《常微分方程习题》word版.doc

常微分方程习题一. 求解下列微分方程：1. 解. .令 .(将y看成自变量) , 所以 , , , , .2. 解. 令 . , 所以 , . 由 所以 c = 0. , 得到 , , 即 .二. 求解下列微分方程：1. 解. 令 . 得到 , 为一阶线性方程解得 . 即 .2. 解. 原方程可化为 . 即 , 为一阶线性方程(y为自变量, x为因变量).解得: .3. 解. 令 , 则 . 原方程化为 , 为贝奴利方程. .令 , 则 . 方程化为 , 为一阶线性方程. 解得 . 即 , .三. 求解下列微分方程：1. 解. . 于是 . 所以方程解为 .2. 解. 设函数 满足 = .所以 , 所以 . 于是 所以原方程的解为 3. 解. 由原方程可得 得到 . 于是原方程解为 .四. 求解下列微分方程:1. 解. 令 , 得到 为一阶线性方程. 解得 .即 2. 解. 该方程为贝奴利方程. .令 , . 解得 于是 五. 设 在实轴上连续, 存在, 且具有性质 , 试求出 .解. , , , .i) . 对于任何x有 所以 .所以 .ii) 上式令 , 得到 解得 .六. 求解下列方程:1. 解. 可得 . 这是以y为自变量的一阶线性方程.解得 . , . 所以得解 .2. 解. 令 . 可得 , , . , , .解为 .七. 求解下列方程:1. 解. 令 .所以 , 所以 , , 于是 解为 .2. 解. 令 , , 令 于是得到 , 为u对于x的一阶线性方程解得 , , 得c = 0. , , , 所以 3. 解. 令 得到 令 , 得到 为关于y的一阶线性方程. 且 解得 所以 , .于是 , , , , 得到 , 得解 八. 求解下列微分方程:1. 解. 特征方程 于是得解 2. 解. 特征方程 , , , 得通解为 由 得到 , , , 得特解 九. 求解下列微分方程:1. 解. 特征方程 , 齐次方程通解 非齐次方程特解: 考察 = = 所以 所以通解为 2. 解. 特征方程 , 齐次方程特解 非齐次方程通解 = (计算方法同上题, 取 的虚部)所以 由 可得 得解 3. 解. 特征方程 , i) ii) 所以