多元函数微分法及其应用习题与答案.doc
第八章 多元函数微分法及其应用A题1、 填空题1） 设，则 2） 设，且当时，则 3） 设，则 4） 设，若已知：当时，则 5） 设，由所确定，则 6） 设，则在点的法线方程为 7） 曲面上点处的切平面方程为 8） 设，则在沿方向的方向导数为 2、 下列函数的定义域并图示1)2)3)3、 求下列各极限1)2)3)4、 问函数在何处间断.5、 求下列函数的偏导数1)2)3)4)6、 曲线在点处的切线对于轴的倾角是多少?7、 设，求.8、 求下列函数的,1)2)9、 求下列函数的全微分1)2) 10、求函数当，时的全增量和全微分.11、计算的近似值.12、已知边长为与的矩形，如果边增加而边减少，问这个矩形的对角线的近似变化怎样？13、设，而，求，.14、设，而，求.15、设，而，求.16、求下列函数的一阶偏导数（其中具有一阶连续偏导数）1)2)17、设，求，.18、设，其中就有二阶导数，求，. 19、求下列函数的，（其中具有二阶连续偏导数）1)2)，其中3)20、设，求及.21、设由方程确定，求.22、设，都是由方程所确定的具有连续偏导数的函数，求.23、设，计算.24、求下列方程组所确定函数的导数或偏导数1)设 求，2)设 求，25、求曲线，在点处的切线和法线方程.26、求出曲线，上的点，使在该点的切线平行于平面.27、求椭球面上平行于平面的切平面方程.28、求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数.29、求函数沿曲线，在点处的切线正方向（对应于增大的方向）的方向导数.30、设，求及.31、问函数在点处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值.32、求函数的极值.33、求函数在适合条件下的极大值.34、欲选一个无盖的长方形水池，已知底部造价为每平方米元，侧面造价为每平方米元，现用元造一个容积最大的水池，求它的尺寸.35、要造一个容积等于定数的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小.36、在平面上求一点，使它到，及三直线的距离平方之和为最小.B题1、 填空题1) 设，其定义域为 2) 设，则 3) 已知函数，则 4) 函数，则 5) 在点处可微分是在该点连续的 的条件，在点处连续是在该点可微分的 的条件6) 在点的偏导数及存在是在该点可微分的 条件7) 由方程所确定的函数在点处的全微分为 8) 设，则在点处的值为 9) 设，具有二阶连续导数，则 10) 由曲线绕轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为 11) 曲面上任一点的切平面在坐标轴上的截距平方和为 12) 设在点处的梯度 13) 设，则在沿方向的方向导数为 2、 求函数的定义域，并求.3、 证明：.4、 证明下列极限不存在1)2)5、 求下列函数的偏导数1)2)3)6、 设，求及.7、 设，而，验证：.8、 设，而，为可导函数，证明：.9、 设，其中为可导函数，验证：.10、设，为连续可微函数，求.11、设，其中函数二阶可导，具有连续二阶偏导数，求.12、设的所有二阶偏导数连续，而，证明：及.13、设，试求和.14、在方程中，函数具有二阶连续偏导数，令，求以， 为自变量的新方程.15、设，求.16、设具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数，满足.17、设，其中，具有一阶连续偏导数，求和.18、求曲线在点处的切线及法平面方程.19、试证曲面上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和为一常数.20、求函数在球面上点处沿球面在该点的外法线方向的方向导数.21、设，求函数在点处沿方向的方向导数，并分别确定角，使这个导数有：a)最大值b)最小值c)等于22、证明：曲面上任意点处的切平面与直线平行（，为常数）.23、求平面的三截距之积在条件之下的最小值.24、经过的所有的平面中，哪一个平面与坐标面围成的立体体积最小？最小体积是多少？25、抛物面被平面截成一椭圆，求原点到这个椭圆的最长与最短距离.C题1、 讨论函数在点处的连续性，偏导数存在性，可微性.2、 设，求及.3、 设由方程所确定，求， 及.4、 设由方程所确定，求， .5、 设，而是由方程所确定的，的函数，其中，都具有一阶连续偏导数，试证明：.6、 设，其中，都具有一阶连续偏导数，且，求.7、 设变换可把方程转化为，求常数.8、求椭球面上某点处的切平面的方程，使过已知直线：.9、 求函数在区域的最大值，最小值.10、求旋转椭球面 在第一卦限部分上的点，使该点处的切平面在三个坐标轴上的截距平方和最小.第八章 多元函数微分法及其应用习 题 答 案A1、填空题1) 2） 3） 4） 5） 6） 7) 8）2、下列函数的定义域并图示1） 2）3）3、1） 2） 3） 4、5、 1）,2）, 3）,4）,6、 7、8、 1）,2）,9、1） 2）10、， 11、 12、13、，14、 15、16、1）,2）,17、,18、， 19、1）, 2）3） 20、, 21、 22、 23、24、1），2）, 25、切线方程：法线方程：26、及 27、切平面方程：28、 29、30、，31、是方向导数取最大值的方向，此方向导数的最大值为32、极小值： 33、极大值：34、，35、当长，宽都是，而高为时，表面积最小36、 B解答及提示1、 填空题1) 2) 3) 4) 5)充分，必要 6)必要 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)2、 ，3、 提示：4、 证明下列极限不存在1),2)5、 求下列函数的偏导数1) , 2) ,3) 6、提示：处的偏导数应按定义求,10、 11、13、提示：由解出再解或者由直接分别求对于，对于的偏导数，通过解关于， 或，的方程组解出， ，14、提示：将，看作中间变量，通过复合函数偏导数运算求得新方程为 15、17、，18、提示：,切线方程：法平面方程：20、处沿球面在该点的外法线方向的方向导数21、,a) b) c)或22、提示：令,已知曲线在任意点处的法向量即为23、提示：考虑在条件之下的最小值，由拉格朗日乘数法得最小值为24、提示：设平面方程为，问题即求：在条件下的最小值，由拉格朗日乘数法得平面方程为：，最小体积是25、提示：问题可看作在条件下的最值，令求得最长距离为：，最短距离为：C解答及提示解：1）因为又 由夹逼准则知：,又因 ,所以 在处连续2）根据定义 在处的偏导数为： 同理可得 3） 而 所以 在处可微分C1、 解：两边取对数有： 两边对求偏导有：故 同理： 2、 解：两边分别对求偏导有：, 故 同理由：，得： 对方程两边同时求的偏导有：将代入上式有：4、解：方程可表示为： （为任意常数）对方程两边求的偏导数有：，所以 ，同理得 5、 由题意可知：，由，两边对求导有：，得：将上面偏导代入即得结果6、解： ，易见 由，对方程两边求的导数有：，得7、 解法一： ，将上述结果代入原方程，经整理后可得：依题意应满足：，解法二：将视为以，为中间变量的，的二元复合函数，由题意可得：，从而，依题意 ，即 代入上式得，令 ，得： 故 8、解：令，椭球面在点处的切平面的方程为，即因为平面过直线，故直线上任意两点，如点，应满足平面的方程，代入有： 又因为 解，有 ， 及 ，故所求切平面方程为： 及 9、 解：函数在闭区域上连续，故存在最大值，最小值令 此时 显然是函数在区域内的唯一驻点，且所以函数在驻点取得最小值，而函数的最大值只可能在区域的边界上取得设，显然，故只需讨论以下边界的函数值1） 2） 对于情形1） 当 或 时 取最大值 对于情形2） 当 或 时 综上 10、设所取的点为，在点处切平面的法向量为，切平面方程为，即 （考虑到）此平面在三个坐标轴上的截距分别为：，问题即为求，使得函数在条件下求极值令 则 解得 代入约束条件得 由 知， 所求点为
