《微分几何复习题》word版.doc

1、 证明具有固定方向的充要条件是证明 必要性 设（为常单位向量），则，所以 充分性 设（为单位向量函数），则， 因为，于是，当时有即，因为（根据）， 因此，即为常向量，所以有固定方向2、 证明平行于固定平面的充要条件是证明 必要性 设固定平面的单位法向量为，依题意 则，从而， ，均与垂直，所以 充分性 由已知，共面 若，则由可知有固定方向，所以平行于固定平面若，则由，共面可知，记，则，从而有，但因此有固定方向；又，所以平行于固定平面3、 对于圆柱螺线，求它在点的切线和法面解 由得所以曲线是正则曲线令，解出，则对应于点有，所以，则曲线在点（即点）的切线方程为法面方程为，即， 4、 求三次挠曲线在点的切线和法面解 ，所以切线方程为即；法面方程为即， 5、 求曲线在原点的密切平面、法平面、从切平面、切线、主法线、副法线方程解 ，在原点处，在原点处的切平面方程为，即；法平面的方程为，即；从切平面方程为，即；切线方程为，即；主法线方程为，即；副法线方程为，即7、求以下曲线的曲率和挠率（1）解 （1）因为， ， ， ， ， ， ， ， 所以 8、 曲线，求（1）基本向量（2）曲率和挠率（3）验证伏雷内公式解 （1），（设）， 则， ， ，由于与方向相反，所以 显然以上所得 满足 ，而也满足伏雷内公式 11、求双曲抛物面的第一基本形式解 ， ， 12求正螺面的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直解，坐标曲线互相垂直20、证明曲面是可展曲面证明 因为可以改写为所以， ， 所以曲面是可展曲面21、证明曲面是可展曲面证明 因为可以改写为 则， ， 所以曲面是可展曲面5