多元函数微分法习题.doc

第八章 多元函数微分法及其应用 教学目的：1、 理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。2、 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。3、 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。4、 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。5、 掌握多元复合函数偏导数的求法。6、 会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。7、 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。8、 了解二元函数的二阶泰勒公式。9、 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。教学重点：1、 二元函数的极限与连续性；2、 函数的偏导数和全微分；3、 方向导数与梯度的概念及其计算；4、 多元复合函数偏导数；5、 隐函数的偏导数6、 曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；7、 多元函数极值和条件极值的求法。 §8. 1 多元函数的基本概念 一 多元函数概念 例 圆柱体的体积V 和它的底半径r、高h之间具有关系 V =pr2h.这里, 当r、h在集合(r , h) | r>0, h>0内取定一对值(r , h)时, V对应的值就随之确定. 例2 一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系 , 二. 多元函数的极限 与一元函数的极限概念类似, 如果在P(x, y)®P0(x0, y0)的过程中, 对应的函数值f(x, y)无限接近于一个确定的常数A, 则称A是函数f(x, y)当(x, y)®(x0, y0)时的极限. 例3. 设, 求证. 证 因为 , 可见"e >0, 取, 则当 , 即时, 总有|f(x, y)-0|<e, 因此. 多元函数的极限运算法则: 与一元函数的情况类似. 例4 求. 解: =1´2=2. 三. 多元函数的连续性 例5设f(x,y)=sin x, 证明f(x, y)是R2上的连续函数. 证 设P0(x0, y0)Î R2. "e>0, 由于sin x在x0处连续, 故$d>0, 当|x-x0|<d时, 有 |sin x-sin x0|<e. 以上述d作P0的d邻域U(P0, d), 则当P(x, y)ÎU(P0, d)时, 显然 |f(x, y)-f(x0, y0)|=|sin x-sin x0|<e, 即f(x, y)=sin x在点P0(x0, y0) 连续. 由P0的任意性知, sin x作为x, y的二元函数在R2上连续 例6 求. 解: 函数是初等函数, 它的定义域为 D=(x, y)|x¹0, y¹0. P0(1, 2)为D的内点, 故存在P0的某一邻域U(P0)ÌD, 而任何邻域都是区域, 所以U(P0)是f(x, y)的一个定义区域, 因此 . 一般地, 求时, 如果f(P)是初等函数, 且P0是f(P)的定义域的内点, 则f(P)在点P0处连续, 于是 . 例7 求. 解: §8. 2 偏导数 一、偏导数的定义及其计算 例1 求z=x2+3xy+y2在点(1, 2)处的偏导数. 解 , ., . 例2 求z=x2sin 2y的偏导数. 解 , . 例3 设, 求证: . 证 , . . 例4 求的偏导数. 解 ; . 例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数), 求证: . 证 因为, ; , ; , ; 所以. 二. 高阶偏导数 . 例6 设z=x3y2-3xy3-xy+1, 求、和. 解 , ; , ; , . 例7 验证函数满足方程. 证 因为, 所以 , , , .因此 . 例8证明函数满足方程, 其中. 证: , .同理 , .因此 . §8. 3全微分及其应用 一、全微分的定义 例1 计算函数z=x2y +y2的全微分. 解 因为, , 所以dz=2xydx+(x2+2y)dy . 例2 计算函数z=exy在点(2, 1)处的全微分. 解 因为, , , , 所以 dz=e2dx+2e2dy . 例3 计算函数的全微分. 解 因为, , , 所以 . *二、全微分在近似计算中的应用 例4 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm增大到20. 05cm, 高度由100cu减少到99cm. 求此圆柱体体积变化的近似值. 解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V, 则有 V=p r 2h . 已知r=20, h=100, Dr=0. 05, Dh=-1. 根据近似公式, 有 DV»dV=VrDr+VhDh=2prhDr+pr2Dh =2p´20´100´0. 05+p´202´(-1)=-200p (cm3). 即此圆柱体在受压后体积约减少了200p cm3. 例5 计算(1. 04)2. 02的近似值. 解 设函数f (x, y)=x y . 显然, 要计算的值就是函数在x=1.04, y=2.02时的函数值f(1.04, 2.02). 取x=1, y=2, Dx=0.04, Dy=0.02. 由于f (x+Dx, y+Dy)» f(x, y)+f x(x, y)Dx+f y(x, y)Dy =x y+yxy-1Dx+x yln x Dy , 所以(1.04)2. 02»12+2´12-1´0.04+12´ln1´0.02=1.08. §8. 4 多元复合函数的求导法则 例1 设z=eusin v, u=xy, v=x+y, 求和. 解 =eusin v×y+eucos v×1 =ex yy sin(x+y)+cos(x+y), =eusin v×x+eucos v×1 =exyx sin(x+y)+cos(x+y). 例2 设, 而. 求和. 解 . . 例3 设z=uv+sin t , 而u=et, v=cos t. 求全导数. 解 =v×et+u×(-sin t)+cos t =etcos t-e tsin t+cos t =et(cos t-sin t)+cos t . 例4 设w=f(x+y+z, xyz), f具有二阶连续偏导数, 求及. 解 令u=x+y+z, v=xyz , 则w=f(u, v). 引入记号: , ; 同理有,等. , . . §8. 5 隐函数的求导法则 一 一个方程的情形 例1 验证方程x2+y2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x), 并求这函数的一阶与二阶导数在x=0的值. 解 设F(x, y)=x2+y2-1, 则Fx=2x, Fy=2y, F(0, 1)=0, Fy(0, 1)=2¹0. 因此由定理1可知, 方程x2+y2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x). , ; , . 例2. 设x2+y2+z2-4z=0, 求. 解 设F(x, y, z)= x2+y2+z2-4z, 则Fx=2x, Fy=2z-4, , . 二、方程组的情形 例3 设xu-yv=0, yu+xv=1, 求, , 和. 解 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于和的方程组,当x2+y2 ¹0时, 解之得, . 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于和的方程组,当x2+y2 ¹0时, 解之得, . 另解 将两个方程的两边微分得 , 即. 解之得 , . 于是 , , , . §8. 6多元函数微分学的几何应用 一. 空间曲线的切线与法平面 例1 求曲线x=t, y=t2, z=t3在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程. 解 因为xt¢=1, yt¢=2t, zt¢=3t2, 而点(1, 1, 1)所对应的参数t=1, 所以 T =(1, 2, 3). 于是, 切线方程为 , 法平面方程为 (x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0, 即x+2y+3z=6. 例2 求曲线x2+y2+z2=6, x+y+z=0在点(1, -2, 1)处的切线及法平面方程. 解 为求切向量, 将所给方程的两边对x求导数, 得 ,解方程组得, . 在点(1, -2, 1)处, , .从而T =(1, 0, -1). 所求切线方程为 , 法平面方程为 (x-1)+0×(y+2)-(z-1)=0, 即x-z=0. 解 为求切向量, 将所给方程的两边对x求导数, 得 . 方程组在点(1, -2, 1)处化为 , 解方程组得, .从而T =(1, 0, -1). 所求切线方程为 , 法平面方程为 (x-1)+0×(y+2)-(z-1)=0, 即x-z=0. 二. 曲面的切平面与法线 例3 求球面x2+y2+z2=14在点(1, 2, 3)处的切平面及法线方程式. 解 F(x, y, z)= x2+y2+z2-14, Fx=2x, Fy=2y , Fz=2z , Fx(1, 2, 3)=2, Fy(1, 2, 3)=4, Fz(1, 2, 3)=6. 法向量为n=(2, 4, 6), 或n=(1, 2, 3). 所求切平面方程为 2(x-1)+4(y-2)+6(z-3)=0, 即x+2y+3z-14=0. 法线方程为. 例4 求旋转抛物面z=x2+y2-1在点(2, 1, 4)处的切平面及法线方程. 解 f (x, y)=x2+y2-1, n=(fx, fy, -1)=(2x, 2y, -1), n|(2, 1, 4)=(4, 2, -1). 所以在点(2, 1, 4)处的切平面方程为 4(x-2)+2(y-1)-(z-4)=0, 即4x+2y-z-6=0. 法线方程为 . §8. 7 方向导数与梯度 一、方向导数 例1 求函数z=xe2y在点P(1, 0)沿从点P(1, 0)到点Q(2, -1)的方向的方向导数. 解 这里方向l即向量的方向, 与l同向的单位向量为. 因为函数可微分, 且, ,所以所求方向导数为 . 对于三元函数f(x, y, z)来说, 它在空间一点P0(x0, y0, z0)沿el=(cos a , cos b , cos g)的方向导数为 . 如果函数f(x, y, z)在点(x0, y0, z0)可微分, 则函数在该点沿着方向el=(cos a , cos b , cos g)的方向导数为 =fx(x0, y0, z0)cosa+fy(x0, y0, z0)cosb+fz(x0, y0, z0)cosg. 例2求f(x, y, z)=xy+yz+zx在点(1, 1, 2)沿方向l的方向导数, 其中l的方向角分别为60°, 45°, 60°. 解 与l同向的单位向量为 el=(cos60°, cos 45°, cos60°). 因为函数可微分, 且 fx(1, 1, 2)=(y+z)|(1, 1, 2)=3, fy(1, 1, 2)=(x+z)|(1, 1, 2)=3, fz(1, 1, 2)=(y+x)|(1, 1, 2)=2,所以 . 二. 梯度 例3 求. 解 这里. 因为 , , 所以 . 例4 设f(x, y, z)=x2+y2+z2, 求grad f(1, -1, 2). 解 grad f=(fx, fy, fz)=(2x, 2y, 2z), 于是 grad f(1, -1, 2)=(2, -2, 4). 例5 试求数量场所产生的梯度场, 其中常数m>0, 为原点O与点M(x, y, z)间的距离. 解 ,同理 , .从而 .记, 它是与同方向的单位向量, 则 . §8. 8 多元函数的极值及其求法 一、多元函数的极值及最大值、最小值 . 例1 函数z=3x2+4y2在点(0, 0)处有极小值. 当(x, y)=(0, 0)时, z=0, 而当(x, y)¹(0, 0)时, z>0. 因此z=0是函数的极小值. 例2 函数在点(0, 0)处有极大值. 当(x, y)=(0, 0)时, z=0, 而当(x, y)¹(0, 0)时, z<0. 因此z=0是函数的极大值. 例3 函数z=xy在点(0, 0)处既不取得极大值也不取得极小值. 因为在点(0, 0)处的函数值为零, 而在点(0, 0)的任一邻域内, 总有使函数值为正的点, 也有使函数值为负的点. 例4 求函数f(x, y)=x3-y3+3x2+3y2-9x 的极值. 解 解方程组, 求得x=1, -3; y=0, 2. 于是得驻点为(1, 0)、(1, 2)、(-3, 0)、(-3, 2). 再求出二阶偏导数fxx(x, y)=6x+6, fxy(x, y)=0, fyy(x, y)=-6y+6. 在点(1, 0)处, AC-B2=12×6>0, 又A>0, 所以函数在(1, 0)处有极小值f(1, 0)=-5; 在点(1, 2)处, AC-B2=12×(-6)<0, 所以f(1, 2)不是极值; 在点(-3, 0)处, AC-B2=-12×6<0, 所以f(-3, 0)不是极值; 在点(-3, 2)处, AC-B2=-12×(-6)>0, 又A<0, 所以函数的(-3, 2)处有极大值f(-3, 2)=31. 例5 有一宽为24cm的长方形铁板, 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽. 问怎样折法才能使断面的面积最大？ 解 设折起来的边长为xcm, 倾角为a, 那末梯形断面的下底长为24-2x, 上底长为24-2x×cosa, 高为x×sina, 所以断面面积 , 即A=24x×sina-2x2sina+x2sina cosa (0<x<12, 0<a£90°). 可见断面面积A是x和a的二元函数, 这就是目标函数, 面求使这函数取得最大值的点(x, a). 令Ax=24sina-4xsina+2xsina cosa=0, Aa=24xcosa-2x2 cosa+x2(cos2a-sin2a)=0, 由于sina ¹0, x¹0, 上述方程组可化为 . 解这方程组, 得a=60°, x=8cm. 二、条件极值 拉格朗日乘数法 . 例6 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积. 解 设长方体的三棱的长为x, y, z, 则问题就是在条件2(xy+yz+xz)=a2下求函数V=xyz的最大值. 构成辅助函数F(x, y, z)=xyz+l(2xy +2yz +2xz -a2), 解方程组, 得, 此时.