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一、导数与单调性（一）含参数函数的单调性1.已知函数f(x)=xax+(a1)，讨论函数的单调性,求出其单调区间。解： 的定义域为.(1) (2) 若即时，>0, 故在单调递增.若0<,即时，由得，；由得，故在单调递减，在单调递增.若,即时，由得，；由得，故在单调递减，在单调递增.2（文）讨论的单调性 解：的定义域为 (它与同号)I） 当时，恒成立 （此时没有意义） 此时在为单调增函数，即的增区间为II） 当时，恒成立，（此时不在定义域内，没有意义）此时在为单调增函数，即的增区间为III) 当时, 令 此时在为单调增函数，在是单调减函数，即的增区间为;的减区间为.2.（理）设函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）,曲线在点处的切线方程为.（）由，得， 若，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 若，则当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减，3. 已知函数，讨论的单调性.本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。解析 的定义域是(0,+), 设,二次方程的判别式. 当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。 当，即时，方程有两个不同的实根,.此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.4已知函数讨论函数f（x）的单调性解：当a+10，即a1时，f'（x）0，f（x）在（0，+）单调递减；（7分）当a0时，f'（x）0，f（x）在（0，+）单调递增；（8分）当1a0时，由f'（x）0得，或（舍去）f（x）在单调递增，在上单调递减；（10分）综上，当a0时，f（x）在（0，+）单调递增；当1a0时，f（x）在单调递增，在上单调递减当a1时，f（x）在（0，+）单调递减；（12分）（二）单调性的逆用1若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围 （ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：函数的定义域为，所以即，令，得或（不在定义域内舍），由于函数在区间（k-1，k+1）内不是单调函数，所以即，解得，综上得，答案选B.2已知函数，在x1处取得极值2（）求函数的解析式；（）m满足什么条件时，区间为函数的单调增区间？解析： (1)已知函数=，. 2分又函数在x=1处取得极值2，即 4分当a=4,b=1, ，当，. 6分(2)由. 8分所以的单调增区间为. 10分若为函数的单调增区间，则有 解得 即时，为函数的单调增区间. 12分3已知函数（1）若函数在处取得极值，求实数的值；（2）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；【答案】（1）；（2）；【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，根据题意解关于a的等式，即可得到实数a的值；（2）由题意，不等式在（0，+）内恒成立，等价转化为在（0，+）内恒成立，求出右边的最小值为-1，即可得到实数a的取值范围；（3）原方程化简为，设，利用导数研究g（x）的单调性得到原方程在1，4上恰有两个不相等的实数根的等价命题，建立关于b的不等式组并解之，即可得到实数b的取值范围试题解析：（1）由可得；（2）函数的定义域是函数在定义域内单调递增在上恒成立即在上恒成立 二、含参数函数的极值与最值，恒成立问题1已知函数在处取得极值（1）求的值；（2）求函数在上的最小值；（3）求证：对任意、，都有【答案】(1)a=1；（2）；(3)见解析【解析】试题分析：(1), 1分由已知得，即，解得a=1. 3分当a=1时, f(x)在x=1处取得极小值,所以a=1. 4分（2）， 令得x>1，令得x<1，所以函数f(x)在上单调递减，在上单调递增， 5分当时，在上单调递增，；当0<m<1时，在上单调递减，在上单调递增，；当时，f(x)在上单调递减，.综上，f(x)在上的最小值 8分(3)由(1)知, .令，得x=1，因为， 所以，时，. 10分所以,对任意,都有. 12分2（12分）已知函数f(x)lnxmx（mR）（1）若曲线yf(x)过点P(1,1)，求曲线yf(x)在点P处的切线方程；（2）若f(x)0恒成立求m的取值范围.（3）求函数f(x)在区间1，e上的最大值；【答案】（1）,（2）,（3）参考解析【解析】试题分析：（1）由，对求导，再求出的值即为过点P的斜率，再根据点斜式表示出结论.（2）由恒成立即等价于恒成立，求出，的最大值，即为m的最小值，通过新建立函数利用求导可得的最大值.（3）对函数求导，根据m的取值情况得出导函数的正负，即可得到函数相应区间的单调性，由此可到函数的最大.试题解析：（1）过点 1分 2分过点的切线方程为 3分（2）恒成立，即恒成立 又定义域为 恒成立 4分设 当x=e时，当时，为单调增函数，当时，为单调减函数 当时，恒成立 7分（3）当时， 在为单增函数在上， 8分当时，即时时，为单增函数，时，为单减函数上 9分当时，在为单减函数上， 10分当时，即时，在为单增函数时， 11分综上所述当时，当时，当时， 12分3（12分）已知函数在点（1，f（1）的切线方程为x+y+3=0（）求函数f（x）的解析式；（）设g（x）=lnx，求证：g（x）f（x）在x1，+）上恒成立解答：解：（）将x=1代入切线方程得y=2，化简得ba=4 （2分） （4分）解得：a=2，b=2 （6分）（）由已知得在1，+）上恒成立化简得（x2+1）lnx2x2即x2lnx+lnx2x+20在1，+）上恒成立 （8分）设h（x）=x2lnx+lnx2x+2，x1，即h'（x）0 （10分）h（x）在1，+）上单调递增，h（x）h（1）=0g（x）f（x）在x1，+）上恒成立 （12分）4（本小题满分14分）已知函数.（1）若a>0,试判断在定义域内的单调性;（2）若在上的最小值为,求a的值;（3）若在上恒成立,求a的取值范围【答案】（1）在上是单调递增函数；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）由题意知的定义域为,求导数知, 在上是单调递增函数；（2）讨论；等几种情况，通过研究函数的单调性、确定最小值，建立方程求解.（3）由已知得到， 令.通过讨论函数的单调性明确 得解.试题解析：（1）由题意知的定义域为,且, 故在上是单调递增函数 4分（2）由（1）可知, .若,则,即在上恒成立, 此时在上为增函数, (舍去) 6分若,则,即在上恒成立, 此时在上为减函数, (舍去) 8分若令得 当时, 在上为减函数; 当时, ,在上为增函数, .综上所述, 10分（3）.又， 令.时, 在上是减函数.,即在上也是减函数. ,当时, 在上恒成立 14分5（本小题满分13分）（1）求的单调区间和极值（2）若及不等式恒成立，求实数的范围.【解析】试题分析：（1），应用“表解法”，讨论，的对应关系，即得.单调递减区间为，单调递增区间为，极小值是，无极大值.（2）由（1）可知在上单调递增从而对恒成立，解，即得所求.试题解析：（1）列表如下：0极小值所以，单调递减区间为，单调递增区间为，极小值是，无极大值.（2）由（1）可知在上单调递增所以即对恒成立所以，解得.6（本小题满分14分）已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值；（3）对恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）函数的极小值为, 无极大值；（3）.【解析】试题分析：（1）先求出，再根据导数的几何意义，求出该点的导数值，即可得出曲线在此点处的切线的斜率，然后用点斜式写出切线方程即可；（2）令导数大于0解出函数的增区间；令导数小于0，解出函数的减区间，然后由极值判断规则确定极值即可；（3）由恒成立，得到在上恒成立，于是构造函数，即可将所求问题转化为.试题解析：（1）函数的定义域为， ， 曲线在点处的切线方程为，即, （2）令，得， 列表：-0+函数的极小值为, 无极大值。 （3）依题意对恒成立等价于在上恒成立可得在上恒成立， 令, 令，得列表：-0+函数的最小值为, 根据题意，.三、图像交点个数问题1（12分）（2012威海一模）已知函数f（x）=（）若曲线f（x）在点（2，f（2）处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，求a的值；（）讨论函数y=f（x）的单调性；（）当a=2时，关于x的方程f（x）=m有三个不同的实数根，求实数m的取值范围解：（I）由已知可知f（x）的定义域为x|x0f'（x）=xa1+（x0）根据题意可得，f'（2）=2a1+=，a=1（II）f'（x）=xa1+=（x0）当a1时，由f（x）0可得xa或0x1；由f（x）0可得0x2af（x）在（2a，+）上单调递增，在（0，2a）上单调递减当0a1时，由f（x）0可得x1或0xa；当a=1时，在区间（0，+）上f（x）0恒成立当a1时，f（x）在（0，1），（a，+）上单调递增，在（1，a）上单调递减；当0a1时，f（x）在（0，a），（1，+）上单调递增，在（a，1）上单调递减；当a=1时，f（x）在（0，+）上单调递增当a0时，f（x）在（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减（III）当a=2时，f（x）=，由（II）问知，f（x）在（0，1），（2，+）上单调递增，在（1，2）上单调递减；f（x）的极大值为f（1）=，f（x）的极小值为f（2）=2ln24，当m（2ln24，），函数方程f（x）=m在（0，+）上有三个不同的实数根，因此实数m的取值范围是（2ln24，）2（本小题满分12分）已知函数图象上点处的切线方程为2xy3=0.（1）求函数的解析式及单调区间；（2）若函数在上恰有两个零点，求实数m的取值范围【答案】（1）；单调增区间为（0，），减区间为，+ ；（2）.【解析】试题分析：（1）由导数的几何意义知切线的斜率为点P处导数，点P也在切线上，构造方程组可得函数的解析式，再由函数的解析式进行求导，判断导数大于零和小于零的区间，即函数的单调区间；（2）易知函数，令，分离变量，构造新的函数，对新函数求导判断函数的单调性，再求出新函数的端点值和极值，从而可得实数m的取值范围试题解析：切点在直线2xy3=0上，f（1）=,由已知得a=4,b=-1. 单调增区间为（0，），减区间为，+ （2）f（x）的定义域为.=4lnx-x2+m-ln4.令g（x）=0, 得4lnx-x2+m-ln4.=0m=x2-4lnx+ln4 记.则,当时, 单调递减;当时, 单调递增., .由题意, 3. 设函数，。（）当a=0时，在（1，+）上恒成立，求实数m的取值范围；（）当m=2时，若函数在1，3上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围；（）是否存在实数m，使函数和函数在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由 解：（）由a=0，可得，即 1分记，则在（1，+）上恒成立等价于.求得 2分当时；当时， 3分故在x=e处取得极小值，也是最小值，即，故. 4分（）函数在上恰有两个不同的零点等价于方程，在上恰有两个相异实根5分令，则 6分当时，当时，g（x）在1，2上是单调递减函数，在上是单调递增函数故 8分又g（1）=1，g（3）=3-2ln3g（1）>g（3），只需g（2）<ag（3），故a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3） 9分