《数列的综合问题》word版.doc

北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编14：数列的综合问题一、选择题 （2013北京海淀二模数学理科试题及答案）若数列满足:存在正整数,对于任意正整数都有成立,则称数列为周期数列,周期为. 已知数列满足,则下列结论中错误的是（）A若,则可以取3个不同的值 B若,则数列是周期为的数列 C且,存在,是周期为的数列 D且,数列是周期数列 （2013北京昌平二模数学理科试题及答案）设等比数列的公比为,其前项的积为,并且满足条件,.给出下列结论: ; ; 的值是中最大的; 使成立的最大自然数等于198. 其中正确的结论是（）ABCD二、填空题 2 4 （3题图） （2013届北京市延庆县一模数学理）以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）.那么原闭区间上（除两个端点外）的点，在第次操作完成后，恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为，则 ； .（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（），则等于 ，. （北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）对于各数互不相等的整数数组()(是不小于3的正整数),若对任意的,当时有,则称是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,如数组(2,3,1)的逆序数等于2.则数组(5,2,4,3,1)的逆序数等于_;若数组()的逆序数为,则数组()的逆序数为_. （2013朝阳二模数学理科）数列的前项组成集合,从集合中任取个数,其所有可能的个数的乘积的和为(若只取一个数,规定乘积为此数本身),记.例如当时,;当时,.则当时,_;试写出_. （2013届西城区一模理科）记实数中的最大数为，最小数为.设的三边边长分别为，且，定义的倾斜度为（）若为等腰三角形，则_； （）设，则的取值范围是_ （海淀区北师特学校13届高三第四次月考理科）对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则 （北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）定义映射，其中，已知对所有的有序正整数对满足下述条件:；若，；，则 ， （2013北京东城高三二模数学理科）在数列中,若对任意的,都有(为常数),则称数列 为比等差数列,称为比公差.现给出以下命题:等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列;若数列满足,则数列是比等差数列,且比公差;若数列满足,(),则该数列不是比等差数列;若是等差数列,是等比数列,则数列是比等差数列.其中所有真命题的序号是 . （北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）将整数填入如图所示的行列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 . （2013北京房山二模数学理科试题及答案）在数列中,如果对任意的,都有(为常数),则称数列为比等差数列,称为比公差.现给出以下命题:若数列满足,则该数列不是比等差数列;若数列满足,则数列是比等差数列,且比公差;等比数列一定是比等差数列,等差数列一定不是比等差数列;若是等差数列,是等比数列,则数列是比等差数列.其中所有真命题的序号是_ . 三、解答题（海淀区2013届高三上学期期中练习数学（理）已知数集具有性质P:对任意的,使得成立.()分别判断数集与是否具有性质P,并说明理由;()求证:;()若,求数集中所有元素的和的最小值.（2013届北京海滨一模理科）设为平面直角坐标系上的两点，其中.令，若,且，则称点为点的“相关点”，记作：. 已知为平面上一个定点，平面上点列满足：，且点的坐标为，其中.（）请问：点的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；（）求证：若与重合，一定为偶数；（）若，且，记，求的最大值.（西城区2013届高三上学期期末考试数学理科）如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且.记为所有这样的数表构成的集合对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积令（）请写出一个，使得；（）是否存在，使得？说明理由；（）给定正整数，对于所有的，求的取值集合（2011年高考（北京理）若数列满足,则称为数列.记()写出一个满足,且的数列;()若,证明: 数列是递增数列的充要条件是;()对任意给定的整数,是否存在首项为0的数列,使得?如果存在,写出一个满足条件的数列;如果不存在,说明理由.（2013丰台二模数学理科）已知等差数列的通项公式为,等比数列中,.记集合 ,把集合中的元素按从小到大依次排列,构成数列.()求数列的通项公式,并写出数列的前4项;()把集合中的元素从小到大依次排列构成数列,求数列的通项公式,并说明理由;()求数列的前n项和（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）设是数的任意一个全排列,定义,其中.()若,求的值;()求的最大值; ()求使达到最大值的所有排列的个数. （顺义13届高三第一次统练理科）已知数列的前项和为,且点在函数的图像上.(I)求数列的通项公式;(II)设数列满足:,求数列的前项和公式;(III)在第(II)问的条件下,若对于任意的不等式恒成立,求实数的取值范围（丰台区2013届高三上学期期末理 ）已知曲线，是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形（）求、的坐标； （）求数列的通项公式；（）令，是否存在正整数N，当nN时，都有，若存在，求出N的最小值并证明；若不存在，说明理由（海淀区2013届高三上学期期末理科）已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为. ()已知函数，若且，求实数的取值范围；()已知，且的部分函数值由下表给出， 求证：；()定义集合请问：是否存在常数，使得，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. （石景山区2013届高三上学期期末理）定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”（）已知是首项为，公差为的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求的取值范围；（）已知数列的首项为，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列；（）若是（）中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项?(解题中可用以下数据 :)（朝阳区2013届高三上学期期中考试（理）给定一个项的实数列,任意选取一个实数,变换将数列变换为数列,再将得到的数列继续实施这样的变换,这样的变换可以连续进行多次,并且每次所选择的实数可以不相同,第次变换记为,其中为第次变换时选择的实数.如果通过次变换后,数列中的各项均为,则称, ,为 “次归零变换”.()对数列:1,3,5,7,给出一个 “次归零变换”,其中;()证明:对任意项数列,都存在“次归零变换”;()对于数列,是否存在“次归零变换”?请说明理由.（2013届丰台区一模理科）设满足以下两个条件的有穷数列为n（n=2,3,4,）阶“期待数列”： ； .（）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（）若某2k+1()阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（）记n阶“期待数列”的前k项和为，试证：（1）； （2） （2013北京昌平二模数学理科试题及答案）本小题满分14分)设数列对任意都有(其中、是常数) .(I)当,时,求;(II)当,时,若,求数列的通项公式;(III)若数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当,时,设是数列的前项和,试问:是否存在这样的“封闭数列” ,使得对任意,都有,且.若存在,求数列的首项的所有取值;若不存在,说明理由.（昌平区2013届高三上学期期末理）已知每项均是正整数的数列，其中等于的项有个，设，（）设数列，求；（）若中最大的项为50， 比较的大小；（）若，求函数的最小值（2013北京朝阳二模数学理科试题）已知实数()满足,记.()求及的值; ()当时,求的最小值;()求的最小值.注:表示中任意两个数,()的乘积之和.（北京四中2013届高三上学期期中测验数学(理)）已知(,),(,)是函数的图象上的任意两点(可以重合),点在直线上,且.(1)求+的值及+的值 (2)已知,当时,+,求;(3)在(2)的条件下,设=,为数列的前项和,若存在正整数、,使得不等式成立,求和的值.（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）(本小题满分13分)123101设是由个实数组成的行列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”. () 数表如表1所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可);表1() 数表如表2所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,求整数的所有可能值;()对由个实数组成的行列的任意一个数表,能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之 表2和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由. （2013北京房山二模数学理科试题）设,对于项数为的有穷数列,令为中的最大值,称数列为的“创新数列”.例如数列3,5,4,7的创新数列为3,5,5,7.考查自然数的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列.()若,写出创新数列为3,5,5,5,5的所有数列;()是否存在数列的创新数列为等比数列?若存在,求出符合条件的创新数列;若不存在,请说明理由;()是否存在数列,使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有符合条件的数列的个数;若不存在,请说明理由.（东城区2013届高三上学期期末考试数学理科）已知实数组成的数组满足条件：； .() 当时，求，的值； （）当时，求证：；（）设,且，求证：.（东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）设，是首项为1，公比为2的等比数列，对于满足的整数，数列， 由 确定。记()当时，求的值； ()求的最小值及相应的的值（2013西城二模）已知集合是正整数的一个排列,函数对于，定义: ,称为的满意指数.排列为排列的生成列;排列为排列的母列.()当时,写出排列的生成列及排列的母列;()证明:若和为中两个不同排列,则它们的生成列也不同;()对于中的排列,定义变换:将排列从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项,其它各项顺序不变,得到一个新的排列.证明:一定可以经过有限次变换将排列变换为各项满意指数均为非负数的排列.（2013北京东城高三二模数学理科）已知数列,.()求,; ()是否存在正整数,使得对任意的,有;()设,问是否为有理数,说明理由.（2013北京高考数学（理）已知是由非负整数组成的无穷数列,该数列前项的最大值记为,第项之后各项,的最小值记为，(1)若为是一个周期为的数列（即对任意），写出的值；(2) 设是非负整数，证明：（）的充分必要条件为是公差为的等差数列；(3) 证明：若，（），则的项只能是或者，且有无穷多项为（石景山区2013届高三一模数学理）给定有限单调递增数列 ()且(),定义集合.若对任意点存在点使得(为坐标原点),则称数列具有性质.(I)判断数列:和数列:是否具有性质,简述理由.(II)若数列具有性质,求证: 数列中一定存在两项使得；若且,则.()若数列只有2013项且具有性质,求的所有项和.（2013届北京西城区一模理科）已知集合 对于，定义；与之间的距离为（）当时，设，若，求；（）（）证明：若，且，使，则； （）设，且是否一定，使？说明理由；（）记若，且，求的最大值（海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理）数列的各项都是正数,前项和为,且对任意,都有.()求证:; ()求数列的通项公式. （通州区13届高三上学期期末理科）现有一组互不相同且从小到大排列的数据，其中记，作函数，使其图象为逐点依次连接点的折线（）求和的值；（）设直线的斜率为，判断的大小关系；（）证明：当时，（朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）将正整数（）任意排成行列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数（）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.（）当时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；（）若表示某个行列数表中第行第列的数（，），且满足请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；（）对于由正整数排成的行列的任意数表，记其“特征值”为，求证：.（2013届北京大兴区一模理科）已知数列的各项均为正整数，且，设集合。性质1 若对于，存在唯一一组（）使成立，则称数列为完备数列，当k取最大值时称数列为k阶完备数列。性质2 若记，且对于任意，都有成立，则称数列为完整数列，当k取最大值时称数列为k阶完整数列。性质3 若数列同时具有性质1及性质2，则称此数列为完美数列，当取最大值时称为阶完美数列；（）若数列的通项公式为，求集合，并指出分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；（）若数列的通项公式为，求证：数列为阶完备数列，并求出集合中所有元素的和。 （）若数列为阶完美数列，求数列的通项公式。（2010年高考（北京理）已知集合对于,定义与的差为与之间的距离为()证明:,且;()证明:三个数中至少有一个是偶数;() 设,中有(2)个元素,记中所有两元素间距离的平均值为(),证明:().