多元函数微分学及应用习题.doc

习题课 多元函数微分学的应用一多元复合函数、隐函数的求导法 例1 已知函数由方程是常数，求导函数。解：方程两边对求导，例2 设函数由方程组 确定， 求. 解 解方程得：=由此得到 .(3) 隐函数由方程确定，求解： 函数关系分析: 5 (变量) - 3 (方程)=2(自变量); 一函 (u), 二自( x, y ), 二中( z, t ), , .二二阶偏导数例3 设，其中函数于的二阶偏导数连续，求例4 设，二阶连续可微，求.解 记 ; ,则 ,因为 都是以为中间变量，以为自变量的函数，所以将以上两式代入前式得: .三方向导数和梯度例5 设在点可微，如果，求在点的微分答案：例6 设函数有连续的偏导数,且在点的两个偏导数分, .则在点增加最快的方向是( ) 四几何应用例7 求曲面:上切平面与直线平行的切点的轨迹。解: (1) 直线的方向：. 切点为处曲面的法向：. (2)所求轨迹：, 轨迹为空间曲线：例8 已知可微，证明曲面上任意一点处的切平面通过一定点，并求此点位置证明：设，于是有：,则曲面在处的切平面是：可以得到：易见当时上式恒等于零。于是知道曲面上任意一点处的切平面通过一定点，此定点为例9 求曲线 ,在点处的切线方程.解: 取，则 所以曲线在处的切向量为 ， 于是所求的切线方程为 五极值问题例10 函数在有界闭区域上连续，在D内部偏导数存在,在的边界上的值为零，在内部满足，其中是严格单调函数，且，证明 .证明：假设不恒为0，不妨设其在区域上某点P处取极大值，则有，这与是严格单调函数矛盾。例11 （隐函数的极值）设由确定，求该函数的极值解：三个方程联立，得驻点在点且，点是极小值点；在点且，点是极大值点例12 求原点到曲面的最短距离解：拉格伦日函数：解方程组，拉格伦日函数的两个驻点为距离，由实际意义，本问题存在最短距离，故就是最短距离