《常微分方程》A卷及答案.doc

考生答题不得超此线安 庆 师 范 学 院常微分方程A卷得分一、判断题（8分，每题2分） 1、阶常微分方程的通解包含了它的所有解。 （ ）2、函数是微分方程 的通解。（ ）3、阶线性齐次微分方程的个解在上线性无关的充要条件是。 （ ）4、设为的基解矩阵，则为其基解矩阵存在阶常数矩阵，使。 （ ）得分二、选择题（10分，每题2分）1、 微分方程是 （ ）。A 三阶非线性方程 B 三阶线性方程 C 四阶非线性方程 D 四阶线性方程2、 下列方程中为齐次方程的是 （ ）。A B C D 3、阶齐次线性微分方程的所有解构成一个（ ）维线性空间。 A B C D 4、Lipschitz条件是一阶微分方程初值问题存在唯一解的（ ）条件。A 充分条件 B 必要条件C 充分必要条件 D 既不是充分也不是必要条件5. 方程的奇点的类型是 （ ）。A 结点 B 焦点 C 中心 D 鞍点 得分三、填空题（12分，每空2分）1、向量函数是线性方程组的基本解组的充要条件是：（1） ；（2） 。2、方程存在只与有关而与无关的积分因子的充分必要条件是 。3、方程的奇解是 。4、伯努利方程通过变量替换 可化为线性方程。5、欧拉方程的通解为 。得分四、求下列方程的通解（40分，每题10分） (考 生 答 题 不 得 超 过 此 线) 1、2、3、4、得分 五、计算与证明题（30分，每题10分）1、试用皮卡逐步逼近法求方程通过点(1,0)的第二次近似解。2、已知方程的一个解为试求此方程的通解。3、设曲线位于平面的第一象限内，上任一点M处的切线与轴总相交，交点记为，已知且过点，求的方程.安 庆 师 范 学 院常微分方程A卷（本答案仅供参考，若有多种解法，则按相应标准酌情评分）一、判断题（8分，每题2分） 1、错； 2、错； 3、对； 4、错二、选择题（10分，每题2分）1、A ； 2、 B ；3、A ；4、A ；5、C 三、填空题（12分，每空2分）1、（1）是方程组的解；（2）线性无关；2、； 3、； 4、；5、(其中为任意常数)四、求下列方程的通解（40分，每题10分）1、解：改写方程为: 先求齐次线性方程的通解,分离变量得: -3分积分得通解为 -5分再利用常数变易法求非齐次线性方程的通解,令,代入得: ,积分得 -8分从而所求通解为(其中为任意常数). -10分2、解: 由于，所以原方程是恰当方程-4分 原方程可化为或 -8分故原方程的通解为，其中为任意常数. -10分3、解：原方程化为：（2分） 两边同除以“” 得： 即： (7分)化简得： （C为任意常数） 故原方程的通解为： （10分）注：用其他方法解得正确结果给满分。4、解：特征方程为，即， 所以特征根为 ， - 3分对应特征向量应满足 可确定出 - 6分同样可算出对应的特征向量为 -8分所以，原方程组的通解为 -10分 五、计算与证明题（30分，每题10分）1、解: -3分 -6分 -10分2、解：将代入原方程得即.从而原方程化为, -4分对应齐次方程的特征值为 ，（二重） -6分所以原方程的通解为-10分3、设曲线L位于XOY平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与Y轴总相交，交点记为A，已知且L过点，求L的方程。解： 设点M的坐标为（x,y）,则切线MA的方程为： （2分）令，则 ，故点A的坐标为： 由 ， 有 ；化简后得： （5分）令， 得解得： 即 （8分）又所求曲线在第一象限，所以 将 代入， 得C=3；所以曲线方程的解为：， （10分）.