《高数期末复习题》word版.doc
期末考试题型：一、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）二、选择题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）三、计算题（本题共3小题，每小题约10分，满分约30分.）四、应用题（本题共2小题，每小题约10分，满分约20分.）五、证明题（满分约10分.）一、填空题1 已知，则.2设在点处连续，则 . 23若，则.4设则5函数的可去间断点为 . x=06. 设函数由方程确定, 则= .7. 设函数由参数方程确定, 则= . 8. 曲线上对应于的点处的法线的斜率是 . 9. 设函数，则极限 . 10. 极限 = . 二、选择题1函数在处 (A)不连续；(B)连续但不可导； (C)连续且； (D)连续且. 2若则 (A)； (B)； (C)； (D) ； 3是在x0的某一去心邻域内无界的 A (A) 充分但非必要条件. (B) 必要但不充分条件.(C) 充分且必要条件. (D) 既非充分又非必要条件.4设在上连续，且则 D .(A)； (B) ； (C) ； (D).5. D (A); (B)1; (C)2 ; (D). 6. 若曲线和在点处相切, 其中是常数, 则 D . . . .7. 设函数, 则当时, B 与是等价的无穷小. 与是同阶但不是等价的无穷小. 是比高阶的无穷小. 是比低阶的无穷小8. 当时, 函数是 D 无穷小量. 无穷大量. 有界但非无穷小量. 无界但非无穷大量.9. 函数的可去间断点的个数是 C . . . 无穷多个. 10. 设函数在点可导,为常数, 则极限_. C . . . .11. 设在的某个邻域内有定义, 则在处可导的充分条件是 D 存在. 存在. 存在. 存在. 三、计算题1. 求极限.解: 当时，, , 于是.2. 设, 求 解: 作代换，得：原式.3. 若函数在时取极值10，求解：由已知条件,，有两组解：； 4. 设函数在区间上连续, 且满足方程, 求.解：设则，将其代入原方程得， 解得，所以，5. 设函数（1） 确定的单调性；（2）确定在上是否有极值，若有，求出极值；（3）确定在上的最大值与最小值.解:（1）因为，所以，从而单调递增；(2) 无极值；（3）由（1）可知6. 求：解: 原式=7. 求解：，于是, 8. 求不定积分解: 换元.9. 求不定积分.解：先分部积分, 再换元. .令，则，则 .于是， .10. 计算定积分.解： .11.计算广义积分 .解：.12. 计算广义积分.解： 无界函数的反常积分. 瑕点在中间, 则应分两个区间进行积分. .四、应用题 1. 求微分方程满足条件的特解.解1: 常数变易法.变形为标准型 .相应的齐次方程的通解为 或者 .令是原方程的解, 代入原方程得,即.积分得. 故原方程的通解为.由初值条件，得.解2: 积分因子法.变形为标准型，积分因子为.方程两端乘积分因子，得. 凑微分得，积分得.由初值条件，得.解3: 公式法.由初值条件，得.2. 设连续.(1) 求微分方程 满足的解;(2) 若, 求证当时, 有.解: 这是一阶线性微分方程, 用公式得通解. 由初值条件得特解.在特解中是一个原函数 (可以是任意一个原函数), 于是可以用积分上限函数代替. 因此所求特解为. (2) 当时,.3. 求函数在区间上的最小值.解: 令, 得唯一驻点. 当时，; 当时，所以，在处取到极小值，与比较，可知在处取到最小值.4.求曲线()的拐点.解: 函数在区间连续. 求导得. 令得，这时. 当时， 当时，. 所以为拐点.5. 求抛物线与直线所围图形绕轴旋转所成立体的体积.6. 求位于曲线下方，轴上方的无界图形的面积.解：. 7. 求曲线与轴所围成的图形的面积解：与轴有三个交点，先画简图, 知轴上下各有一个区域, 在区间, ;在区间, 因此.8. 设是位于曲线下方, 轴上方的无界区域.(1)求区域绕轴旋转一周所得旋转体的体积;(2)当为何值时, 最小?并求此最小值.思路: 有两个公式计算绕轴旋转一周所得旋转体的体积. 一个可以称为圆盘公式:, 它是圆面积的积分. 另一个称为圆柱公式: , 它是圆柱面面积的积分. 解： (1) .(2) ,由, 得. 当时, ; 当时, , 从而, 为极小值点. 由其唯一性可知: 当时, 最小, 且.五. 证明题1. 设函数在闭区间上连续，在开区间 内可导，且 若极限存在，证明：（1）在内；（2）在内存在点，使 ；(3) 在内存在与(2)中相异的点，使 .证明 (1) 因为存在，故 又，于是在内单调增加，于是， .(2) 设,，显然满足柯西中值定理的条件，于是在内存在点，使 ，即：亦即 .(3) 因，在上应用拉格朗日中值定理，知在内存在一点，使，从而由(2) 的结论得：，于是， .2. 设, 证明不等式: .证法1： 单调性证不等式.令, 则, ,， ,， , . 当时, ; 当时, . 由极值的一阶导数条件, 在处取到最小值. 因为, 所以当时,. 由单调判定定理, 在单调增加. 由, 当时, ; 当时, . 由极值的一阶导数条件, 在处取到最小值. 因此在处处有, 即有.证法2： 令, 则， =, .由单调判定定理, 当时, ; 当时, . 于是当时, , 即.注: 也可令来处理. 3. 证明：当x > 0时，.证明：令 ，所以，单调增加，当x > 0时，有，得 f (x)单调增加，因此，当x > 0时，有 f (x) > f (0) = 0。4. 设函数在连续，在可导，且，求证：在内至少存在一点，使得。证明: 设，因为函数在连续，在可导，且。所以，函数在连续，在可导，且，由罗尔定理，存在，使得，即 。 5. 当时，证明不等式：证明：设，则 时，由，得唯一驻点。 因为，所以因此在取得最大值， 从而，即
