再探实际问题与二元一次方程组小结.doc

【本讲教育信息】一. 教学内容：    再探实际问题与二元一次方程组、小结 二、教学要求（一）会列出二元一次方程组（三元一次方程组）解应用问题，能够把数学问题中已知量与未知量之间的数量关系，运用数学的符号语言使问题转化为解方程（组）问题。（二）小结方程组这部分知识，落实二元一次方程组的解法和应用。 三、重点及难点（一）重点1、列二元一次方程组解应用题，要能在正确分析题意的基础上，将题目中关键性语言或数量及数量之间的关系，用代数式表示出来，再根据各代数式之间的内在关系，找到相等关系，列出方程；2、能够准确求解方程组。 （二）难点列方程（组）解应用题的关键与难点是寻找题目中的等量关系。 【知识要点】列一次方程组解应用题，与列一元一次方程解应用题的基本思想是一致的，一般可根据所求解的问题直接设未知数，关键是分析题中的各种数量的实际意义和它们之间的关系，找出应用题中的相等关系。1、列二元一次方程组解应用题的步骤：（1）审题：弄清题目中所给出的相等关系及已知量、未知量；（2）设未知数：其方法通常有两种：设直接未知数；设间接未知数；（3）列方程组：根据给定的相等关系建立方程组；（4）解方程组：求出未知数的值；（5）检验并作答：所求方程组的解在正确的基础上还要符合实际意义。2、对方程组解应用题的一般步骤要注意：（1）审题时要弄清问题中已知量、未知量分别是什么，给出了哪些等量关系；（2）设未知数一般有两种方法：设直接未知数；设间接未知数；（3）列方程是解题的关键，一般题目中有几个未知数，就应该找出几个相等关系，列出几个方程，一定要用列代数式时没有用过的等量关系列出方程组，所列出的方程组须满足：方程两边表示的是同类量；列方程时单位要统一；方程两边的数值一定要相等；解方程组要细心；通过检验看其是否符合应用题的实际要求在“设”、“答”时要写清单位名称3、本章知识小结【知识网络】 【方程组知识归纳】  1、二元一次方程组及其解法（1）二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的次数都是一次的整式方程，叫做二元一次方程。任何一个二元一次方程都有无数个解。（2）二元一次方程组由几个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组。（3）二元一次方程组的解的情况，对于方程组（其中不同时为0，不同时为0）如果时，方程组有唯一解；如果时，方程组无解；如果时，方程组有无数解。（4）二元一次方程组的解法代入消元法（简称“代入法”）加减消元法（简称“加减法”） 【典型例题】一、利用基本等量关系列方程组解应用题例1. 两个工程队，甲队人数比乙队人数的少30人，若从乙队调10人到甲队，则甲队人数是乙队人数的，求两队各有多少人？分析：这个问题有两个未知数：甲队人数和乙队人数；有两个相等关系：甲队人数=乙队人数的倍30；甲队人数+10=（乙队人数10）的倍。解答：设甲队人数为人，乙队人数为人。根据题意，得    解得答：甲队人数为170人，乙队人数为250人。 二、用比例性质列方程组解应用题产品配套问题例2. 一张桌子由1个桌面，4条桌腿组成，如果1米3木料可以做桌面50个或桌腿300条，现有5米3木料，该用多少立方米木料分别做桌面和桌腿使它们正好能配套？共能生产多少张方桌？分析：这个问题有两个未知数：用来做桌面的木料数和用来做桌腿的木料数；有两个相等关系：用来做桌面的木料数+用来做桌腿的木料数=5；桌腿数=桌面数的4倍。解答：设用立方米木料做桌面，用立方米木料做桌腿。根据题意，得    解得    答：用3立方米木料做桌面，用2立方米木料做桌腿。共能生产150张方桌。 三、选择适当的未知数列方程组例3. 甲、乙两人同做一项工作，6小时可完成；若先由甲做4小时，再由乙做3小时则可完成一半，求甲、乙单独完成这项工作各需多少时间？分析：这个问题有两个未知数：甲单独完成这项工作需要的时间和乙单独完成这项工作需要的时间；本题是一道工程问题，根据工作总量=工作效率×工作时间，找准这三个量之间的关系即可。解答：法1：设甲单独完成这项工作需要小时，乙单独完成这项工作需要小时。根据题意，得，可得到    解得法2：设甲的工作效率为，乙的工作效率为。根据题意，得，可得到甲单独完成这项工作需要=16小时，乙单独完成这项工作需要=12小时。答：甲单独完成这项工作需要小时，乙单独完成这项工作需要小时。 例4. 从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路。如果保持上坡每小时走3，平路每小时走4，下坡每小时走5，那么从甲地到乙地需54分，从乙地到甲地需42分，从甲地到乙地全程是多少？分析：本题要求从甲地到乙地的总路程，但是题目中给的速度是分上下坡和平路的，所以直接设未知数并不好求，故可根据题目，分别设坡路路程和平路路程。另外，本题所给单位并不统一，因此在列方程组之前要统一单位。解答：设上坡路程为，下坡路程为。根据题意，得，    解得，答：从甲地到乙地全程为。 四、巧用相关量的表达式列方程组解应用题例5. 某同学步行速度5千米/时，骑车速度15千米/时，从甲地到乙地一半路程骑车，一半路程步行，到达后再返回时，一半时间步行，一半时间骑车，若步行和骑车的速度不变，返回时少用了20分钟，求甲乙两地路程和返回时间？分析：本题有两个未知量：甲乙两地路程和返回时间。抓住路程、速度、时间三个量之间的关系来列方程组。解答：设甲乙两地路程为千米，返回时间为小时。根据题意，得，    解得，答：甲乙两地路程为10千米，返回时间为1小时。 五、广泛了解现代社会中日常生活、生产实践、经济活动的相关知识，并学会用方程的观点去理解有关的问题。例6. 某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小相同，安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生。（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生；（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低。安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离。假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由。分析：在求第（2）问时要注意题设中“降低”这一条件。解答：（1）设平均每分钟一道正门可以通过名学生，一道侧门可以通过名学生。根据题意，得，    解得，答：平均每分钟一道正门可以通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生。（2）这栋楼最多有学生（名）拥挤时5分钟4道门能通过（名），建造的4道门符合安全规定。 【小结】  1. 寻找题目中的等量关系是列方程组的关键。  2. 能根据不同应用题型的规律来寻找等量关系，如行程问题、工程问题等。  3. 在分析题意的过程中，可以采用列表或图解的方法帮助理解和揭示各数量之间的相等关系。4. 能熟练运用代入消元和加减消元法解二元一次方程组。 【模拟试题】（答题时间：40分钟）1. 一项工作，甲队单独做要12天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要20天完成，现在甲、乙两队先合做若干天，以后为加快进度，丙队也加入工作，结果比原定时间提前一天完成这项工程，已知预定时间是7天，求甲、乙两队先合做了多少天？丙队加入后又做了多少天？2. 为兴修水利，派出48人完成挖土和运土工作，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，应怎样分配挖土和运土的人数，才能使挖出的土能及时地运走？3. 甲、乙两厂共同生产某种型号的机床，今年甲、乙两厂的总台数比去年分别增长150%和78%，一共比去年多生产288台，增长率为120%，求甲、乙两厂今年各生产多少台机床？4. 某班进行个人篮球比赛受污损的下表记录了在规定时间内投进n个球的人数分布情况,已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球；进4个或4个以下的人平均每人投进2.5个球。问投进3个和4个球的各有多少人?5. 某小组在规定时间内完成一项工程。如果增加2名工人，那么可提前2天完成；如果减少3名工人，那么要推迟6天完成。问小组原有多少人，规定完成工程的时间是多少？6. 甲、乙两人从地出发，向同一方向前进，甲步行先走小时后，乙骑自行车追赶，当乙骑了2小时后，乙还在甲的后面千米处，再走1小时后，乙在甲的前面千米处。求甲、乙两人的速度。7. 在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量(每小时通过观测点汽车车辆数)，三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”；乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍。”；请你根据他们提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？  8. 某中学组织初一学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满。已知45座客车每日租金每辆220元，60座客车每日租金为每辆300元，试问：（1）初一年级人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？（2）若租用同一种车，要使每位同学都有座位，怎样租用更合算？9. 某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。（1）若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，共付9万元，请你研究一下商场的进货方案。（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号电视机的方案中，哪种能使获利最大？（3）若商场准备用9万元同时购进三种不同型号电视机共50台，请你设计进货方案。【试题答案】  1. 解：设甲、乙合做天，丙队加入又做了天。根据题意，得，    解得  2. 解：设挖土人数为人，运土的人数为人。根据题意，得，    解得  3. 解：设甲厂去年生产了台机床，乙厂去年生产台机床。根据题意，得，    解得，  4. 投进3个的有9人，投进4个球的有3人。5. 该小组原有8名工人，规定完成工程的时间是10天。6. 甲步行速度为，乙骑车的速度为。7. 解：设高峰时段三环路的车流量每小时x辆，                          则高峰时段四环路的车流量为每小时辆。                  根据题意，得                          解这个方程，得                              高峰时段三环路、四环路的车流量分别是11000辆和13000辆。8. （1）初一年级人数为240人，原计划租用5辆45座客车。（2）租用6辆45座客车的租金为（元）租用4辆60座客车的租金为（元）所以租用60座客车更合算。9. （1）分情况计算：i. 设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台，则解得ii. 设购进甲种电视机x台，丙种电视机z台，则解得iii. 设购进乙种电视机y台，丙种电视机z台，则解得（舍去）故商场的进货方案有两种：一是购甲种电视机25台，乙种电视机25台；二是购甲种电视机35台，丙种电视机15台。（2）方案一：获利25×150+25×200=8750（元）；方案二：获利35×150+15×250=9000（元）；显然，选择方案二获利最多。（3）设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台，丙种电视机z台，则解得。方案一：当y=5时，x=33，z=12。方案二：当y=10时，x=31，z=9。方案三：当y=15时，x=29，z=6。方案四：当y=20时，x=27，z=3。故共有以上四种进货方案。