、求，其中C是，从z轴正向往z轴负向看，C的方向是顺时针的。【】8、在过点和的曲线族中，求一条曲线L，使得从到的积分的值最小。9、在力的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦限点，问当取何值时，力所做的功最大？并求功的最大值。10、设，曲线积分与路径无关，且对于任意的t都有，求。【】11、确定，使右半平面的向量为某二元函数的梯度，并求。【】12、设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一函数。（1）证明：对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线C，有；（2）求函数的表达式。【】13、设在上半平面内，函数据有连续偏导数，且对任意的都有，证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有。14、设，曲线积分与路径无关，且对于任意的t都有，求。【】第一类曲面积分计算第一类曲面积分的步骤是：（1）写出曲面的方程；（2）求出曲面在面上的投影区域D；（3）利用公式将曲面积分表为二重积分（4）计算二重积分注意 在计算第一类曲面积分时，还可以（1）利用曲面的方程简化被积函数；（2）利用对称性（类似三重积分）简化第一类曲面积分的计算：1、求，其中为在柱体内的部分。（）2、设为的上半部分，为在P点处的切平面，为点到平面的距离，求。【】第二类曲面积分计算第二类曲面积分的方法有：1、分面投影法这是计算第二类曲面积分的基本方法，计算曲面积分步骤如下：（1）写出定向曲面的方程并确定它的侧；（2）求出曲面在面上的投影区域；（3）利用公式将曲面积分表为二重积分，公式中的正负号有曲面的侧确定；（4）计算二重积分。2、合一投影法：设光滑曲面的方程为，则公式中的正负号有曲面的侧确定。3、利用高斯公式化为三重积分利用高斯公式计算第二类曲面积分的时候应该注意：（1）验证高斯公式条件（掌握不满足条件是的两种处理方法）（2）方向性：区域边界曲面的外侧。计算第二类曲面积分时还可以（1）利用曲面的方程简化被积函数；（2）利用垂直性简化第二类曲面积分的计算：若曲线垂直于面，则型积分，其余类似。例题：1、计算曲面积分，为，其法向量与z轴正向夹角为锐角。【】2、计算曲面积分，为曲面及，所围成的立体表面外侧。【】3、设是锥面的下侧，则_。【】4、设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则_.【】5、计算曲面积分，其中是曲面的上侧。【】6、求，为下半球面的上侧，其中。【】7、计算，其中为连续函数，为平面在第四卦限部分的上侧。8、设为球面的上半部分的上侧，则下列式子错误的是（ ）（A）（B）（C）（D）9、设对于半空间内的任意光滑有向封闭曲面，有，在有一阶连续导数，且，求。10、设是一片定向光滑曲面，面积为，函数均在上连续，证明：，其中为在上的最大值。梯度、散度与旋度11（1）设数量场，则_。（2）设具有二阶连续偏导数，则_。【】五、多元积分学的应用几何应用：平面图形D的面积；立体的面积；曲面的面积；曲线的弧长。物理应用：密度为的立体的（1）质量；（2）质心坐标；（3）对z轴的转动惯量；（4）对质点的引力引力元素，其中。（5）变力沿曲线所做的功；（6）向量场穿过定向曲面的通量。例题1、设有半径为的球体，是此球表面上一点，球体上任一点密度与该点到的距离平方成正比（比例常数），求球体重心位置。【定点为原点，】2求上任一点的切平面与所围立体的体积。【】3、半径为的球面的球心在球面上，问时，球面在定球面内部的部分面积最大？【】4、设位于点质点A对质点M的引力大小为，求M沿自运动到过程中A对M所做的功。【】六、级数数项级数（概念、性质、审敛法）1、已知，则_.【】2、设常数，则（）【C】（A）发散；（B）条件收敛；（C）绝对收敛；（D）收敛或发散与的取值有关。3、设为常数，则（）【A】（A）发散；（B）绝对收敛；（）条件收敛；（）收敛性与有关。、判别下列级数的敛散性：（）【时发散，时收敛】（）【时收敛，时发散，时收敛，发散】（）【发散】（）【绝对收敛】（）【条件收敛】、设，判别级数的敛散性。、设，判别级数的敛散性。、设是单调递增而且有界的正数列，判别级数的敛散性。、设是单调递减的正数列，且发散，问级数是否收敛？并说明理由。、设函数在的某一邻域内具有二阶连续导数，且，证明级数绝对收敛。幂级数（收敛性、和函数、函数展开成幂级数）、若在处收敛，则级数在处（）（）发散；（）条件收敛；（）绝对收敛；（）收敛性不能确定。、求幂级数的收敛域。【收敛半径，再讨论端点】、求幂级数的收敛区间与和函数。、设级数的和函数为，求：（）所满足的一阶微分方程；（）的表达式。、已知（n为正整数），求函数项级数的和函数。、求级数的和。【】、将函数展开成x的幂级数，并求级数的和。、将函数展开成x的幂级数，并求。、将函数展开成的幂级数。傅里叶级数（系数公式、展开式、收敛定理）、设，则=【】。、设，其中，则_。【】、将展成以2为周期的傅里叶级数，并求级数的和。、将函数展开成余弦级数，并求的和。【】。15